复变函数复变函数课件

11-3 1-3 复变函数、极限和连续性复变函数、极限和连续性2定义定义：设在复平面上已给点集：设在复平面上已给点集D，如果存在一个法，如果存在一个法则则f 使得对于每点使得对于每点z=x+yiD,都有确定的复数都有确定的复数w=u+vi与之对应与之对应,则称在则称在D上确定一个上确定一个复变函数复变函数，记作记作:w=f(z)若依若依f 对于对于zD只有一个确定的只有一个确定的w与之对应，则称与之对应，则称f 为为单值函数单值函数。否则，称否则，称f 为为多值函数多值函数。例如，例如，一、复变函数的概念一、复变函数的概念复变函数复变函数w=f(z)常写成常写成w=u(x,y)+v(x,y)i 或或P(r,P(r,)+iQ(r,)+iQ(r,)为单值函数为单值函数为多值函数为多值函数注意：注意：如不特别提醒，我们往后考虑的都是单值函数如不特别提醒，我们往后考虑的都是单值函数。3 同实变函数一样，在上述定义中，我们称集合同实变函数一样，在上述定义中，我们称集合D 为函为函数的数的定义域定义域，称复数集，称复数集C的子集的子集G(f(D)为函数的为函数的值域值域，z 与与w 分别称为函数的分别称为函数的自变量自变量(原像原像)与与因变量（像点）因变量（像点）。或或变变换换zzzz-w-ww=-w-ww=如如果果用用 平平面面上上的的点点表表示示自自变变量量 的的值值，用用另另一一个个平平面面平平面面上上的的点点表表示示函函数数 的的值值，那那么么函函数数在在几几何何上上就就可可以以看看做做是是把把 平平面面上上的的一一个个点点集集 变变到到 平平面面上上的的一一个个点点映映f(z)f(z)zDwzDw射射(的的G G集集)看成变换的复变函数还有入变换、满变换、反函数等概看成变换的复变函数还有入变换、满变换、反函数等概念，参见教材念，参见教材P30-31页。以后在点集拓扑中会特别介绍。页。以后在点集拓扑中会特别介绍。4例例1 求下列区域在映射求下列区域在映射 下的象。下的象。w=z(1)圆域圆域 ；(2)角形域角形域|z-i|10 argz 3例例2 2 求下列曲线在映射求下列曲线在映射 下的象下的象 2w=z1)以原点为心，以原点为心，2位半径，在第一象限里的圆弧；位半径，在第一象限里的圆弧；2）倾角倾角 的直线的直线=33)双曲线双曲线22x-y=4500000()0()0-.,0-()-,(),().1wf zzz zAzzf zzf zAzA 么定定义义 任意存在设复变函数在 的去心邻域内有定义。是一个复常数 若对给定的总那称 当 趋向只于时以 为极限要就 有 ，00lim()()()zzf zAf zAzz或记作注意注意:0.()().2 2反反之之，若若 以以不不同同的的路路径径趋趋于于 时时，趋趋于于不不同同的的复复数数，定定义义中中 则则时时的的极极限限不不存存在在。的的方方式式是是任任意意 的的00zzf zzzf zzz二、二、复变函数的极限及性质复变函数的极限及性质1.上述定义与上述定义与一元实变函数的极限一元实变函数的极限定义类似，因而定义类似，因而后者后者的的极限运算性质对于复变函数也成立。如极限运算性质对于复变函数也成立。如链接链接-极限性质极限性质.ppt6证明证明 :0,()(10).zzf zzz证明 当 时 函数 的极限不存在例例 ,趋于零时趋于零时沿直线沿直线当当kxyz 00lim()limzxy=kxx-ikx1-ikf zx+ikx1+ik ,值的变化而变化值的变化而变化该极限值随该极限值随k .)(lim 0不存在不存在所以所以zfz7三、函数的连续性三、函数的连续性00001()lim()()()2.zzf zzf zf zf zz（）设在的某邻域内有定义，且 则称在处连续 定定义义 2(),().f zDf zD（）如果在区域 内的每一点连续 则 称在 区域 内连续 f zz()关于在连续曲线C C和闭区域 D D上连续的概 念,只要把上述定义中的 限制在C C或 D D上即可.800000 ()(,)(,)()(,),(,)(,).1f zu x yiv x yf zzxiyu x yv x yxy设设，则则函函数数在在连连续续的的充充分分必必要要条条件件是是和和在在处处连连续续 理理 定定举例说明如下：举例说明如下：),()ln()(2222yxiyxzf ,)ln(),(22续续处连处连在复平面内除原点外处在复平面内除原点外处yxyxu 因此因此在复平面内处处连续在复平面内处处连续 ,),(22yxyxv .)(处连续处连续在复平面内除原点外处在复平面内除原点外处zf9.),(),(),(),()(在一起在一起的连续性问题密切联系的连续性问题密切联系和和实函数实函数连续性问题与两个二元连续性问题与两个二元的的该定理将复变函数该定理将复变函数yxvyxuyxivyxuzf 例例 2 2.)(,)(:00处也连续处也连续点点在在那末那末连续连续在在如果如果证明证明zzfzzf证证),(),()(yxivyxuzf 设设),(),()(yxivyxuzf 则则,)(0连续连续在在由由zzf,),(),(),(00处都连续处都连续在在和和知知yxyxvyxu ,),(),(),(00处连续处连续也在也在和和于是于是yxyxvyxu .)(0连续连续在在故故zzf10.)()()(000处仍连续处仍连续在在不为零不为零分母在分母在积、商积、商差、差、的和、的和、和和连续的两个函数连续的两个函数在在zzzgzfz2 2定理定理.)(,)()(,)(0000处连续处连续在在那末复合函数那末复合函数连续连续在在函数函数连续连续在在函数函数设设zzgfwzghhfwzzgh 3 3定理定理()i 在在整整个个平平例例续续如如复复面面上上连连f zzxy,)(2210nnzazazaazPw (1)多项式多项式 ;都是连续的都是连续的在复平面内的所有点在复平面内的所有点 z(2)有理分式函数有理分式函数,)()(zQzPw ,)()(都是多项式都是多项式和和其中其中zQzP在复平面内使分母不为零的点也是连续的在复平面内使分母不为零的点也是连续的.11 ()()()().0,()().f zDCf zDCMzDCf zM即即设设在在有有界界闭闭区区域域或或有有限限长长连连续续曲曲线线上上连连续续，则则在在或或上上有有界界存存在在当当或或时时，定定理理 4 4 关于连续函数在有界闭集上的其它性质可以关于连续函数在有界闭集上的其它性质可以参阅教材参阅教材P37-3812例例3 3 试证明函数试证明函数()ln|arg()f zziz在角形在角形域域:arg()Dz内连续内连续。证明证明 设设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y).显然区域显然区域D 为割去为割去原点和负实轴的复平面，且原点和负实轴的复平面，且22(,)lnu x yxy 在除去坐标原点外的点连续，只须证明在除去坐标原点外的点连续，只须证明 v(x,y)=arg(z)在在D连续连续。13,0 x zarg,0,0 yx,0,0 yx.0,0 yx,arctanxy,2,arctan xy,在在D内连续。内连续。14例例 4 4.0)(,0)(,)(:000 zfzzfzzf的某个邻域，使得的某个邻域，使得则必存在则必存在且且连续连续在在如果如果证明证明证证),(),()(0点连续，点连续，在在由由zyxivyxuzf 因此因此处都连续处都连续在在和和知知 ,),(),(),(00yxyxvyxu,),(),(),(),(0022处连续处连续在在yxyxvyxuyxf ,0)(,0)(00由二元函数连续性由二元函数连续性所以所以因因 zfzf.0)(,0)(),(00 zfzfyx因而因而的某个邻域，使得的某个邻域，使得必存在必存在另一证明见另一证明见P3615复复数数平面表示法平面表示法定义表示法定义表示法三角表示法三角表示法曲线与区域曲线与区域球面表示法球面表示法复数表示法复数表示法指数表示法指数表示法复数的运算复数的运算共轭运算共轭运算代数运算代数运算乘幂与方根乘幂与方根本章主要内容向量表示法向量表示法161707.4.151707.4.15生于瑞士，巴塞尔生于瑞士，巴塞尔1783.9.181783.9.18卒于俄罗斯，彼得堡卒于俄罗斯，彼得堡L.EulerL.Euler(欧拉欧拉)简介简介 EulerEuler是是1818世纪的数学世纪的数学巨星；是那个时代的巨人，巨星；是那个时代的巨人，科学界的代表人物。历史上科学界的代表人物。历史上几乎可与几乎可与ArchimedesArchimedes、NewtonNewton、GaussGauss齐名齐名。他在微积分、几何、数论、变分学等领域有巨他在微积分、几何、数论、变分学等领域有巨大贡献。可以说大贡献。可以说 NewtonNewton、LeibnizLeibniz发明了微积分，发明了微积分，而而EulerEuler则是数学大厦的主要建筑师则是数学大厦的主要建筑师。17A.de Moivre A.de Moivre 棣莫佛简介棣莫佛简介1667.1667.5.265.26生于法国生于法国1754.11.271754.11.27卒于英国卒于英国在概率论、复数理论等领域在概率论、复数理论等领域做了一些出色的工作。做了一些出色的工作。解决斐波那契数列的通项问解决斐波那契数列的通项问题。题。L.FibonacciL.Fibonacci(1170-1250)(1170-1250)