第三讲补充矩形单元ppt课件

矩形单元也是一种常用的单元，它采用了比常应变三角形单元次数更高的位移方式，因此可以更好地反映弹性体中的位移形状和应力形状。矩形单元1234如图3-9所示，其边长分别为2a和2b，两边分别平行于x、y轴。假设取该矩形的四个角点为节点，因每个节点位移有两个分量，所以矩形单元共有8个自在度。采用3-2节中的方法，同样可以完成对这种单元的力学特性分析。然而，假设我们引入一个部分坐标系、，那么就可以推出比较简约的结果。u2(U2)u3(U3)v3(V3)v2(V2)v1(V1)v4(V4)u1(U1)u4(U4)xoyo12432a2b图3-9 矩形单元1234byyaxx00 xxxxxyyyyyaxxxxbyyyy01234023142134324122222222()()()()()()()()/在图3-9中，取矩形单元的形心为部分坐标系的原点，和轴分别与整体坐标轴x和y平行，两坐标系存在有以下的坐标变换关系(3-48)式中其中 (xi,yi是节点i的整体坐标，i=1,2,3,4。uv 12345678uN uvN viiiiii1414Ni()()/11400在部分坐标系中，节点i的坐标是(i ,i)，其值分别为1。取位移方式将节点的部分坐标值代入上式，可列出四个节点处的位移分量，即两组四元联立方程，由此可求得位移方式中的8个未知参数1，2，8，再把这些参数代回(a)式中，便可得到用节点位移表示的位移方式(a)(b)其中(c)fuvNii NNIIuviiiiii,10011234()，xyxyuxvyuyvxaubvbuavabbuavaubv11111式中 0=i，0=i，i=1,2,3,4。假设写成与前面一致的方式，有式中(d)由几何方程可以求得单元的应变(e)(f)DSSSSe1234BabbNaNaNbNabbaabiiiiiiiii100141001110000 BBBBe1234 将(b)式代入，得(g)式中(i=1,2,3,4)(3-49)由虎克定律我们可以得出用节点位移表示的单元应力，即(3-50)kkkkkkkkkkkkkkkkk11121314212223243132333441424344 SEabbabaabiiiiiii4111111211212000000 SD Bii式中(i=1,2,3,4)(h)对于平面应力问题(3-51)假设将单元刚度矩阵写成分块方式(3-52)kBD B tdxdyijiTj ktabBS d dEtbaababbaijiTjijijijijijijijijijijijij 111124 111312113121211312113 那么其中的子矩阵可按下式进展计算(i)假设单元厚度t是常量，那么(i,j=1,2,3,4)(3-53)同样，对于平面应变问题，只需将上式中的E、分别换成E/1-2 和/1-即可。kRee RUVUVUVUVeT11223344 RWeT 014014014014四边形单元的节点位移与单元节点力之间的关系仍为(j)其中载荷列阵Re 与上节中的(c)式一样，仍可按3-33、3-34、3-35式计算等效节点力。但是，需求留意的是，矩形单元有四个节点1，2，3，4，所以Re 具有8个元素，即这里给出两种常见载荷的结果：对于单元的自重W，移置于每个节点的载荷都等于四分之一的自重，其载荷列阵为(k)(3-54)假设单元在一个边境上受有三角形分布的外表力，且在该边境上的一个节点处为零，而另一个节点处为最大，那么可将总外表力的三分之一移置到前一个节点上，而将其三分之二移置到后一个节点上。和常应变三角形单元一样，将各单元的k、e 和Re 都扩展到整个弹性体自在度的维数，再进展叠加，即可得到整个弹性体的平衡方程。即K=R (l)由前面的讨论可以发现，四边形单元的位移方式(a)比常应变三角形单元所采用的线性位移方式增添了 项即相当于x y项，我们把这种位移方式称为双线性方式。在这种方式下，单元内的应变分量将不再是常量，这一点可以从B的表达式中看出。另外，位移方式(a)中的1、2、3、5、6、7与三角形单元一样，它反映了刚体位移和常应变，而且在单元的边境上(=1或 =1)，位移是按线性变化的，显然，在两个相邻单元的公共边境上，其位移是延续的。由单元的应力矩阵表达式还可以看出，矩形单元中的应力分量也都不是常量。其中，正应力分量x 的主要项即不与相乘的项沿y方向线性变化，而正应力分量y 的主要项那么是沿x方向线性变化、剪应力分量xy 沿x及y两个方向都是线性变化。正由于如此，假设在弹性体中采用一样数目的节点时，矩形单元的精度要比常应变三角形单元的精度高。但是，矩形单元也有一些明显的缺陷：其一是矩形单元不能顺应斜交的边境和曲线边境；其二是不便于对不同部位采用不同大小的单元，以便提高有限元分析计算的效率和精度。