《直线及方程》PPT课件

第六节第六节 空间直线及其方程空间直线及其方程 一、空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程 二、空间直线的对称式方程与参数方程二、空间直线的对称式方程与参数方程 三、两直线的夹角三、两直线的夹角 四、直线与平面的夹角四、直线与平面的夹角 五、小结五、小结xyzo1 2 定义定义空间直线可看成两平面的交线空间直线可看成两平面的交线0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA 0022221111DzCyBxADzCyBxA空间直线的一般方程空间直线的一般方程L一、空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程例如：例如：z 轴可以看作轴可以看作 yoz 面与面与 xoz 面的交线面的交线 00yx也可以看作也可以看作 yoz 面与面与 平平 面面 x y=0的交线的交线 00yxxxyzo方向向量的定义：方向向量的定义：如果一非零向量平行于如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称一条已知直线，这个向量称为这条直线的为这条直线的方向向量方向向量sL),(0000zyxM0M M,LM ),(zyxMsMM0/),(pnms 设设),(0000zzyyxxMM 二、空间直线的对称式方程与参数方程二、空间直线的对称式方程与参数方程pzznyymxx000 直线的对称式方程直线的对称式方程pzznyymxx000 直线的对称式方程直线的对称式方程),(pnms ),(0000zyxM（1）当）当 m,n,p 中有一个为中有一个为 0，如，如 m=0,而而 n,p 0 时，则上述方程组应理解为时，则上述方程组应理解为 pzznyyxx0000（2）当）当 m,n,p 中有两个为中有两个为 0，如，如 m=n=0,而而p 0 时，则上述方程组应理解为时，则上述方程组应理解为 0000yyxxtpzznyymxx 000令令 ptzzntyymtxx000直线的一组直线的一组方向数方向数 方向向量的方向余弦称为直线方向向量的方向余弦称为直线 L 的的方向余弦方向余弦，它是与方向向量同方向的单位向量。它是与方向向量同方向的单位向量。直线的参数方程直线的参数方程pzznyymxx000 直线的对称式方程直线的对称式方程),(pnms ),(0000zyxM,|cossm ,|cossn .|cossp 例例1 1 用对称式方程及参数方程表示直线用对称式方程及参数方程表示直线.043201 zyxzyx解：解：（1）在直线上任求一点）在直线上任求一点),(000zyx取取10 x,063020000 zyzy解得解得2,000 zy点坐标点坐标),2,0,1(问题：如何化一般方程为对称式和参数方程问题：如何化一般方程为对称式和参数方程（2）求直线的一个方向向量）求直线的一个方向向量例例1 1 用对称式方程及参数方程表示直线用对称式方程及参数方程表示直线.043201 zyxzyx解：解：点坐标点坐标),2,0,1(（2）求直线的一个方向向量）求直线的一个方向向量1 2 L1n2ns因所求直线与两平面的法向量都垂直因所求直线与两平面的法向量都垂直取取21nns ),3,1,4(312111 kji对称式对称式方程方程,321041 zyx.3241 tztytx参数方程参数方程结论：若结论：若直线直线 L 的一般方程为的一般方程为.00:22221111 DzCyBxADzCyBxAL则直线则直线 L 的一个方向向量可以取为的一个方向向量可以取为21nns 222111CBACBAkji 解解取取BAs ),4,0,2(所求直线方程所求直线方程.440322 zyxxyzo)4,3,2(A),0,3,0(B上述方程组应理解为上述方程组应理解为 034422yzx定义定义直线直线:1L,111111pzznyymxx 直线直线:2L,222222pzznyymxx 222222212121212121|cospnmpnmppnnmm 两直线的方向向量的夹角称之两直线的方向向量的夹角称之.（取锐角）（取锐角）两直线的夹角公式两直线的夹角公式三、两直线的夹角三、两直线的夹角1s2s,|),cos(212121ssssss|cos2121ssss 两直线的位置关系：两直线的位置关系：21)1(LL ,0212121 ppnnmm21)2(LL/,212121ppnnmm 直线直线:1L直线直线:2L),0,4,1(1 s),1,0,0(2 s,021 ss,21ss 例如，例如，.21LL 即即222222212121212121|cospnmpnmppnnmm 解：取解：取1233351 kjis),1,4,3(例例3：求直线：求直线 012309335:1zyxzyxL与直线与直线 0188302322:2zyxzyxL的夹角。的夹角。1831222 kjis)10,5,10()2,1,2(5|cos2121ssss 4141169|211432|,0 2 解解设所求直线的方向向量为设所求直线的方向向量为),(pnms 根据题意知根据题意知,1ns,2ns 取取21nns 512401 kji.153243 zyx所求直线的方程所求直线的方程),1,3,4(定义定义 直线和它在平面上的投影直线的夹直线和它在平面上的投影直线的夹角角 称为直线与平面的夹角称为直线与平面的夹角,:000pzznyymxxL ,0:DCzByAx),(pnms ),(CBAn 四、直线与平面的夹角四、直线与平面的夹角 0.2 s,2),(0 ns若若 2),(ns则则,),(2 ns若若 2),(ns则则|),(2|ns|sinnsns 直线与平面的夹角公式直线与平面的夹角公式直线与平面的直线与平面的位置关系：位置关系：L)1(.pCnBmA L)2(/.0 CpBnAm,2),(0 ns若若 2),(ns则则,),(2 ns若若 2),(ns则则|),(2|ns|),(2|sinsinns|),cos(|ns|nsns 222222|pnmCBACpBnAm 解解),2,1,1(n),2,1,2(s|sinnsns 69|22)1()1(21|.637 637arcsin 为所求夹角为所求夹角1 1、求直线与平面的交点。、求直线与平面的交点。,:000pzznyymxxL ,0:DCzByAx),(pnms ),(CBAn 五、直线与平面其它问题五、直线与平面其它问题tpzznyymxx 000:令令得直线的参数方程得直线的参数方程 ptzzntyymtxx000代入平面方程，得参数代入平面方程，得参数 t,再将再将 t 代入参数方程即得代入参数方程即得 x,y,z。解解 tztytx2432所给直线的参数方程为：所给直线的参数方程为：代入平面方程得：代入平面方程得：6)24()3()2(2 ttt解得：解得：,1 t所以所以,1 x,2 y,2 z所求交点为：所求交点为：M(1,2,2)解：分析解：分析12131 zyx本题的关键是求出两垂直相交直线的交点。本题的关键是求出两垂直相交直线的交点。思路：思路：例例7：求过点：求过点 M(2,1,3)且与直线且与直线L：垂直相交的直线方程。垂直相交的直线方程。将求两垂直相交直线的交点转化将求两垂直相交直线的交点转化为求直线与平面的交点为求直线与平面的交点解解先作一过点先作一过点M且与已知直线垂直的平面且与已知直线垂直的平面 0)3()1(2)2(3:zyx再求已知直线与该平面的交点再求已知直线与该平面的交点 P,令令tzyx 12131.1213 tztytxM P),1,2,3(sn取取由点法式方程得由点法式方程得LL 依题意所求直线在平面依题意所求直线在平面内，且内，且通过点通过点M 和和 P12131 zyx例例7：求过点：求过点 M(2,1,3)且与直线且与直线L：垂直相交的直线方程。垂直相交的直线方程。解解0)3()1(2)2(3 zyx令令tzyx 12131.1213 tztytxM P LL 代入平面方程得代入平面方程得73 t交点交点)73,713,72(P所求直线的方向向量可取为所求直线的方向向量可取为MP12131 zyx例例7：求过点：求过点 M(2,1,3)且与直线且与直线L：垂直相交的直线方程。垂直相交的直线方程。解解M P LL 0)3()1(2)2(3 zyx交点交点)73,713,72(P所求直线的方向向量可取为所求直线的方向向量可取为MPMP)373,1713,272()724,76,712(所求直线方程为所求直线方程为.431122 zyx),4,1,2(76 12131 zyx例例7：求过点：求过点 M(2,1,3)且与直线且与直线L：垂直相交的直线方程。垂直相交的直线方程。2 2、过直线的平面束方程。、过直线的平面束方程。)2(0)1(0:22221111DzCyBxADzCyBxAL设设作三元一次方程作三元一次方程)3(0)(22221111 DzCyBxADzCyBxA)4(0)()()()(21212121 DDzCCyBBxAA 0)(),(),(212121不不全全为为CCBBAA 所以方程（所以方程（4）或（）或（3）表示一个平面，且通过直线）表示一个平面，且通过直线 L反之，过直线反之，过直线 L 的任何一个平面（除平面（的任何一个平面（除平面（2）外）外），都包含在平面束（，都包含在平面束（3）中。）中。称方程（称方程（3）或（）或（4）为过定直线）为过定直线 L 的平面束方程的平面束方程 为任意实数为任意实数例例7 7解解且与平面且与平面求过直线求过直线 ,0405:zxzyx过已知直线的平面束方程为过已知直线的平面束方程为,0)4(5 zxzyx,04)1(5)1(zyx即即).1,5,1(1 n其其法法向向量量).8,4,1(2 n又已知平面的法向量又已知平面的法向量由题设知由题设知21214cosnnnn 222222)1(5)1()8()4(1)8()1()4(51)1(.401284角角的的平平面面方方程程组组成成 zyx解解过已知直线的平面束方程为过已知直线的平面束方程为,0)4(5 zxzyx 21214cosnnnn 222222)1(5)1()8()4(1)8()1()4(51)1(,2723222 即即由此解得由此解得.43 代回平面束方程为代回平面束方程为.012720 zyx例例7 7且与平面且与平面求过直线求过直线 ,0405:zxzyx.401284角角的的平平面面方方程程组组成成 zyx2 2、求已知直线在已知平面内的投影直线方程、求已知直线在已知平面内的投影直线方程pzznyymxxL000:设设0:DCzByAx20:直线直线 L 在在 内的投影记为内的投影记为过直线过直线 L 作一与平面作一与平面垂直的平面垂直的平面 设设L与与的夹角为的夹角为L 1则则L 即为即为 与与1的交线的交线若记若记0:11111 DzCyBxA 001111DzCyBxADCzByAx1L L则直线则直线 的方程为的方程为L 2 2、求已知直线在已知平面内的投影直线方程、求已知直线在已知平面内的投影直线方程pzznyymxxL000:设设0:DCzByAx LL 1,),(0000LzyxM 0M 内内的的任任意意一一点点为为又又设设1),(zyxMM 作作,0MM则则10/MM又又,/),(1 pnms,/),(1 CBAn,0共共面面及及MMns因此因此0)(0 MMns0,0 nsMM0000 CBApnmzzyyxx此即为平面此即为平面1的方程的方程联立联立 与与1的方程即为的方程即为所求投影直线的方程。所求投影直线的方程。2 2、求已知直线在已知平面内的投影直线方程、求已知直线在已知平面内的投影直线方程pzznyymxxL000:设设0:DCzByAx LL 1,),(0000LzyxM 0M 内内的的任任意意一一点点为为又又设设1),(zyxMM 0,0 nsMM解解：（：（1）在在 xoy 面上：面上：0 z),5,1,3(0 M),8,2,1(s),1,0,0(n0100821513 zyx052 yx即即 0052zyx故在故在 xoy 面上投影直线方程为面上投影直线方程为解解：（：（2）在在 平面平面083:zyx),5,1,3(0 M),8,2,1(s),3,1,1(n0311821513 zyx0261114 zyx即即 0261114083zyxzyx故在故在 上投影直线方程为上投影直线方程为例例9 9解：先求过解：先求过 L 且与且与 垂直的平面方程垂直的平面方程:01012:在在平平面面求求直直线线 zyxzyxL的的平平面面束束方方程程为为过过直直线线 L,0)1()12(zyxzyx.0)1()1()1()2(zyx即即 L则投影直线即为该平面与已知平面则投影直线即为该平面与已知平面 的交线，如图所示。的交线，如图所示。.0)1()1(2)1(1)2(,垂垂直直于于平平面面又又41 解得解得.02上的投影直线的方程上的投影直线的方程 zyx例例9 9解：先求过解：先求过 L 且与且与 垂直的平面方程垂直的平面方程.02:01012:上的投影直线的方程上的投影直线的方程在平面在平面求直线求直线 zyxzyxzyxL L.0)1()1()1()2(zyx即即.0)1()1(2)1(1)2(,垂垂直直于于平平面面又又41 解得解得,代代入入平平面面束束方方程程将将.013 zyx得得所求投影直线方程为所求投影直线方程为.02013 zyxzyx第七章作业第七章作业第七节：第七节：直线及其方程直线及其方程习题77:1,4,5,8,10,12