解析几何中定点与定值问题ppt课件

热点分类突破 考点二 圆锥曲线中的定值、定点问题 例 2 已知椭圆 C ： x 2 a 2 y 2 b 2 1 经过点 (0 ， 3 ) ，离心率为 1 2 ，直 线 l 经过椭圆 C 的右焦点 F 交椭圆于 A 、 B 两点，点 A 、 F 、 B 在直线 x 4 上的射影依次为 D 、 K 、 E . ( 1) 求椭圆 C 的方程； ( 2) 若直线 l 交 y 轴于点 M ，且 MA AF ， MB BF ，当直 线 l 的倾斜角变化时，探求 的值是否为定值？若是， 求出 的值；否则，说明理由； ( 3) 连接 AE 、 BD ，试探索当直线 l 的倾斜角变化时，直线 AE 与 BD 是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并 给予证明；否则，说明理由 本 讲 栏 目 开 关 主干知识梳理 热点分类突破 押 题 精 练 热点分类突破 (1) 待定系数法； (2) 用直线的斜率为参数建立直线 方程，代入椭圆方程消 y 后可得点 A ， B 的横坐标的关系式， 然后根据向量关系式 MA AF ， MB BF 把 ， 用点 A ， B 的横坐标表示出来，只要证明 的值与直线的斜率 k 无关即 证明了其为定值，否则就不是定值； (3) 先根据直线 l的斜率不 存在时的特殊情况，看两条直线 AE ， BD 的交点坐标，如果 直线 AE ， BD 相交于定点的话，这个特殊位置时的交点就是 这个定点，这样只要证明直线 AE ， BD 都经过这个定点即证 明了两直线相交于定点，否则两直线就不相交于定点 本 讲 栏 目 开 关 主干知识梳理 热点分类突破 押 题 精 练 热点分类突破 解 ( 1) 依题意得 b 3 ， e c a 1 2 ， a 2 b 2 c 2 ， a 2 ， c 1 ， 椭圆 C 的方程为 x 2 4 y 2 3 1. ( 2) 因直线 l与 y 轴相交，故斜率存在，设直线 l方程为 y k ( x 1) ，求得 l与 y 轴交于 M (0 ， k ) ， 又 F 坐标为 ( 1,0) ，设 l交椭圆于 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， 由 y k x 1 ， x 2 4 y 2 3 1 ， 消去 y 得 (3 4 k 2 ) x 2 8 k 2 x 4 k 2 12 0 ， x 1 x 2 8 k 2 3 4 k 2 ， x 1 x 2 4 k 2 12 3 4 k 2 ， 本 讲 栏 目 开 关 主干知识梳理 热点分类突破 押 题 精 练 热点分类突破 又由 MA AF ， ( x 1 ， y 1 k ) (1 x 1 ， y 1 ) ， x 1 1 x 1 ，同理 x 2 1 x 2 ， x 1 1 x 1 x 2 1 x 2 x 1 x 2 2 x 1 x 2 1 x 1 x 2 x 1 x 2 8 k 2 3 4 k 2 2 4 k 2 12 3 4 k 2 1 8 k 2 3 4 k 2 4 k 2 12 3 4 k 2 8 3 . 所以当直线 l的倾斜角变化时，直线 的值为定值 8 3 . 本 讲 栏 目 开 关 主干知识梳理 热点分类突破 押 题 精 练 热点分类突破 ( 3) 当直线 l 斜率不存在时，直线 l x 轴， 则 A BE D 为矩形， 由对称性知， AE 与 BD 相交于 FK 的中点 N 5 2 ， 0 ， 猜想，当直线 l的倾斜角变化时， AE 与 BD 相交于定点 N 5 2 ， 0 ， 证明：由 ( 2) 知 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， D (4 ， y 1 ) ， E (4 ， y 2 ) ，当直线 l的倾斜角变化时，首先证直线 AE 过定点 5 2 ， 0 ， l AE ： y y 2 y 2 y 1 4 x 1 ( x 4) ， 本 讲 栏 目 开 关 主干知识梳理 热点分类突破 押 题 精 练 热点分类突破 当 x 5 2 时， y y 2 y 2 y 1 4 x 1 3 2 2 4 x 1 y 2 3 y 2 y 1 2 4 x 1 2 4 x 1 k x 2 1 3 k x 2 x 1 2 4 x 1 8 k 2 kx 1 x 2 5 k x 1 x 2 2 4 x 1 8 k 3 4 k 2 2 k 4 k 2 12 5 k 8 k 2 2 4 x 1 3 4 k 2 0. 点 N 5 2 ， 0 在直线 l AE 上 本 讲 栏 目 开 关 主干知识梳理 热点分类突破 押 题 精 练 热点分类突破 同理可证，点 N 5 2 ， 0 也在直线 l BD 上 当直线 l的倾斜角变化时，直线 AE 与 BD 相交于定点 5 2 ， 0 . 本 讲 栏 目 开 关 主干知识梳理 热点分类突破 押 题 精 练 热点分类突破 ( 1) 定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问 题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的 问题与参数无关在这类试题中选择消元的方向是非常关键 的 ( 2) 由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式： y y 0 k ( x x 0 ) ，则直线必过定点 ( x 0 ， y 0 ) ；若得到了直线方程的 斜截式： y kx m ，则直线必过定点 (0 ， m ) 本 讲 栏 目 开 关 主干知识梳理 热点分类突破 押 题 精 练 热点分类突破 ( 2013 陕西 ) 已知动圆过定点 A ( 4,0) ，且在 y 轴上截得 弦 MN 的长为 8. ( 1) 求动圆圆心的轨迹 C 的方程； ( 2) 已知点 B ( 1,0) ，设不垂直于 x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同 的两点 P ， Q ，若 x 轴是 PBQ 的角平分线，证明：直线 l 过定 点 ( 1) 解 如图，设动圆圆心为 O 1 ( x ， y ) ，由题意， 得 |O 1 A | |O 1 M |， 当 O 1 不在 y 轴上时，过 O 1 作 O 1 H MN 交 MN 于 H ， 则 H 是 MN 的中点， |O 1 M | x 2 4 2 ， 本 讲 栏 目 开 关 主干知识梳理 热点分类突破 押 题 精 练 热点分类突破 又 | O 1 A | x 4 2 y 2 ， x 4 2 y 2 x 2 4 2 ， 化简得 y 2 8 x ( x 0) 又当 O 1 在 y 轴上时， O 1 与 O 重合，点 O 1 的坐标为 ( 0,0) 也满足 方程 y 2 8 x ， 动圆圆心的轨迹 C 的方程为 y 2 8 x . ( 2) 证明 由题意，设直线 l 的方程为 y kx b ( k 0) ， P ( x 1 ， y 1 ) ， Q ( x 2 ， y 2 ) ， 将 y kx b 代入 y 2 8 x 中， 得 k 2 x 2 (2 bk 8) x b 2 0. 本 讲 栏 目 开 关 主干知识梳理 热点分类突破 押 题 精 练 热点分类突破 其中 32 kb 64 0. 由根与系数的关系得， x 1 x 2 8 2 bk k 2 ， x 1 x 2 b 2 k 2 ， 因为 x 轴是 PBQ 的角平分线，所以 y 1 x 1 1 y 2 x 2 1 ， 即 y 1 ( x 2 1) y 2 ( x 1 1) 0 ， ( kx 1 b )( x 2 1) ( kx 2 b )( x 1 1) 0 ， 2 kx 1 x 2 ( b k )( x 1 x 2 ) 2 b 0 将 ， 代入 得 2 kb 2 ( k b )(8 2 bk ) 2 k 2 b 0 ， k b ，此时 0 ， 直线 l 的方程为 y k ( x 1) ，即直线 l 过定点 ( 1,0) 本 讲 栏 目 开 关 主干知识梳理 热点分类突破 押 题 精 练 题型二 定值、定点问题 例 2 ( 1 ) 已知直线 y x 1 与椭圆 x 2 a 2 y 2 b 2 1( a b 0 ) 相交于 A 、 B 两点，且 OA OB .( 其中 O 为坐标 原点 ) 求证：不论 a 、 b 如何变化，椭圆恒过第一象限内 的一个定点 P ，并求点 P 的坐标 【解析】 ( 1 ) 由 x 2 a 2 y 2 b 2 1 ， y x 1 ， 消去 y 得 ( a 2 b 2 ) x 2 2 a 2 x a 2 (1 b 2 ) 0 ， 由 ( 2 a 2 ) 2 4 a 2 ( a 2 b 2 ) ( 1 b 2 ) 0 ，整理得 a 2 b 2 1 . 设 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， 则 x 1 x 2 2 a 2 a 2 b 2 ， x 1 x 2 a 2 ( 1 b 2 ) a 2 b 2 ， y 1 y 2 ( x 1 1)( x 2 1) x 1 x 2 ( x 1 x 2 ) 1. OA OB ( 其中 O 为坐标原点 ) ， x 1 x 2 y 1 y 2 0 ，即 2 x 1 x 2 ( x 1 x 2 ) 1 0 ， 2 a 2 ( 1 b 2 ) a 2 b 2 2 a 2 a 2 b 2 1 0 ， 整理得 a 2 b 2 2 a 2 b 2 0. 由 a 2 b 2 2 a 2 b 2 0 得 2 2 2 a 2 2 2 2 b 2 1 ，则不论 a 、 b 如何变化，椭圆恒过第一象限内的定点 2 2 ， 2 2 . ( 2 ) 已知椭圆 C 方程为 x 2 4 y 2 2 1 ，当过点 P ( 4 , 1 ) 的动直 线 l 与椭圆 C 相交于两不同点 A 、 B 时，在线段 AB 上取点 Q ， 满足 | AP | | QB | | AQ | | PB |. 证明：点 Q 总在某定直线上 【解】 设点 Q 、 A 、 B 的坐标分别为 ( x ， y ) ， ( x 1 ， y 1 ) ， ( x 2 ， y 2 ) 由题设知 | AP | 、 | PB | 、 | AQ | 、 | QB | 均不为零，记 | AP | | PB | | AQ | | QB | ，则 0 且 1 . 又 A 、 P 、 B 、 Q 四点共线，从而 AP PB ， AQ QB . 于是 4 x 1 x 2 1 ， 1 y 1 y 2 1 ， x x 1 x 2 1 ， y y 1 y 2 1 . 从而 x 2 1 2 x 2 2 1 2 4 x ， y 2 1 2 y 2 2 1 2 y . 又点 A 、 B 在椭圆 C 上，即 x 2 1 2 y 2 1 4 ， x 2 2 2 y 2 2 4. 2 并结合 、 得 4 x 2 y 4. 即点 Q ( x ， y ) 总在定直线 2 x y 2 0 上 ( 3 ) ( 厦门质检 ) 如图，已知椭圆 E ： x 2 a 2 y 2 b 2 1( a b 0 ) 的长轴长是短轴长的 2 倍，且过点 C ( 2 , 1 ) ，点 C 关于原 点 O 的对称点为 D . ( 1 ) 求椭圆 E 的方程； ( 2 ) 点 P 在椭圆 E 上，直线 CP 和 DP 的斜率都存在 且不为 0 ，试问直线 CP 和 DP 的斜率之积是否为定值？ 若是，求此定值；若不是，请说明理由 【解】 ( 1 ) 2 a 2 2 b ， a 2 b . 椭圆 E 过点 C ( 2 , 1 ) ， 2 2 4 b 2 1 b 2 1 ， b 2 ， a 2 2 ， 椭圆 E 的方程为 x 2 8 y 2 2 1. ( 2 ) 依题意得 D 点的坐标为 ( 2 ， 1) ，且 D 点在椭圆 E 上 直线 CP 和 DP 的斜率 k CP 和 k DP 均存在， 设 P ( x ， y ) ，则 k CP y 1 x 2 ， k DP y 1 x 2 ， k CP k DP y 1 x 2 y 1 x 2 y 2 1 x 2 4 . 又 点 P 在椭圆 E 上， x 2 8 y 2 2 1 ， x 2 8 4 y 2 ， k CP k DP y 2 1 x 2 4 1 4 ， 直线 CP 和 DP 的斜率之积为定值 1 4 . 探究 2 圆锥曲线中定值问题关键是灵活利用条件，等价转 化 . 返回 所以若符合条件的点 M 存在，则 M 的坐标必为 (1,0) 以下证明 M (1,0) 就是满足条件的点： 因为 M 的坐标为 (1,0) ，所以 MP 4 k m 1 ， 3 m ， MQ (3,4 k m ) ，从而 MP MQ 12 k m 3 12 k m 3 0 ， 故恒有 MP MQ ，即存在定点 M (1,0) ，使得以 PQ 为直径 的圆恒过点 M . 返回 (1)求解直线和曲线过定点问题的基本思路是：把直线或曲 线方程中的变量 x， y当作常数看待，把方程一端化为零，既然 是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的 系数就要全部等于零，这样就得到一个关于 x， y的方程组，这 个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点 . (2)由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式： y y0 k(x x0)，则直线必过定点 (x0， y0)；若得到了直线方程 的斜截式： y kx m，则直线必过定点 (0， m). 返回 1 已知椭圆 C ： x 2 a 2 y 2 b 2 1( a b 0) 的离心率 e 2 2 ，左、右焦点分 别为 F 1 、 F 2 ，点 P (2 ， 3 ) ，点 F 2 在线段 PF 1 的中垂线上 (1) 求椭圆 C 的方程； (2) 设直线 l ： y kx m 与椭圆 C 交于 M 、 N 两点，直线 F 2 M 与 F 2 N 的倾斜角分别为 ， ，且 ，试问直线 l 是否过定 点？若过，求该定点的坐标 返回 解： (1) 由椭圆 C 的离心率 e 2 2 ，得 c a 2 2 ， 其中 c a 2 b 2 ， 椭圆 C 的左、右焦点分别为 F 1 ( c, 0) 、 F 2 ( c, 0) 又 点 F 2 在线段 PF 1 的中垂线上， | F 1 F 2 | | P F 2 |， (2 c ) 2 ( 3 ) 2 (2 c ) 2 ， 解得 c 1 ， a 2 2 ， b 2 1. 椭圆的方程为 x 2 2 y 2 1. 返回 (2) 由题意直线 MN 的方程为 y kx m ， 由 x 2 2 y 2 1 ， y kx m 消去 y 得 (2 k 2 1) x 2 4 kmx 2 m 2 2 0. 设 M ( x 1 ， y 1 ) ， N ( x 2 ， y 2 ) ， 则 x 1 x 2 4 km 2 k 2 1 ， x 1 x 2 2 m 2 2 2 k 2 1 ，且 k F 2 M kx 1 m x 1 1 ， k F 2 N kx 2 m x 2 1 ， 由已知 得 k F 1 M k F 2 N 0 ， 返回 即 kx 1 m x 1 1 kx 2 m x 2 1 0. 化简，得 2 kx 1 x 2 ( m k )( x 1 x 2 ) 2 m 0 ， 所以 2 k 2 m 2 2 2 k 2 1 4 km m k 2 k 2 1 2 m 0 ， 整理得 m 2 k . 故直线 MN 的方程为 y k ( x 2) ， 因此直线 MN 过定点，该定点的坐标为 (2,0) . 返回 圆锥曲线中的定值问题 例 2 (2012 江苏高考 ) 如图，在平面直角 坐标系 xOy 中，椭圆 x 2 a 2 y 2 b 2 1( a b 0) 的左、 右焦点分别为 F 1 ( c, 0) ， F 2 ( c, 0) 已知点 (1 ， e ) 和 e ， 3 2 都在椭圆上，其中 e 为椭圆的离心率 (1) 求椭圆的方程； (2) 设 A ， B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点，且直线 AF 1 与直线 BF 2 平行， AF 2 与 BF 1 交于点 P ， 返回 若 AF 1 BF 2 6 2 ，求直线 AF 1 的斜率； 求证： PF 1 PF 2 是定值 思路点拨 (1) 将点 (1 ， e ) 和 e ， 3 2 代入椭圆方程即可求得 a ， b 的值； (2) 由 (1) 可知 F 1 、 F 2 的坐标，设出直线 AF 1 与 BF 2 的方程，然后 利用弦长公式可求 | AF 1 |与 | BF 2 |，从而可求 AF 1 的斜率；分别 用 AF 1 和 BF 2 表示 PF 1 与 PF 2 ，即可证明 PF 1 PF 2 为定值 返回 规范解答 (1) 由题设知 a 2 b 2 c 2 ， e c a . 由点 (1 ， e ) 在椭圆上，得 1 a 2 c 2 a 2 b 2 1 ， 解得 b 2 1. 于是 c 2 a 2 1 ， 又因为点 e ， 3 2 在椭圆上，所以 e 2 a 2 3 4 b 2 1 ， 即 a 2 1 a 4 3 4 1 ，解得 a 2 2. 因此，所求椭圆的方程是 x 2 2 y 2 1. 返回 (2) 由 (1) 知 F 1 ( 1,0) ， F 2 (1,0) ，又因为直线 AF 1 与 BF 2 平行，所 以可设直线 AF 1 的方程为 x 1 my ，直线 BF 2 的方程为 x 1 my . 设 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， y 1 0 ， y 2 0. 由 x 2 1 2 y 2 1 1 ， x 1 1 my 1 ， 得 ( m 2 2) y 2 1 2 my 1 1 0 ， 解得 y 1 m 2 m 2 2 m 2 2 ， 故 AF 1 x 1 1 2 y 1 0 2 my 1 2 y 2 1 2 m 2 1 m m 2 1 m 2 2 . 返回 同理， BF 2 2 m 2 1 m m 2 1 m 2 2 . .由 得 AF 1 BF 2 2 m m 2 1 m 2 2 ， 解 2 m m 2 1 m 2 2 6 2 ，得 m 2 2 ，注意到 m 0 ，故 m 2 . 所以直线 AF 1 的斜率为 1 m 2 2 . .证明：因为直线 AF 1 与 BF 2 平行，所以 PB PF 1 BF 2 AF 1 ， 返回 于是 PB PF 1 PF 1 BF 2 AF 1 AF 1 ， 故 PF 1 AF 1 AF 1 BF 2 BF 1 . 由 B 点在椭圆上知 BF 1 BF 2 2 2 ， 从而 PF 1 AF 1 AF 1 BF 2 (2 2 BF 2 ) 同理 PF 2 BF 2 AF 1 BF 2 (2 2 AF 1 ) 返回 因此， PF 1 PF 2 AF 1 AF 1 BF 2 (2 2 BF 2 ) BF 2 AF 1 BF 2 (2 2 AF 1 ) 2 2 2 AF 1 BF 2 AF 1 BF 2 . 又由 知 AF 1 BF 2 2 2 m 2 1 m 2 2 ， AF 1 BF 2 m 2 1 m 2 2 ，所以 PF 1 PF 2 2 2 2 2 3 2 2 . 因此， PF 1 PF 2 是定值 返回 (1)解析几何中的定值问题是指某些几何量 (线段的长度、 图形的面积、角的度数、直线的斜率等 )的大小或某些代数表 达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化， 而始终是一个确定的值 . (2)求定值问题常见的方法有两种： 从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量， 从而得到定值 . 此课件下载可自行编辑修改，供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更好！