用拉格朗日配方法化二次型为标准形

用拉格朗日配方法化二次型为标准形用拉格朗日配方法化二次型为标准形6 用配方法化二次型成用配方法化二次型成标准形标准形下页关闭 化二次型为标准型的方法有多种，本节主要化二次型为标准型的方法有多种，本节主要介绍拉格朗日配方法。介绍拉格朗日配方法。化二次型化二次型32312123222162252xxxxxxxxxf 成标准形，并求所用的变换矩阵。成标准形，并求所用的变换矩阵。解解32232232232223216522)(xxxxxxxxxxx ,44)(2332222321xxxxxxx 上式右端除第一项外已不再含上式右端除第一项外已不再含,1x继续配方，可得继续配方，可得.)2()(2322321xxxxxf 例例1432312123222162252xxxxxxxxxf 上页下页返回.)2()(2322321xxxxxf ,2,333223211xyxxyxxxy令令 ,2,333223211yxyyxyyyx即即).01(,100210111:,2221 CCyyff所所用用的的变变换换是是化化成成标标准准形形就就把把上页下页返回323121622xxxxxxf 成标准形，并求所用的变换矩阵。成标准形，并求所用的变换矩阵。例例15解解 ,33212211yxyyxyyx令令.842232312221yyyyyyf 代入可得代入可得化二次型化二次型上页下页返回.6)2(2)(2,23232231yyyyyf 得得再再配配方方 ,2,2,3332231133322311zyzzyzzyyzyyzyyz即即令令).02|(|,100111311100111101100011011.622232221 CCzzzf所用的变换矩阵是所用的变换矩阵是即有即有.842232312221yyyyyyf 上页下页返回 由例由例1和例和例2可知，用拉格朗日配方法化二次型可知，用拉格朗日配方法化二次型为标准形的一般步骤是：为标准形的一般步骤是：（1）若二次型中含有）若二次型中含有 xi 的平方项，则先把含的平方项，则先把含 xi 的各项配成平方项，然后再依此法对其它变量配方，的各项配成平方项，然后再依此法对其它变量配方，直到都配成平方项；直到都配成平方项；（2）若二次型中不含任何平方项，但有）若二次型中不含任何平方项，但有 aij 0(i j)，则作一可逆线性变换，则作一可逆线性变换 jikyxyyxyyxkkjijjii,使二次型化为含有平方项的形式，再按上面的方法配使二次型化为含有平方项的形式，再按上面的方法配方。方。上页下页返回Ex.10323121232221124456xxxxxxxxxf 成标准形，并求所用的变换矩阵。成标准形，并求所用的变换矩阵。解解用配方法化二次型用配方法化二次型323121232221124456xxxxxxxxxf 3223222323212142)(4)(4xxxxxxxxxx 232332222321)2(2)22(xxxxxxxx 232322321)(2)22(xxxxxx 上页下页返回232322321)(2)22(xxxxxx .,2.,2233322211332321321yxyyxyyxyxyxxyxxx即即令令.2232221yyyf 得得 一般地，任何二次型都可用拉格朗日配方法找一般地，任何二次型都可用拉格朗日配方法找到可逆线性变换，把二次型化成标准形，且由定理到可逆线性变换，把二次型化成标准形，且由定理9可知，标准形中含有的项数，就是二次型的秩。可知，标准形中含有的项数，就是二次型的秩。上页返回