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FF1F2D1三、组合变形的研究方法三、组合变形的研究方法 叠加原理叠加原理外力分析：外力分析：外力向轴线简化并沿主惯性轴分解外力向轴线简化并沿主惯性轴分解内力分析：内力分析：求每个外力分量对应的内力方程和内力图，确求每个外力分量对应的内力方程和内力图，确 定危险面。定危险面。画危险面应力分布图，叠加，建立危险点的强画危险面应力分布图，叠加，建立危险点的强 度条件。度条件。82 双对称轴梁非对称弯曲双对称轴梁非对称弯曲平面平面弯曲：弯曲：梁的横截面有一对称轴，外载荷作用在纵向对称面梁的横截面有一对称轴，外载荷作用在纵向对称面内，杆发生弯曲变形后，轴线仍然在纵向对称面内，是一内，杆发生弯曲变形后，轴线仍然在纵向对称面内，是一条平面曲线条平面曲线。C纵向对称面纵向对称面F1F2yzlxFzyF 82 双对称轴梁非对称弯曲双对称轴梁非对称弯曲1.1.分解：将外载沿横截面的两个形心主轴分解，于是得到两分解：将外载沿横截面的两个形心主轴分解，于是得到两个正交的平面弯曲。个正交的平面弯曲。82 双对称轴梁非对称弯曲双对称轴梁非对称弯曲sinFFycosFFzzyFFyFzyzlxFyzxxMyMzzxyMyzxy)(xlFMyz)(xlFMzy水平面内：水平面内：)(cosxlF铅垂面内：铅垂面内：)(sin xlFxMz2.2.叠加：对两个平面弯曲分别进行研究；然后将计算结果叠叠加：对两个平面弯曲分别进行研究；然后将计算结果叠加起来。加起来。yyIzMMy引起的应力：引起的应力：zzIyM M z引起的应力：引起的应力：zyyzzy 合应力：合应力：tmax cmax maxmaxmax zzyyWMWM max 最大正应力在最大正应力在D和和D 点点MzMyDD zzyyIyMIzM 最大正应力在最大正应力在D和和D 点点maxmaxmax zzyyWMWM max 强度条件：强度条件：maxzzyyWMWMxzyzMyxyMzxyztmaxcmaxDD 得中性轴方程：得中性轴方程：中性轴上的正应力为零中性轴上的正应力为零:zzyyIyMIzM 令合应力等于零：令合应力等于零：0)sincos(zyIyIzM00sincoszyIyIzyF 中性轴中性轴 tanzyIIyz中性轴中性轴tantanzyII即：zytmaxcmax变形计算变形计算zyyEILFf33zyfftanffyfz yzLxFzyFFyFz232322)3()3(yzzyzyEILFEILFfffyzzEILFf33 水平：铅垂：合位移：当Iy=Iz时，tantan,tanzyII例例1 已知：已知：32a工字钢，工字钢，l=2m，F=15kN，=15，=170MPa，校核梁的强度。，校核梁的强度。yzFlyzFFzFy解：解：)mkN(29lFMzy)mkN(76.7lFMyz危险截面在固定端危险截面在固定端查表得：查表得：)cm(692 3 yW)cm(8.70 3 zWzzyyWMWM max 3636108.701076.71069210296.1099.41 )MPa(5.151 安全。例例1 已知：已知：32a工字钢，工字钢，l=2m，F=15kN，=15，=170MPa，校核梁的强度。，校核梁的强度。yzF解：解：)mkN(30FlMy危险截面在固定端危险截面在固定端查表得：查表得：)(6923cm yWyyWMmax36106921030)MPa(4.43安全。例例1 已知：已知：32a工字钢，工字钢，l=2m，F=15kN，=0，=170MPa，校核梁的强度。，校核梁的强度。4.434.435.151 49.2例例1yzFFllyz已知：已知：32a工字钢，工字钢，l=2m，F=33kN，=15，=170MPa，校核梁的强度。，校核梁的强度。ABllyzFzFyABllyFy+My2lFz+MZ2lFyyzFFzABllyzFy解：解：)mkN(87.312lFMzy)mkN(54.82lFMyzyzF危险截面在跨中危险截面在跨中+My2lFz+MZ2lFyFzABllyzFy解：解：)mkN(87.312 lFMzy)mkN(54.82 lFMyz查表得：查表得：)cm(692 3 yW)cm(8.70 3 zWzzyyWMWM max 3636108.701054.8106921087.316.1201.46)MPa(7.166 安全。yzF FABllyz另：若另：若 =0，求梁，求梁内最大正应力。内最大正应力。)mkN(332maxlFM查表得：查表得：)(6923cm yWyWMmaxmax361069210337.47)(MPa解：解：yF应力下降约应力下降约3/4+M2Fl已知：已知：F1=1.7kN，F2=1.6kN，l=1m，=160MPa，试指出危险点的位置并设计圆截面杆的直径。试指出危险点的位置并设计圆截面杆的直径。)mkN(6.12lFMy解：解：危险截面在固定端危险截面在固定端例例2yzllF2zyF1Mz+My)mkN(4.321lFMzMyyMzzyz不能使用！公式 zzyyWMWMmaxllF2zyF1332MWMmax)(62 mm361601076.33222zyMMMMyyMzzyzMzMyM224.36.1323dM)(76.3mkNDC危险点在危险点在C、D两点两点yMzyDCllF2zyF1 d FllyzCyzCyzCyz非对称截面梁的弯曲非对称截面梁的弯曲一、拉一、拉(压压)弯组合变形：弯组合变形：杆件同时受横向力和轴向力的作用而杆件同时受横向力和轴向力的作用而产生的变形。产生的变形。83 拉伸拉伸(压缩压缩)与弯曲的组合与弯曲的组合F2F1yzlxyzxMzzyxMzFNzyFNNMmaxAFWMzzN 例例3 lBCAF简易吊车，简易吊车，AB梁为梁为18号工字钢，号工字钢，W=185cm3，A=30.6cm2，梁长，梁长l=2.6m，=30，=120MPa，F=25kN，校核梁的强度。，校核梁的强度。解：取小车在中点的工况取小车在中点的工况l/2BAFFBl/2FAxFAy)kN(25BFl/2BAF FBl/2FAxFAy由理论力学得：由理论力学得：)kN(65.21AxF)kN(5.122FFAyFBxFByAB梁受压弯组合，跨中梁受压弯组合，跨中为危险截面；为危险截面；)kN(65.21NAxFF)mkN(3.162lFMAy危险点在跨中上边缘，是危险点在跨中上边缘，是压应力；压应力；l/2BAFl/2FAyFByBAFAxFBx+16.3Ml/2BAFFBl/2FAxFAyFBxFByAB梁受压弯组合，跨中梁受压弯组合，跨中为危险截面；为危险截面；)kN(65.21NAxFF)mkN(3.162lFMAy危险点在跨中上边缘，是危险点在跨中上边缘，是压应力；压应力；362310185103.16106.301065.211.8809.7)MPa(2.95安全！安全！+16.3MWMAFcNmax )kN(50BFl/2BAFFBl/2FA)kN(3.43AFAB梁受轴向压缩：梁受轴向压缩：)kN(3.43NAFFAFN23106.30103.43)MPa(1.14当小车在当小车在B点时：点时：lBCAF 例例4 lBCAF简易吊车，梁长简易吊车，梁长l=2.6m，=30，=120MPa，F=50kN，试选择工字钢型号。，试选择工字钢型号。解：解：取小车在中点的工况取小车在中点的工况l/2BAFFBl/2FAxFAy)kN(50BFl/2BAFFBl/2FAxFAy)kN(3.43AxF)kN(252FFAyFBxFByAB梁受压弯组合，跨中为梁受压弯组合，跨中为危险截面：危险截面：)kN(3.43NAxFF)mkN(5.322lFMAy由弯曲强度进行试算：由弯曲强度进行试算：120105.326)MPa(5.115WMmaxMW)mm(1027033选选22a工字钢，工字钢，W=309cm3WMAFcNmax362310309105.3210128.42103.43可以选可以选22a工字钢！工字钢！例例4 已知：冲压机，铸铁机身，已知：冲压机，铸铁机身，t=30MPa，c=160MPa，Iy=5310cm4，A=150cm2，z0=7.5cm，z1=12.5cm，l=35cm，F=40kN，校核立柱，校核立柱强度。强度。z1z0yzlFFABlFABFNM解：解：)(0zlFM 23101501040)MPa(67.2yIzM0t 46105310751017)MPa(24yIzM1c 461053101251017)MPa(40NFNctM)kN(40)mkN(17FF NAFNN z1z0yzNctNttmaxNccmax67.224)MPa(7.2667.240)MPa(3.37tc该立柱安全！该立柱安全！maxtmaxcPF102010100201020Cz235100101210010CyI252010122010 23图示钢板，厚度图示钢板，厚度t=10=10mm，受力，受力F=100kN，试求最大正试求最大正应力；若将缺口移至板宽的中央，则最大正应力为多少？应力；若将缺口移至板宽的中央，则最大正应力为多少？解：内力分析如图解：内力分析如图坐标如图，形心位置坐标如图，形心位置CzFMFFMFN2010020yzyCzC 例例5 45mm1027.7mN500mm5ycIzMAFmaxNtmax MPa8.1628.37125应力分析如图应力分析如图5331027.7551050080010100孔移至板中间时)MPa(125800101003NmaxAFPMFNFNMF680102yW图示钢板，厚度图示钢板，厚度t=10=10mm，受力，受力F=100kN，试求最大正试求最大正应力；若两侧同时开缺口，则最大正应力为多少？应力；若两侧同时开缺口，则最大正应力为多少？解：解：mm10eF10020 例例4 34mm1007.1FMFNzyeFF NkN100eFMmkN1yWMAF Ntmax4631007.1101 80101010039 125)MPa(218若两侧同时开缺口，则：若两侧同时开缺口，则：AFNmax 6010101003)MPa(167AFNmax211Nmax1zWMAF2333.02.0605.0103503.02.010350解：图（1）图示不等截面与等截面杆，受力图示不等截面与等截面杆，受力F=350kN，试分别求试分别求出两柱内的最大正应力出两柱内的最大正应力(绝对值绝对值)。图（1）图（2）FMFNd50F200200MPa7.11MPa75.82.02.0350000 例例6 图（2）F200200300yy8-4 8-4 偏心拉伸（压缩）偏心拉伸（压缩）截面核心截面核心FzyxzyxFMzMyzyMzx一、一、偏心拉偏心拉拉伸（压缩）拉伸（压缩）yz(yFzF)FyzFMFzyFMyMyMZFAFF zzMIyMz yyMIzMy MyyMZyyFyyyzzIzMIyMAF yyzzWMWMAF max z中性轴中性轴危险点危险点zy中性轴中性轴yyzzIzMIyMAF yyzzWMWMAFmaxt yyzzWMWMAF max c强度条件：强度条件：max yyzzWMWMAF 危险点危险点中性轴中性轴 二、中性轴方程二、中性轴方程0)()(2020 yFzFAizzFAiyyFAFy中性轴中性轴yz),(FFyz0)1(2020 yFzFizziyyAF中性轴在中性轴在y和和z轴上的截距轴上的截距ay，az ：,012 zyFiay012 yzFiaz012020 yFzFizziyy,00 z令令,00 y令令,2Fzyyia ,2Fyzzia 000 yyzzIzMIyMAF 令：令：azayaz三、截面核心三、截面核心,2Fzyyia ,2Fyzzia 当当yF和和zF逐步减小时，中性轴将移逐步减小时，中性轴将移出横截面，截面上只存在拉应力。出横截面，截面上只存在拉应力。当外力作用点位于截面形心附近的当外力作用点位于截面形心附近的一个区域内时，就可以保证中性轴不穿一个区域内时，就可以保证中性轴不穿过横截面，横截面上无压应力（或拉应过横截面，横截面上无压应力（或拉应力），此区域称为力），此区域称为截面核心截面核心。yz中性轴中性轴yz),(FFyzyzayFFFF 例例 矩形截面立柱，欲使柱内不出现拉应力，求矩形截面立柱，欲使柱内不出现拉应力，求F力的作力的作用区域。用区域。yzhbeFeFM=Fe 可以证明，当可以证明，当F力作用在由此四点围成的菱形内时，横力作用在由此四点围成的菱形内时，横截面上无拉应力。该菱形区域称为截面上无拉应力。该菱形区域称为截面核心截面核心由对称性可知，在由对称性可知，在z轴轴上的作用区域为上的作用区域为 h/3/3AFWMyNmaxt 0bhFbhFe 620e 同理可知，在同理可知，在y轴上的轴上的作用区域为作用区域为 b/3/3zyhbh/3FM=Fe6h85 弯曲与扭转的组合弯曲与扭转的组合MeFlTMe+MFl危险截面在固定端危险截面在固定端MTMT危险点在固定端的上、下两点危险点在固定端的上、下两点WM ,tWT MTM T MeFlABAB223r4224r32t23r)(4)(WTWM 2t24r)(3)(WTWM MeFlAB223r4224r32t23r)(4)(WTWM 2t24r)(3)(WTWM WW2t 223r)2(4)(WTWM 即即：WTM223rWTM224r75.0已知：已知：F=4.2kN，Me=1.5kNm，l=0.5m，d=100mm，=80MPa，按第三强度理论校核杆的强度。，按第三强度理论校核杆的强度。)mkN(5.1e MT解：解：危险截面在固定端危险截面在固定端yz)mkN(2.42 lFMz例例7Mz+TMyllFzyFMed)mkN(1.2 lFMy22zyMMM 222.41.2 )mkN(7.4 将弯矩合成：将弯矩合成：TWTM22r3 3210014.3105.17.43622 MPa3.50安全安全!Mz+My22zyMMM )mkN(7.4 llFzyFMed图示圆轴，直径图示圆轴，直径d=25mm，轮子直径，轮子直径D=400mm，F1=1.2kN，F1=2F2，=120MPa，试用第三强度理试用第三强度理论校核此轴的强度。论校核此轴的强度。例例8 20FzyxF1150200100ABCEF2DDzxyBCEA外力分析外力分析解：解：F3MxFyMxFyFz，0 xM)kN(5.638F得：得：)kN(6.0yF)kN(218.0zF)kN(6.02F20FzyxF1150200100ABCEF2DDFz将外力向轴线平移：将外力向轴线平移：2 21211DFDFMx)mN(120213FFF)kN(8.1内力分析内力分析120(Nm)T15020010060128.5Mz(Nm)9.321.8My(Nm)危险截面内力为：危险截面内力为：225.1283.9 CM22608.21 EMC截面是危险面。截面是危险面。WTMC223r 323dW 1533101208.128322)MPa(112 安全安全)mm(15333m)N(8.128m)N(8.63F3MxzxyFyFzMxABCE
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