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二次函数与二次函数与x轴的交点轴的交点一、探究一、探究探究探究1 1、求二次函数图象求二次函数图象y=xy=x2 2-3x+2-3x+2与与x x轴的交轴的交点点A A、B B的坐标的坐标.解：解：AA、B B在在x x轴上，轴上，它们的纵坐标为它们的纵坐标为0 0，令令y=0y=0，则，则x x2 2-3x+2=0-3x+2=0 解得：解得：x x1 1=1=1，x x2 2=2=2；AA（1 1，0 0），B B（2 2，0 0）你发现方程你发现方程 的解的解x x1 1、x x2 2与与A A、B B的坐标有的坐标有什么联系？什么联系？x x2 2-3x+2=0-3x+2=0结论结论1 1：方程方程x x2 2-3x+2=0-3x+2=0的解就是抛物线的解就是抛物线y=xy=x2 2-3x+23x+2与与x x轴的两个交点的轴的两个交点的横坐标横坐标.因此，抛物因此，抛物线与一元二次方程是有密切联系的线与一元二次方程是有密切联系的.即：若一元二次方程即：若一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的两个根是的两个根是x x1 1、x x2 2，则抛物线则抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c与与x x轴的两个轴的两个交点坐标分别是交点坐标分别是A A（），），B B（）x x1 1，0 0 x x2 2，0 0 x xOO A AB By y探究探究2 2、抛物线与抛物线与x x轴的公共点个数能不能用一轴的公共点个数能不能用一元二次方程的知识来说明呢？元二次方程的知识来说明呢？OOx xy y与与x x轴的公轴的公共点个数共点个数一元二次方一元二次方程根的个数程根的个数2 2个个2 2个不等根个不等根b b2 2-4ac-4ac0 01 1个个2 2个等个等根根0 0个个0 0个个b b2 2-4ac-4ac0 0b b2 2-4ac=0-4ac=0一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0有两个不等的实数根有两个不等的实数根结论结论2 2：抛物线抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c与与x x轴有两个公共点轴有两个公共点抛物线抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c与与x x轴的交点个数可由轴的交点个数可由一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的根的情况说明：的根的情况说明：抛物线抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c与与x x轴有唯一公共点轴有唯一公共点一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0有两个相等的实数根有两个相等的实数根抛物线抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c与与x x轴没有公共点轴没有公共点一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0没有实数根没有实数根 1 1、b b2 2-4ac-4ac0 0 2 2、b b2 2-4ac=0-4ac=0 3 3、b b2 2-4ac-4ac 0 0 1 1、下列各抛物线与、下列各抛物线与x x轴是否有公共点，如果轴是否有公共点，如果有，求出公共点的坐标有，求出公共点的坐标.（1 1）y=6xy=6x2 2-2x+1 -2x+1 （2 2）y=-15xy=-15x2 2+14x+8+14x+8（3 3）y=xy=x2 2-4x+4-4x+4关键关键:令令y=0y=0时时,看看b b2 2-4ac.-4ac.二、基础训练二、基础训练二次函数与二次函数与y轴的交点轴的交点y=ax2+bx+c(a0）一般式)424,2(abacababx2C0C0C=0 经过原点经过原点xyoCxyoCxyoCxyoCxyoC顶点坐标顶点坐标对对 称称 轴轴与与y轴正半轴相交轴正半轴相交与与y轴负半轴相交轴负半轴相交与与y轴交点的求法：轴交点的求法：令令x=0,得到得到y=c 即（即（0，c）与与y轴始终有一个交点（轴始终有一个交点（0，c）如果如果y=ax2+bx+c的图象与的图象与x轴的交点为轴的交点为A(x1,0),B(x2,0);那么那么AB=|x1-x2|=|axyoCx1x2二次函数顶点位置二次函数顶点位置顶点在顶点在y轴上轴上 02ab顶点在顶点在x轴上轴上 0442abacxyoxyoxyo顶点在原点顶点在原点b=c=02 2、判断下列各抛物线与、判断下列各抛物线与的交点个数的交点个数.（1 1）y=6xy=6x2 2-2x+1 -2x+1 （2 2）y=2xy=2x2 2-6x-6x基础训练基础训练3 3、已知抛物线、已知抛物线y=xy=x2 2-6x+a-6x+a的顶点在的顶点在x x轴上，则轴上，则a=a=；若抛物线与；若抛物线与x x轴有两个交点，则轴有两个交点，则a a的范围是的范围是 ；若抛物线与坐标轴有；若抛物线与坐标轴有两个两个公共点，则公共点，则a=a=；顶点在顶点在x x轴上轴上b b2 2-4ac=0-4ac=0与与x x轴有两个交点轴有两个交点方程有两个方程有两个不等不等实根实根xyo2400bacc2400bacc9 9a9a0.y0.x x 时，时，y y0.0.-4x3-4x0y0？（3 3）将抛物线作怎样的一次）将抛物线作怎样的一次平移平移,才能使它与才能使它与坐标轴坐标轴仅有仅有两个交点两个交点,并写出此时抛物线并写出此时抛物线的解析式的解析式.xyoABDC-15-2.5y=(x+1)(x-5)y=(x+1)(x-5)21=(x-2)=(x-2)2 2-2129例题分析：例题分析：xyoABDC-15-2.5 6 6、已知已知:抛物线抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象如图所示：的图象如图所示：（1 1）求此抛物线的解析式；）求此抛物线的解析式；（2 2）当）当x x取何值时，取何值时，y0y0？（3 3）将抛物线作怎样的一次）将抛物线作怎样的一次平移平移,才能使它与才能使它与坐标轴坐标轴仅有仅有两个交点两个交点,并写出此时抛物线并写出此时抛物线的解析式的解析式.例题分析：例题分析：y=(x+1)(x-5)y=(x+1)(x-5)21=(x-2)=(x-2)2 2-2129xyoABDC-15-2.5 6 6、已知已知:抛物线抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象如图所示：的图象如图所示：（1 1）求此抛物线的解析式；）求此抛物线的解析式；（2 2）当）当x x取何值时，取何值时，y0y0？（3 3）将抛物线作怎样的一次）将抛物线作怎样的一次平移平移,才能使它与才能使它与坐标轴坐标轴仅有仅有两个交点两个交点,并写出此时抛物线并写出此时抛物线的解析式的解析式.例题分析：例题分析：y=(x+1)(x-5)y=(x+1)(x-5)21=(x-2)=(x-2)2 2-2129xyoABDC-15-2.5 6 6、已知已知:抛物线抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象如图所示：的图象如图所示：（1 1）求此抛物线的解析式；）求此抛物线的解析式；（2 2）当）当x x取何值时，取何值时，y0y0？（3 3）将抛物线作怎样的一次）将抛物线作怎样的一次平移平移,才能使它与才能使它与坐标轴坐标轴仅有仅有两个交点两个交点,并写出此时抛物线并写出此时抛物线的解析式的解析式.例题分析：例题分析：y=(x+1)(x-5)y=(x+1)(x-5)21=(x-2)=(x-2)2 2-2129四、小结四、小结1 1、若一元二次方程、若一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的两个根是的两个根是x x1 1、x x2 2，则抛物线则抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c与与x x轴的两个交点坐轴的两个交点坐标分别是标分别是A A（x x1 1，0 0 ），），B B（x x2 2，0 0）2 2、若一元二次方程、若一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0与二次三项式与二次三项式axax2 2+bx+c+bx+c及二次函数及二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c这三个这三个“二次二次”之间互相之间互相转化转化的关系的关系.体现了体现了数形结合数形结合的思想的思想.二次函数与一元二次方程3.3.二次函数二次函数y=ax2+bx+c的图象和的图象和x x轴交点的坐标与一元轴交点的坐标与一元二次方程二次方程ax2+bx+c=0=0的根有什么关系的根有什么关系?二次二次函数函数y=ax2+bx+c的的图象和图象和x x轴交点轴交点一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=0=0的根的根一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=0=0根的判别式根的判别式=b2-4ac有两个交点有两个交点有两个相异的实数根有两个相异的实数根b2-4ac 0 0有一个交点有一个交点有两个相等的实数根有两个相等的实数根b2-4ac=0=0没有交点没有交点没有实数根没有实数根b2-4ac 0 0四、小结四、小结
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