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多元函数微积分学多元函数 一元函数 ，自变量只有一个；多元(n元)函数 ，自变量有n个()(xfy),(21nxxxfy2n多元函数的例子 1.圆的面积与椭圆的面积；2.正方形的面积与长方形的面积 二元函数 我们这节课将讨论二元函数。有关的概念、理论与方法可以平行地推广到一般的多元函数上去。二元函数的定义域 一元函数的定义域是实数轴上的点集；二元函数的定义域是坐标平面上的点集.坐标平面与平面点集 在平面上确定了一个直角坐标系之后，所有有序实数对(x,y)与平面上所有的点之间就建立了一一对应。确定了直角坐标系的平面，称为坐标平面；在坐标平面上满足某种条件P的点的集合称为平面点集，记作),(|),(),(:),(PyxyxEPyxyxE满足某种条件或满足某种条件平面点集的例子.,:),(,:),(.3;)()(:),(0,),(.2;,:),(.122020002dcbadycbxayxdycbxayxRyyxxyxRyxyxyxR笛卡尔积有的点的集合是矩形的边界及其内部所的集合是为半径的圆内所有的点以为中心以成的集合是坐标平面上所有的点构二元函数的定义.)(,.),(),(,),(.),(,:,),(,2RDffyxfyxfzDyxzfyxfDyxfzRDfDfzyxPDfRD记作的值域全体函数值的集合称为处的函数值在点称为称为因变量的自变量，称为和的定义域，称为记作上的二元函数为定义在则称与之对应都有唯一确定的实数中每一点对于若按照某种对应法则设平面点集求二元函数的定义域与值域.11),(.4;2),(.3;)(1),(.2);0,(),(.1222222yxyxfzyxxyyxfzyxyxfzbaybxayxfz函数函数函数的实数是不为函数中邻域的概念2R.),(),(),(|,|:|),(),(|,|:|),(;),()()(0:),(;),()()(:),(,),(000000000000220200022020200方形邻域为中心的空心称为以点且平面点集方形邻域；为中心的称为以点平面点集圆形邻域为中心的空心称为以点平面点集圆形邻域为中心的称为以点平面点集对于yxPyxyxyyxxyxyxPyyxxyxyxPyyxxyxyxPyyxxyxRyx中邻域的概念2R点集之间的关系：利用邻域可以描述点与来表示或并以记号泛指这两种形状的邻域邻域邻域或者空心的通常用点.),(),(,pUPUP内点、外点与边界点的概念.,),(),(,0.,.3,),(),(.2,),(),(.1),(22EEEEpUEpUEPEEPEPEpUpUPEPEpUpUPRERyxPc记作的边界的全体边界点构成都不是空集！以及有即对任何正数的边界点是称点的点又含有不属于的点于的任何邻域内既含有属若在点的外点；是称点空集使得的某个邻域若存在点的内点；是称点使得的某个邻域若存在点之一：之间必有以下三种关系与任意一个点集任意一点内点、外点与边界点的概念 1.点集E的内点一定属于E;2.点集E的外点一定不属于E;3.点集E的边界点有可能属于E,也有可能不属于E聚点与孤立点的概念.,),(),(,.2!.,),(.1),(22的孤立点是称点空集使得的某个空心邻域且存在点若点内点一定是聚点也有可能不属于聚点有可能属于的聚点；是称点中的点内都含有的任何空心邻域若在点：与任意一个点集任意一点EPEpUpUPEPEEEPEpUPRERyxP.;41:),(;14:),(;41:),(;41:),(41:),(22222222222222无孤立点一切聚点构成的集合为或一切外点构成的集合为或者为一切边界点构成的集合一切内点构成的集合为设平面点集yxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxE开集与闭集，开区域与闭区域 1.若平面点集E中每一点都是E的内点，则称E为开集.2.若平面点集E的所有聚点都属于E，则称E为闭集.3.非空的连通开集称为开区域.4.开区域连同其边界构成的点集称为闭区域.若集合E中任意两点之间都可以用属于E的折线连接起来，则称E为连通集!既开又闭的平面点集 规定 和空集既是开集又是闭集.2R点集的直径，有界集与无界集.,)(,)().,(sup)(.)()(),(),(),(,21,221221212122112121为无界点集则称若为有界点集；则称为有限值若的直径定义为点集两点之间的距离定义为和时，和的坐标分别为当EEdEEdPPEdEyyxxPPPPyxyxPPEPP完备性定理 一元函数极限理论的基础是实数理论，即反映实数系完备性的六个等价定理。这些定理可以推广到 ，它们是二元函数极限理论的基础。2R平面点列的收敛性.limlim),(),(.,0lim),(lim.,00000000202yyxxPPyxPyxPPPPPRPRPnnnnnnnnnnnnnn等价于收敛于点则点列设收敛于点则称点列如果为一固定点为平面点列设Cauchy收敛准则.),(,0pnnnPPpNnNP，都有时，对于一切自然数使得当一定存在某个自然数对于任意给定的收敛平面点列闭区域套定理.,2,1,0)(lim)2(;,2,1,)1(,012nDPDdnDDRDnnnnnn则存在唯一的点它满足下面两个条件：中的闭区域列是设聚点定理中至少有一个聚点。在则为有界无限点集设22,RERE Bolzano-Weierstrass定理,2knnPRP一定存在一个收敛子列任意一个有界无限点列有限覆盖定理.,1212nkknDDRD使得域则一定存在有限个开区所覆盖它被一开区域族是一个有界闭区域设n元函数的定义.,),(.,),(212121称为这个点的坐标个实数中的一个点称为每个有序实数组记作维向量空间的全体称为所有有序实数组nnnnnxxxnRxxxRnxxxn元函数的定义.)(,.),(),(,),(.,),(,:,),(,212121212121REffxxxfxxxfyExxxyfxxxfExxxfyREfnEfyxxxPEfREnnnnnnn记作的值域全体函数值的集合称为处的函数值在点称为称为因变量的自变量，称为的定义域，称为记作元函数上的为定义在则称与之对应都有唯一确定的实数中每一点对于若按照某种对应法则设点集 极限理论极限理论二元函数的极限此式称为二重极限。为极限，记作以时，当上在则称都有时当使得总存在某个正数若对于任意给定的是一个确定的实数，的一个聚点，为上的二元函数为定义在设.),(lim),()(,|),(|,),(),(,0,0),(,),(),(00000200AyxfAyxfPPDAyxfDPUyxPADyxPRDfyxyx例题 按照极限的定义证明.7)(lim22)1,2(),(yxyxyx证明 注意|1|2|2|1|4|222|1|4|214|7|22222222yyxyxyyxyyxxyyxyxyx例题.0),(lim)0,0(),(,)0,0(),(,0),()0,0(),(2222yxfyxyxyxyxxyyxfyx按照极限的定义证明证明.|21|0),(|),0,0(),(2222yxyxyxyxxyyxfyx对于二元函数的极限 类似地，我们可以定义其它类型的极限).,(lim),(lim),(lim),(),(),(),(),(),(00yxfyxfyxfyxyyxxyx二元函数的极限的特点 二元函数的极限与一元函数的极限的区别。.,),(),(),(lim00),(),(00相等对应的极限都存在并且时以任意的方式趋向于点是指当动点极限存在，yxyxyxfyxyx例题.lim22)0,0(),(不存在证明二重极限yxyxyx证明.,1)1(limlim,)0,0(),(,2222022)0,0(),(在有关，故二重极限不存对应的极限值与时趋向于点沿着直线即当动点则取kkkxkkxyxyxkxyyxkxyxyx例题.lim242)0,0(),(不存在证明二重极限yxyxyx证明.,1)1(limlim,)0,0(),(,24240242)0,0(),(22在有关，故二重极限不存对应的极限值与时趋向于点沿着曲线即当动点则取kkkxkkxyxyxkxyyxkxyxyx二元函数的极限为无穷大.),(lim),()(,|),(|,),(),(,0,0),(,),(),(00000200yxfyxfPPDMyxfDPUyxPMDyxPRDfyxyx的极限为无穷大，记作时，当上在则称都有时当使得总存在某个正数若对于任意给定的正数的一个聚点，为上的二元函数为定义在设二元函数的极限为无穷大 类似地，我们可以定义其它类型的极限.),(lim,),(lim),(),(),(),(0000yxfyxfyxyxyxyx例题 按照定义很容易能够证明.1lim;1lim)1,1(),(22)0,0(),(yxyxyxyx二元函数极限的性质与运算 二元函数极限的性质与运算 和一元函数的情形类似，如极限值的唯一性，四则运算法则，两边夹定理等等。累次极限.,00称为累次极限时的极限与点继趋向于按照一定的先后次序相与当变量yxyx累次极限).,(limlim,),(),(lim);,(lim)(),(lim),(,),(:,),(:,000000002yxfyyxxyxfyyxfyyxfYyyDyxyYyDDyxxXxDRDfxxyyyyxxxx累次极限，记作的后对先对则称此极限值为进一步如果还存在极限将其记作存在，极限固定如果对于轴上的投影记为在轴上的投影记为在上的二元函数为定义在设累次极限).,(limlim,),(),(lim);,(lim)(),(lim),(,),(:,),(:,000000002yxfxxyyyxfxyxfxyxfXxxDyxyYyDDyxxXxDRDfyyxxxxyyyy累次极限，记作的后对先对则称此极限值为进一步如果还存在极限将其记作存在，极限固定如果对于轴上的投影记为在轴上的投影记为在上的二元函数为定义在设二重极限与累次极限的关系 二重极限与累次极限是两个不同的概念，一般来说，它们的存在性没有彼此蕴含的关系。二重极限与累次极限的关系 函数的两个累次极限都存在，但是二重极限却不存在的例子：)0,0(),(,0)0,0(),(,),(22yxyxyxyxyxf证明.0),(limlim),(limlim)0,0()0,0(),(0000yxfyxfyxfyxxy且有，的两个累次极限都存在但是关于原点处的二重极限不存在，在原点函数二重极限与累次极限的关系 函数的两个累次极限都存在，但是二重极限却不存在的另一例子：)0,0(),(,0)0,0(),(,),(242yxyxyxyxyxf证明.0),(limlim),(limlim)0,0()0,0(),(0000yxfyxfyxfyxxy且有，的两个累次极限都存在但是关于原点处的二重极限不存在，在原点函数二重极限与累次极限的关系 函数的二重极限存在，但是两个累次极限都不存在的例子：0,00,1sin1sin),(yxyxxyyxyxf证明.0-|,|1sin1sin|,0),(lim)0,0(),()0,0(),(定义可知二重极限为按照但是二重极限在，的两个累次极限都不存关于原点函数yxxyyxyxfyxfyx二重极限与累次极限的关系 函数的二重极限存在，但是两个累次极限都不存在的另一例子：0,00,1sin1sin)(),(yxyxyxyxyxf证明.0-|,|1sin1sin)(|,0),(lim)0,0(),()0,0(),(定义可知二重极限为按照但是二重极限都不存在，的两个累次极限关于原点易知函数yxyxyxyxyxfyxfyx二重极限与累次极限的关系 二重极限与累次极限的联系 定理).,(limlim),(lim.),(limlim),(lim),(),(00000000),(),(),(),(00yxfyxfyxfyxfyxyxfxxyyyxyxxxyyyxyx等也存在，则它们一定相且累次极限；处存在二重极限在点设函数证明).,(lim)(lim,.2|)(|),(lim|.)(),(lim,|0:),(limlim.2/|),(|0,|0,0,0),(lim),(),(000),(),(000000000yxfAyAyAyxfyyxfyyyyxfAyxfyyxxAyxfyxyxyyxxxxxxyyyxyx存在极限对于存在之假设，由累次极限时，有当总存在一个正数对于；设推论1 推论1 推论1给出了累次极限次序可交换的一个充分条件。.),(limlim),(limlim),(lim),(),(000000),(),(00则三者一定相等都存在，和两个累次极限处的二重极限在点设函数yxfyxfyxfyxyxfyyxxxxyyyxyx推论2 推论2 推论2可以用来否定二重极限的存在性。!),(lim),(),(limlim),(limlim),(),(),(00000000一定不存在处的二重极限则在点存在但是不相等，的两个累次极限如果函数yxfyxyxfyxfyxfyxyxyyxxxxyy例题.),(lim,1),(limlim,1),(limlim,),()0,0(),(000022不存在二重极限极限分别为它关于原点的两个累次设函数yxfyxfyxfyxyxyxyxfyxyxxy例题.),(lim,1),(limlim,1),(limlim,),()0,0(),(00002222不存在二重极限极限分别为它关于原点的两个累次设函数yxfyxfyxfyxyxyxfyxyxxy二元函数的连续性.|),(),(|,),(),(,0,0.)(),(),(lim,),(,000000),(),(000200yxfyxfDPUyxPPDfyxfyxfDDyxPRDfyxyx都有时当使得总存在某个正数若对于任意给定的是，用分析的语言写出来就处连续在点关于集合则称，如果的一个聚点，且为上的二元函数为定义在平面点集设不连续点.),(),(lim).(),(),(lim,),(,000),(),(000),(),(00020000的可去间断点为则称点如果间断点的不连续点为则称点不成立，如果极限式的一个聚点，且为上的二元函数为定义在平面点集设fPyxfAyxffPyxfyxfDDyxPRDfyxyxyxyx二元连续函数 孤立点一定是连续点！若f在D上任何点处都连续，则称f为D上的连续函数。连续函数的例子.)1,2(),(),1,2(7),(lim,),()1,2(),(22处连续在点故函数有设函数yxffyxfyxyxyxfyx连续函数的例子.)0,0(),0,0(0),(lim)0,0(),(,0)0,0(),(,),()0,0(),(2222处连续故函数在原点有设函数fyxfyxyxyxyxxyyxfyx连续函数的例子.)0,0()0,0(),(,0)0,0(),(,),(222处连续试证明函数在原点设函数yxyxyxxyxf二元连续函数的性质 与一元连续函数的情形一样，二元连续函数也有局部有界性，局部保号性，四则运算的性质，复合函数的连续性等等，其证明过程相同。全增量与偏增量.,0lim),(),(),(),(,),(),(),(0)0,0(),(000000000000处连续在点则如果式来描述连续性我们可以用全增量的形处的全增量。在点称为设PfzPfyxfyyxxfyxfyxfzyyyxxxDyxPyxPyxfzyx全增量与偏增量.)(),(),(),(),()(),(),(),(),(,),(),(),(000000000000000000000处的偏增量在点关于第二个变量称为处的偏增量；在点关于第一个变量称为设PyfyxfyyxfyxfyxfPxfyxfyxxfyxfyxfyyyxxxDyxPyxPyxfz全增量与偏增量.),(,0),(),(lim,0),(),(),(),(),(,0),(),(lim,0),(),(),(),(000000000000000000000000000000处连续作为一元函数在时，称为固定即的极限为如果偏增量处连续；作为一元函数在时，称为固定即的极限为如果偏增量yyxfxxyxfyyxfyxfyyxfyxfyxfxyxfyyyxfyxxfyxfyxxfyxfyxfyx二元连续函数连续性！并不能保证二元函数的都连续二元函数对单个自变量反过来不成立，处也连续在点处连续；在点则连续，内的点在其定义域若以证明按照函数极限的定义可.),(),(),(),(000000yyxfxyxfyxDyxf反例.,0),0(lim)0,(lim)0,0(0,00,1),(00分别都连续和对两个自变量在原点处但是处不连续，显然二元函数在原点设函数yxfyfxfxyxyyxfyx二元函数的连续性 定理.),(,),(),(|;|),(),(|),(2121212上连续在区域则函数为常数，其中满足条件对连续，上对在区域设函数DyxfLDyxyxyyLyxfyxfyxRDyxf证明.|),(),(|),(),(|),(),(|,|,min;2|),(),(|,|,02,0;2|),(),(|,|,0,0),(0000000021200202000101000yxfyxfyxfyxfyxfyxfyyxxLyyLyxfyxfyyLyxfyxfxxyxP有时，则当取有时当存在某个正数对于上述的有时当一定存在某个正数于是任取二元函数的连续性 定理.),(,),(),(|;|),(),(|),(2121212上连续在区域则函数为常数，其中满足条件对连续，上对在区域设函数DyxfLDyxyxxxLyxfyxfxyRDyxf有界闭区域上连续函数的性质 有界闭区域上二元连续函数的性质可以视为闭区间上一元连续函数性质的推广。有界闭区域上连续函数的性质 有界性定理.2上整体有界在则上连续，在有界闭区域若函数DfRDf有界函数的定义.),(.|),(|,),(,0),(则称该函数为无界函数的值域是无界数集，若二元函数都有使得对于即存在一个正数；则称该函数为有界函数的值域是有界数集，若二元函数yxfMyxfDyxMyxf有界闭区域的例子.:),(;,:),(,222Ryxyxdycbxayxdcba闭圆域闭矩形域有界闭区域上连续函数的性质 最大最小值定理.2与最小值上一定能够取到最大值在则上连续，在有界闭区域若函数DfRDf有界闭区域上连续函数的性质 一致连续性定理.|),(),(|,),(,),(),(,0)(,0221122112yxfyxfQPDyxQyxPDfRDf就有只要使得对于一切点总存在某个正数即对于上一致连续。在则上连续，在有界闭区域若函数有界闭区域上连续函数的性质 介值性定理.),(),(),(),(,),(),(,),(),(000002211221122112cyxfyxPyxfcyxfcyxfyxfDyxQyxPRDf使得一定存在一点则对于任何实数且中任意两点为若上连续，在有界闭区域若函数有界闭区域上连续函数的性质 根的存在性定理.0),(),(),(0),(,),(),(00000221122112yxfyxPyxfyxfDyxQyxPRDf使得则一定存在一点且中的两点为若上连续，在有界闭区域若函数
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