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1第一章第一章 线弹性断裂力学线弹性断裂力学 2 线弹性断裂力学认为，材料和构件在断裂以前基本上处于弹性范围内，可以把物体视为带有裂纹的弹性体。研究裂纹扩展有两种观点：一种是能量平衡的观点能量平衡的观点，认为裂纹扩展的动力是构件在裂纹扩展中所释放出的弹性应变能，它补偿了产生新裂纹表面所消耗的能量，如GriffithGriffith理论理论；一种是应力场强度的观点应力场强度的观点，认为裂纹扩展的临界状态是裂纹尖端的应力场强度达到材料的临界值，如IrwinIrwin理论理论。3 1.1 1.1 线弹性断裂力学的基本理论线弹性断裂力学的基本理论线弹性断裂力学的基本理论包括：Griffith理论，即能量释放率理论；Irwin理论，即应力强度因子理论。一、一、Griffith理论理论 1913年，Inglis研究了无限大板中含有一个穿透板厚的椭圆孔的问题，得到了弹性力学精确分析解，称之为Inglis解。1920年，Griffith研究玻璃与陶瓷材料脆性断裂问题时，将Inglis解中的短半轴趋于0，得到Griffith裂纹。4 Griffith研究了如图所示厚度为B的薄平板。上、下端受到均匀拉应力作用，将板拉长后，固定两端。由Inglis解得到由于裂纹存在而释放的弹性应变能为2222211UaBEUaBE平面应变平面应力5 另一方面，Griffith认为，裂纹扩展形成新的表面，需要吸收的能量为 24SAa B其中：为单位面积上的表面能。可以得到如下表达式 d()0dUSA临界状态 d()0dUSA裂纹稳定 d()0dUSA裂纹不稳定 6对于平面应力问题，d2 dAB a，则2ddUaAE d2dSA根据临界条件，有22caE 22caE 或 得临界应力为 122()cEa 表示无限大平板在平面应力状态下，长为2a裂纹失稳扩展时，拉应力的临界值，称为剩余强度。7临界裂纹长度 22cEa对于平面应变有 2222(1)2(1)ccEaEaGriffith判据如下：(1)当外加应力 超过临界应力 c(2)当裂纹尺寸 a超过临界裂纹尺寸 ca脆性物体断裂 8二.Orowan与Irwin对griffith理论的解释与发展 Orowan在1948年指出，金属材料在裂纹的扩展过程中，其尖端附近局部区域发生塑性变形。因此，裂纹扩展时，金属材料释放的应变能，不仅用于形成裂纹表面所吸收的表面能，同时用于克服裂纹扩展所需要吸收的塑性变形能（也称为塑性功）。设金属材料的裂纹扩展单位面积所需要的塑性功为 pU，则剩余强度和临界裂纹长度可表示为 922()(1)2()PcPEUaEUa平面应变平面应力2222()(1)2()PcPEUaEU平面应变平面应力10Irwin在1948年引入记号 G1()2GWUa外力功 释放出的应变能 能量释放率 能量释放率也称为裂纹扩展能力 G准则 cGGcG临界值,由试验确定 Irwin的理论适用于金属材料的准脆性破坏破坏前裂纹尖端附近有相当范围的塑性变形.该理论的提出是线弹性断裂力学诞生的标志.11三三.应力强度因子理论应力强度因子理论裂纹尖端存在奇异性,即:1(,)(0)iyrrr 基于这种性质，1957年Irwin提出新的物理量应力强度因子K,即：0lim2(,0)yyrKrr 1960年Irwin用石墨做实验,测定开始裂纹扩展时的 cKK断裂判据(K准则)cKK121.2 1.2 裂纹的类型裂纹的类型.裂纹尖端附近的应力场和位移值裂纹尖端附近的应力场和位移值 一一.裂纹的类型裂纹的类型 1.按裂纹的几何类型分类 穿透裂纹穿透裂纹:裂纹沿构件整个厚度贯穿.表面裂纹表面裂纹:深度和长度皆处于构件表面的裂纹,可简化为 半椭圆裂纹.深埋裂纹深埋裂纹:完全处于构件内部的裂纹,片状圆形或片状椭 圆裂纹.132.按裂纹的受力和断裂特征分类 张开型张开型(型型):拉应力垂直于裂纹扩展面,裂纹上、下表面沿作用力的方向张开,裂纹沿着裂纹面向前扩展,是最常见的一种裂纹.滑开型滑开型(型型):裂纹扩展受切应力控制,切应力平行作用于裂纹面而且垂直于裂纹线,裂纹沿裂纹面平行滑开扩展.14撕开型裂纹撕开型裂纹(型型):在平行于裂纹面而与裂纹前沿线方向平行的剪应力作用下,裂纹沿裂纹面撕开扩展.二二.裂纹尖端附近的应力场裂纹尖端附近的应力场.位移场位移场 1.型裂纹问题的描述:无限大板,有一长为 的穿透裂纹,在无限远处受双向拉应力 的作用.确定裂纹尖端附近的应力场和位移场.2a15Irwin应用Westergaurd的方法进行分析.(1)Westergaurd应力函数 弹性力学平面问题的求解，归结为要求求一个应力函数.该函数边界条件及双调和方程.这类问题的应力,应变和位移.1939年Westergaurd应力函数ReImZyZ16其中：为解析函数;为一次积分和二次积分.Z,Z Z首先证明:40满足双调和方程 42222()()xyxy 因为:222Re(Im)ZyZ 解析函数的性质:(1)解析函数的导数和积分仍为解析函数(2)解析函数的实部和虚部均满足调和方程2Re0Z17222222(Im)(Im)(Im)yZyZyZxy22Im(ImIm)ZyyyZZxyyy2222ImImImImZZyZyZxyyy2ImIm2ZyZy 柯西黎曼条件柯西黎曼条件ReImImZZZyx ImReReZZZyx 18有 Im22ReZZy222(2Re)0Z 即函数 是平面问题的应力函数.则应力分量:2222(ReIm)xZyZyyReIm(Im)ZZZyyyy(ImImRe)ZZyZyReReZZyyReImZyZ19即 ReImxZyZReImyZyZ0z(平面应力)()2 RezxyZ(平面应变)RexyyZ 物理方程:yxxEEyxyEExyxyG (平面应力)2021(1)(1)xxyE 21(1)(1)yyxE xyxyG(平面应变)几何方程:xuxyuy 21得 1(1)Re(1)ImuZyZE12Im(1)RevZyZE平面应力1(12)Re(1)ReuZyZE12(1)ImRevZyZE平面应变22(2)求解双向拉伸型裂纹 边界条件边界条件:0y xa0yxy z,0 xyxy 选取型裂纹的 函数 Z22zZza23验证:0y zxa:,时22xZxaRe0Z 又 0y 0yxyb:22limlimzzzZza23222limlim0()zzaZza,0 xyxy 24采用新的坐标,zaire()()(2)afZa（+）()()2afa 令 00lim()lim()22KafZKa-应力强度因子应力强度因子 25()(cossin)2222KKZir32133()(cossin)222 2KZir 3ReImcos(1 sinsin)2222xKZyZr3cos(1 sinsin)2222yKr3cossincos2222xyKr0 xzyz26()zxy 平面应变 0z平面应力 3(21)coscos4222KrukG3(21)sinsin4222KrvkG0w平面应变()xywdzE 平面应力 3431k平面应变平面应力272.型裂纹 3sin(2coscos)2222xKr 3cossincos2222yKr 3cos(1 sinsin)2222xyKr0 xzyz()zxy 平面应变 0z平面应力 3(23)sinsin4222KrukG3(22)coscos4222KrvkG280w平面应变()xywdzE 平面应力 3.撕开型(型)问题描述:无限大板,中心裂纹(穿透),无限远处受与 方向平行的 作用.2az反平面(纵向剪切)问题,其位移(,),0ww x y uv根据几何方程和物理方程:1xzxzwrxG1yzyzwryG0 xyxyz29单元体的平衡方程:200yzxzwxy 位移函数满足laplace方程,所以为调和函数.解析函数性质:任意解析函数的实部和虚部都是解析的.1(,)Im()w x yZzGImImxzZwGZxxImReyzZwGZyy边界条件边界条件:0,0yzyxa,0,xzyzz30选取函数 22()zZzza满足边界条件 取新坐标 za()()(2)aZa 令 0lim2KZa 311.3 1.3 应力强度因子与能量释放率应力强度因子与能量释放率的关系的关系假设裂纹闭合 3cos(sinsin)2222yKHr当 ,时 0rx2yKx3(21)sinsin4222KrvkG当 ,时 rax (22)42KaxvkG 32在闭合时,应力在 那段所做的功为 a0ayBvdx200141(22)4242aayKKBaxkGvdxkdxKB aaGGx 平面应力 23,1KkGE平面应变 22134kGKE2KGE21EEEE 平面应力平面应变同理 2KGE21GKE
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