资源描述
定义：定义：mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP 11101110)()(,)1(mn 这有理函数是这有理函数是真分式真分式；,)2(mn 这有理函数是这有理函数是假分式假分式；其中其中m、n 都是非负整数；都是非负整数；naaa,10 mbbb,10 00 a00 b都是实数，并且都是实数，并且 dxax)(1 )1(dxaxk)(1 )2()04(1 )3(22 qpdxqpxxCax|ln几种简单分式的积分几种简单分式的积分)1()(111 kCaxkk 4)2(122 dxqppx)4 ,2(22qpapb 记记)(122 dxabxCabxa arctan1 dxxxdxxx943(2)2311 122）求积分（求积分（例例原式原式)1()2)(1(1 dxxx )2111(dxxxC2ln1ln xx原式原式)2(dxx5)2(32 dxx2)52(1351 52)52(13512xdxCx 52arctan51 dxxxx224)1(2 dxxxx222221 2 dxx1)1(142 22)22(21 22xxxxd)1arctan(4 x)22ln(21 2 xxCx )1arctan(4例例2 2 求求 dxxxx223 2解解 dxxxx223 2（1）分母中若有因式）分母中若有因式 ，kax)(,)()(121axAaxAaxAkkk 有理真分式化为部分分式之和的步骤：有理真分式化为部分分式之和的步骤：（2）分母中若有）分母中若有 ，kqpxx)(2 则分项后对应于则分项后对应于042 qp其其中中qpxxNxMqpxxNxMqpxxNxMkkkk 21222211)()(1.将分母分解因式，将分母分解因式，其中其中 都是常数都是常数 iiNM,),2,1(ki 2.按下列规律分项按下列规律分项则分项后对应于则分项后对应于),(21是是常常数数kAAA 6532 xxx)3)(2(3 xxx32 xBxA),2()3(3 xBxAx),23()(3BAxBAx ,3)23(,1BABA,65 BA例例3 3 求求 dxxxx6532解解,)3)(2()2()3(xxxBxA6532 xxx.3625 xx dxxxx653 2dxxdxx 3625Cxx|3|ln6|2|ln5例例4 4 求求dxxx 2)1(1解解2)1(1 xx,1)1(2 xCxBxA)1()1()1(12 xCxBxxA代入特殊来确定系数代入特殊来确定系数CBA,取取,0 x1 A取取,1 x1 B取取,2 xBA,并将并将 值代入值代入)1(1 C.11)1(112 xxx2)1(1 xx2)1(1 xx,)1()1()1(22 xxxCxBxxAdxxx 2)1(1 dxxxx 11)1(112dxxdxxdxx 11)1(112xln 11 x.1lnCx )1)(21(12xx ),21)()1(12xCBxxA ,)2()2(12ACxCBxBA ,1,02,02CACBBA,51,52,54 CBA,1212xCBxxA 整理得整理得解解例例5 5 求积分求积分 dxxx)1)(21(12dxxxdxx 2151522154 dxxx)1)(21(12dxxdxxxx 2211511251)21ln(52.arctan51)1ln(5121ln522Cxxx .1515221542xxx )1)(21(12xx 练习练习 求积分求积分 dxxxx)3)(2)(1(1 )1(Cxxx|3|ln23|1|ln21|2|ln2 dxxx)1)(1(1 )2(2 dxx11)3(4)1)(1(1)2(2 xx设设112 xCBxxA)1)(1()(1()1(22 xxCBxxxA)1)(1()()1)()(22 xxCAxCBxBA,0 BA21,21,21 CBA dxxxx)1111(212 dxxx)1)(1(121ln21 x)1ln(412 xCx arctan21,0 CB,1 CA dxx11)3(4 dxxx)1)(1(122 dxxx11112122 xdxxarctan2111212 xdxxxarctan21)1)(1(121 xdxxxarctan21111141Cxxx arctan211ln411ln41 dxax)(1 )1(dxaxk)(1 )2()04(1 )3(22 qpdxqpxxCax|ln 几种简单分式的积分几种简单分式的积分)1()(111 kCaxkk,)()4(2 dxqpxxNMxn 2 dxqpxxDCx/2222 dxqpxxCDxC)/2()2(22 dxqpxxpCDpxC/222222 dxqpxxpCDCdxqpxxpxC)04()3(22 qpdxqpxxDCx qpxxqpxxdC22)(2CabxaCpDqpxxC arctan1)2()ln(22 1)2/(2 dxqpxxCpD,)()4(2 dxqpxxNMxn42222pqpxqpxx 令令tpx 2,22at )2(pxMNMx ,422pqa ,2MpNb 记记NpM 2bMtNMx 则则 dxqpxxNMxn)(2 dxatbMtn)(22 dtatMtn)(22 dtatbn)(22122)(1(2 natnM.)(122 dtatbn以上四类积分均可积出以上四类积分均可积出,且原函数都是初等函数且原函数都是初等函数.)()(212222atdatMn dtatbn)(22结论结论:有理函数的原函数都是初等函数有理函数的原函数都是初等函数.由三角函数和常数由三角函数和常数 ,)cos,(sinxxR2cos2sin2sinxxx 2sec2tan22xx,2tan12tan22xx 2sin2coscos22xxx 2sin2cos2sin2cos2222xxxx 经过有限次四则运算经过有限次四则运算构成的函数记为构成的函数记为,2tan12tan1cos22xxx 令令2tanxu ,12sin2uux ,11cos22uux uxarctan2 duudx212 dxxxR)cos,(sin.1211,122222duuuuuuR （万能置换公式）（万能置换公式）,2tan12tan2sin2xxx 例例6 6 求积分求积分.cossin1sin dxxxx解解,12sin2uux 2211cosuux ,122duudx 由万能置换公式由万能置换公式 dxxxxcossin1sinduuuu )1)(1(22duuuuuu )1)(1(112222duuuuu )1)(1()1()1(222duuu 211duu 11uarctan)1ln(212u Cu|1|ln2x|2sec|lnx.|2tan1|lnCx duuuduu22111duu 11例例7 7 求积分求积分.sin14 dxx解（一）解（一）,2tanxu ,12sin2uux ,122duudx dxx4sin1duuuuu 4642833133181u .2tan2412tan832tan832tan24133Cxxxx u3 u3 Cu 33解（二）解（二）dxx4sin1 xdx4csc xxdcotcsc2 xdxcot)1(cot2 xdxxdcotcotcot2Cxx cotcot313结论结论 万能置换不一定是最佳方法万能置换不一定是最佳方法,在三角有理在三角有理式的积分计算中，应在其它手段与用万式的积分计算中，应在其它手段与用万能置换中择优选用能置换中择优选用.讨论类型讨论类型),(nbaxxR),(necxbaxxR 解决方法解决方法作代换去掉根号作代换去掉根号.例例8 8 求积分求积分 dxxxx11解解 令令txx 1,12txx ,112 tx ,1222 ttdtdx dxxxx11 dttttt 222121 1222tdttdtt 11122Cttt 11ln2.11ln122Cxxxxx 例例9 9 求积分求积分.1113 dxxx解解 令令16 xt,65dxdtt dxxx3111dtttt52361 dttt 163Ctttt|1|ln663223.)11ln(6131312663Cxxxx 说明说明 无理函数去根号时无理函数去根号时,取根指数的取根指数的最小公倍数最小公倍数.
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