数值分析9-常微分方程的差分方法

第三章第三章 常微分方程的差分方法常微分方程的差分方法高高 云云问题的提出问题的提出 实际中，很多问题的数学模型都是微分方程。我们实际中，很多问题的数学模型都是微分方程。我们可以研究它们的一些性质。但是，只有极少数特殊的方程可以研究它们的一些性质。但是，只有极少数特殊的方程有解析解。对于绝大部分的微分方程是没有解析解的。有解析解。对于绝大部分的微分方程是没有解析解的。常微分方程作为微分方程的基本类型之一，在自然界常微分方程作为微分方程的基本类型之一，在自然界与工程界有很广泛的应用。很多问题的数学表述都可以归与工程界有很广泛的应用。很多问题的数学表述都可以归结为常微分方程的定解问题。很多偏微分方程问题，也可结为常微分方程的定解问题。很多偏微分方程问题，也可以化为常微分方程问题来近似求解。以化为常微分方程问题来近似求解。常微分方程的定解问题常微分方程的定解问题 考虑考虑一阶一阶常微分方程的常微分方程的初值问题初值问题 0)(,),(yaybaxyxfdxdy只要只要 f(x,y)在在a,b R1 上连续，且关于上连续，且关于 y 满足满足 Lipschitz 条条件件，即存在与即存在与 x,y 无关的常数无关的常数 L 使使对任意定义在对任意定义在 a,b 上的上的 y1(x)和和 y2(x)都成立，则上述问题都成立，则上述问题存存在唯一解在唯一解。|),(),(|2121yyLyxfyxf 差分方法差分方法要计算出解函数要计算出解函数 y(x)在一系列节点在一系列节点 a=x0 x1 n）上产生的偏差均不超）上产生的偏差均不超过过，则称该方法是稳定的，则称该方法是稳定的.稳定性问题比较复杂，为简化讨论，我们仅考察稳定性问题比较复杂，为简化讨论，我们仅考察下列模型方程下列模型方程 y=y，0 收敛性与稳定性收敛性与稳定性模型的欧拉格式为模型的欧拉格式为yn+1=（1+h）yn 模型的欧拉格式为模型的欧拉格式为则则n+1=（1+h）n要使要使|yn+1|yn|则则|1+h|1稳定条件稳定条件0 h-2/收敛性与稳定性收敛性与稳定性模型的隐式欧拉格式为模型的隐式欧拉格式为yn+1=yn+hyn+1 解出解出恒成立恒成立总有总有结论结论恒稳定恒稳定 n1nyh-11y 1h-11|yn+1|yn|方程组与高阶方程的情形方程组与高阶方程的情形一阶方程组的一般形式一阶方程组的一般形式bxa ,)a(y)a(y)y,y,x(fy)y,y,x(fymmmmmm1 11111方程组与高阶方程的情形方程组与高阶方程的情形化高阶方程为一阶方程化高阶方程为一阶方程bxaayayayyyyxfdxydmmmmm ,)()()(),()1(21)1(1方程组与高阶方程的情形方程组与高阶方程的情形bxa ,)a(y)a(y)y,y,x(fyyymmmm 11121mmyyyyyy211令令则有则有边值问题边值问题考虑常微分方程的边值问题：考虑常微分方程的边值问题：)(,)();()()(byaybxaxfyxqyxpy其中其中p(x)，q(x)和和f(x)均为均为a,b上给定的函数上给定的函数，为已知数为已知数。假定假定p(x)、q(x)及及f(x)均为均为a,b上充分光滑的函数上充分光滑的函数，且且q(x)0，这时，边值问题存在连续可微的解，且唯一。这时，边值问题存在连续可微的解，且唯一。边值问题边值问题用差分法解边值问题的主要步骤是：用差分法解边值问题的主要步骤是：（1）将区间将区间a,b离散化离散化；（2 2）在这些节点上，将导数差商化，从而把微分方程）在这些节点上，将导数差商化，从而把微分方程 化为差分方程；化为差分方程；(3)解差分方程解差分方程实际上就是解线代数方程组。实际上就是解线代数方程组。将将a,b区间用节点区间用节点NabhNiihaxi ,1,0,分成分成N等分，其中等分，其中x0=a与与xN=b 称为边界点，称为边界点，而而x1,x2,xN-1称为内点。称为内点。边值问题边值问题例例9.7 试用差分法解方程试用差分法解方程 1)1(,0)0(10)29(2)29(2yyxexyxyx解解 将将0,1划分为四等分，即取划分为四等分，即取 ，得五个节点得五个节点41 h1,43,21,41,043210 xxxxx差分方程为差分方程为 3,2,1 1,0)9(2)29(22402211nyyexyxhyyynxnnnnnn边值问题边值问题将它改写成将它改写成 109291240221221y,ye)x(hyy)x(hynxnnnnn在每个内点列方程得在每个内点列方程得 3156.30938.33396.18125.26821.05312.23232121yyyyyyy由追赶法公式解得：由追赶法公式解得：y3=1.4855 y2=1.2802 y1谢谢大家谢谢大家！