混沌实验报告模板

非线性电路振荡周期的分岔与混沌材物81 080960一实验目的1 .了解非线性系统混沌现象的形成过程；2. 通过非线性电路振荡周期的分岔与混沌现象的观察，加深对混沌现象的认识和理解3. 理解“蝴蝶效应”二实验原理.分岔与混沌理论逻辑斯蒂映射为了认识混沌(chaos)现象，我们首先介绍逻辑斯蒂映射，即一维线段的非线性映射， 因为非线性微分方程的解通常可转化为非线性映射。考虑一条单位长度的线段，线段上的一点用0和1之间的数x表示。逻辑斯蒂映射是x T kx(1 - x)其中k是0和4之间的常数。迭代这映射，我们得离散动力学系统x 二 kx (1 - x ) ， n 二 0， 1，2 n+1nn我们发现:当k小于3时，无论初值是多少经过多次迭代，总能趋于一个稳定的不动点； 当k大于3时，随着k的增大出现分岔，迭代结果在两个不同数值之间交替出现，称之为周 期2循环；k继续增大会出现4，8，16，32周期倍化级联；很快k在3.58左右就结束 了周期倍增，迭代结果出现混沌，从而无周期可言。在混沌状态下迭代结果对初值高度敏 感，细微的初值差异会导致结果巨大区别，常把这种现象称之为“蝴蝶效应”迭代结果 不会超出01的范围称为奇怪吸引子。以上这些特点可用图示法直观形象地给出。逻辑斯蒂映射函数是一条抛物线，所以先画一条y = kx(1 -x)的抛物线，再画一条y = x的辅助线，迭代过程如箭头线所示(图1)。图1一A不动点图1B分岔周期2图1逻辑斯蒂映射的分岔图图1 C混沌图1D蝴蝶效应以k为横坐标，迭代200次以后的x值为纵坐标，可得到著名的逻辑斯蒂映射分岔图。图2逻辑斯蒂映射的分岔图。k从2.8增大到4。从图中可看出周期倍增导致混沌。混沌区突然又出现周期3, 5, 7奇数及其倍周期6, 10, 14的循环，混沌产生有序，或秩序从混沌中来。其实以上的这些特性适用于任何一个只有单峰的单位区间上的迭代,不是个别例子特有 的,具有一定的普适性。从而揭示了混沌现象涉及的领域比较广泛。混沌是非线性系统中存 在的一种普遍现象它也是非线性系统中所特有的一种复杂状态。混沌是指确定论系统(给系 统建立确定论的动力学方程组)中的内在不确定行为。混沌现象对初值极为敏感使非线性系 统的长期行为具有不可预测性。2.非线性负阻电路振荡周期的分岔与混沌非线性电路与非线性动力学实验电路如图3所示。它由有源非线性负阻器件R； LC振荡器和移相器三部分构成。图 中只有一个非线性元件R,它是一个有源非线性负阻器件；电感器L和电容器C2组成一 个损耗可以忽略的振荡回路；可变电阻 Rv1+Rv2 和电容器 C1 串联将振荡器产生的正弦 信号移相输出。较理想的非线性元件R是一个三段分段线性元件。图4所示的是该电阻的伏安特性曲线,从特性曲线显示加在此非线性元件上的电压与通过它的电流极性是相反的。由于加在此元件上的电压增加时,通过它的电流却减小,因而将此元件称为非线图 4 非线性负阻器件 R 的伏安曲线性负阻元件。图 3 非线性电路原理图 图 3 电路的非线性动力学方程为：C dVci = G *(Vc - Vc ) - g * Vci dt2iiC dVC2 = G *(Vc - Vc ) + i2 dt12 LdiLL-dt式中，导纳G=1/（Rv1+Rv2）, Vc和Vc分别表示加在C1和C2上的电压，i表示流过电1 2 L感器L的电流，g表示非线性电阻的导纳。有源非线性负阻元件的实现 有源非线性负阻元件实现的方法有多种，这里使用的是一种较简单的电路：采用两个 运算放大器（一个双运放TL082）和六个配置电阻来实现，其电路如图5所示，它的伏安特 性曲线如图6所示。由于本实验研究的是该非线性元件对整个电路的影响，只要知道它主要 是一个负电阻电路（元件）能输出电流，维持LC2振荡器不断振荡，而非线性负阻元件的作 用是使振动周期产生分岔和混沌等一系列现象。图5图6三. NCE1型非线性电路混沌仪的调节和使用1 打开机箱，把机箱右下角的铁氧体介质电感连接插孔插到实验仪面板左面对应的香 焦插头上。2.实验仪面板上的CH2接线柱连接示波器的Y输入,CH1接线柱连接示波器的X输入， 连接实验仪与示波器的接地。按下示波器的Display按钮，Display菜单就会出现 在显示屏的右方，菜单右边的五个按钮可改变所对应的内容。选择 XY 工作方式。同样可调出CH1和CH2菜单，并置X和Y输入为DC耦合，可得CH1和CH2信号合 成的相图。选择YT 工作方式，按CH1和CH2按钮，使显示屏上只有一种波形，调 节扫描速率和电平，使波形稳定，可观察CH1和CH2的波形图。3 把实验仪右上角内的电源九芯插头插入实验仪面板上对应的九芯插座上，注意插 头插座的方向应一致。然后插上电源，按实验仪面板右边的钮子开关，对应的 15V 指示灯点亮。4. 调节W1粗调电位器和W2细调电位器，改变（RV1+RV2） C移向器中电阻的阻值，观 测相图周期的变化，观测倍周期分岔，阵发混沌，三倍周期，吸引子（混沌）和双 吸引子（混沌）现象，及相应的扫描波形。5. 按实验仪面板左边的钮子开关可开启019.999V直流数字电压表，数字闪烁表示 输入电压超过量程。四. 实验内容1.调节Rv1+Rv2阻值。在示波器上观测图7所示的CH1地和CH2地所构成的相 图（李萨如图），调节电阻Rv1+Rv2值由大至小时，描绘相图周期的分岔及混沌现象。 将一个环形相图的周期定为P,那么要求观测并记录2P，4P，阵发混沌，3P,单吸 引子（混沌），双吸引子（混沌）共六个相图和相应的CH1地和CH2地两个 输出波形。2.把有源非线性电阻元件与移相器连线断开。测量非线性单元电路在电压VV0时的 伏安特性，作 IV 关系图。五. 实验结果、1） 当一倍周期时，实验现象如下图：I - n-：H2 100VMYModeI3）当四倍周期时，实验现象如下图：对出克旌小rn 讥- 1 l i.b * m.匚 r “协 645加闻4）当八倍周期时，实验现象如下图：W 增加寸对比度5）观察单吸引子，实验现象如下图：6）观察周期态，实验现象如下图：范文范例学习指导JtktmniK I r)s z 1 n7）观察双吸因子，实验现象如下图：8）附混沌区出现的 5 倍 6倍周期图：ii匪I：格式rWEE- HfgJ fWffWlLb六注意事项1双运算放大器 TL082 的正负极不能接反，地线与电源接地点接触必须良好 2 关掉电源后拆线。2仪器应预热10 分钟开始测量数据。七、思考题1 非线性负阻电路（元件），在本实验中的作用是什么？答：在电路中，加入非线性负阻元件，是为了使振动周期产生分岔和混沌等一系 列的现象。2 通过本实验请阐述：倍周期分岔，混沌，奇怪吸引子等概念的物理含义。答：倍周期分叉过程是一条通向混沌的典型道路，即可以认为是从周期窗口中进入混沌的一种方式。通过倍周期分叉到达混沌现象的过程中，会依次经过周期1，周期2，周期4,混沌单吸引子和混沌双吸引子。混沌，在确定性的非线性动态系统中出现的貌似随机的、不能预测的运动。它对初始条件有极其强烈的敏感性。奇怪吸引子，即是一个不稳定平衡点。