理论力学第九章质点动力学

HOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS质点动力学质点动力学第九章第九章 HOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS静力学：静力学：研究物体在力系作用下的平衡问题研究物体在力系作用下的平衡问题运动学运动学：从几何角度研究物体的运动：从几何角度研究物体的运动已知作用于质点的力求质点的运动已知作用于质点的力求质点的运动动力学动力学：研究作用在物体上的：研究作用在物体上的力力与物体与物体运动运动之间的之间的关系，从而建立物体机械运动的普遍规律关系，从而建立物体机械运动的普遍规律求解两求解两类问题类问题已知质点的运动求质点所受的力已知质点的运动求质点所受的力，但如果力系不平衡呢？物体将怎样但如果力系不平衡呢？物体将怎样运动？为什么会这样运动？运动？为什么会这样运动？在牛顿定律的基础上在牛顿定律的基础上HOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS9-1 9-1 动力学基本定律动力学基本定律 单位制单位制一、动力学基本定律（牛顿运动定律）一、动力学基本定律（牛顿运动定律）第一定律：第一定律：任何任何物体物体(质点、质点系、刚体质点、质点系、刚体)如不受外力作用，如不受外力作用，将保持静止或匀速直线运动状态。将保持静止或匀速直线运动状态。惯性定律惯性定律质点受到外力作用时，所产生的加速度大小质点受到外力作用时，所产生的加速度大小与力的大小成正比，而与质量成反比，加速与力的大小成正比，而与质量成反比，加速度的方向与力的方向相同。度的方向与力的方向相同。第二定律：第二定律：力与加速度的关系定律力与加速度的关系定律aFm第三定律：第三定律：力的作用与反作用定律力的作用与反作用定律两物体间相互作用的力同时存在，等量、反两物体间相互作用的力同时存在，等量、反向、共线，分别作用在两个物体上。向、共线，分别作用在两个物体上。第二定律（用于单个质点和惯性坐标系）第二定律（用于单个质点和惯性坐标系）HOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS质点受到外力作用时，所产生的加速度大小与力质点受到外力作用时，所产生的加速度大小与力的大小成正比，而与质量成反比，加速度的方向的大小成正比，而与质量成反比，加速度的方向与力的方向相同。与力的方向相同。第二定律（只适用于单个质点）：第二定律（只适用于单个质点）：是力与加速度的关系定律是力与加速度的关系定律amF 质量是物体惯性的度量质量是物体惯性的度量F是作用在是作用在质点质点上上所有力的所有力的合力合力质量与重量不同质量与重量不同，质量不变，重量可变质量不变，重量可变HOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS牛顿定律适用范围牛顿定律适用范围：惯性参考系惯性参考系 物体相对惯性参考系的运动物体相对惯性参考系的运动称为绝对运动称为绝对运动适用于适用于牛顿定律牛顿定律的参考系称为的参考系称为惯性参考系惯性参考系（固定坐标系或静系）（固定坐标系或静系）。绝大多数工程问题。绝大多数工程问题取地球的坐标系为惯性参考系。取地球的坐标系为惯性参考系。凡是相对惯性参考系作匀速直线平动的参凡是相对惯性参考系作匀速直线平动的参考系也是惯性参考系考系也是惯性参考系HOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS基本量：长度（基本量：长度（m）时间（时间（s）质量（质量（kg）量量 纲：长度纲：长度 L 时间时间 T 质量质量 M二、单位制和量纲二、单位制和量纲9-1 9-1 动力学基本定律动力学基本定律 单位制单位制单位制：单位制：国际单位制（国际单位制（SISI）HOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICSHOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS iFFdtrdm22矢量表示法矢量表示法:直角坐标表示法直角坐标表示法:iziyixFzm FymFxm 9-2 9-2 质点运动微分方程质点运动微分方程amF HOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS自然表示法自然表示法:9-2 9-2 质点运动微分方程质点运动微分方程 iFtdsdmtddvmma22 ninFvmma 2 biF0amF HOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS极坐标表示法极坐标表示法:9-2 9-2 质点运动微分方程质点运动微分方程 rirF)rr(mma2 iF)rr(mma 2r OMxara aamF HOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS质点动力学的两类问题质点动力学的两类问题：1.1.已知质点的运动，求作用于质点的力已知质点的运动，求作用于质点的力2.2.已知作用于质点的力，求质点的运动已知作用于质点的力，求质点的运动已知质点的已知质点的r(t)或或v(t)，通过如下微分方程求解：，通过如下微分方程求解：FdtrdmFdtvdm 22这类问题归结为这类问题归结为求解运动微分方程求解运动微分方程。对于这类问。对于这类问题，除了作用于质点的力外，题，除了作用于质点的力外，还必须知道质点运动还必须知道质点运动的初始条件，的初始条件，才能确定质点的运动。才能确定质点的运动。积分求解、变量分离积分求解、变量分离混合问题：混合问题：求质点的运动规律与约束力求质点的运动规律与约束力HOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS质点动力学第一类问题（质点动力学第一类问题（已知运动求力的问已知运动求力的问题题）关键是求解质点的）关键是求解质点的加速度加速度。质点的加速。质点的加速度可用下述方法之一求解度可用下述方法之一求解zyxaaaa creaaaa naaa nBABAABaaaa 直角坐标表示方法直角坐标表示方法牵连运动为转动时点的合成运动牵连运动为转动时点的合成运动点作圆周运动或点在定轴转点作圆周运动或点在定轴转动的刚体上动的刚体上点在作平面运动的刚体上点在作平面运动的刚体上HOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS1 1）力是常量或是时间的函数）力是常量或是时间的函数22d xmFdt dxmFdt mdxF dt+初始条件初始条件2 2）力是位移）力是位移x的函数（如弹簧力）的函数（如弹簧力）22d xmFdt dxmFdt mxdxFdx +初始条件初始条件3 3）力是速度）力是速度v的函数（如跳伞）的函数（如跳伞）22d xmFdt dxmFdt dx dxmFdx dt dxmxFdx dx dxmFdx dt mxdxdxF 2.2.第二类问题：第二类问题：已知作用于质点的力，求质点的运动规律已知作用于质点的力，求质点的运动规律dxxdFxm+初始条件初始条件HOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS例例1质量质量m的小球系于长为的小球系于长为l的绳上，绳与铅直成的绳上，绳与铅直成角，角，小球在水平面上作匀速圆周运动。求小球的速度和小球在水平面上作匀速圆周运动。求小球的速度和绳中的张力。绳中的张力。v解：解：1.1.以小球为研究对象以小球为研究对象 2.2.受力分析受力分析gmTF3.3.运动分析运动分析na4.4.动力学方程动力学方程 sinFmaTn mgcosFT 0得：得：cos/mgFT tansinglv （采用自然法求解）（采用自然法求解）sinlvvan22 0 ba法向法向切向切向HOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS例例2 混合为题混合为题质量质量m的小球从半径为的小球从半径为r的固定光滑球面顶部无初的固定光滑球面顶部无初速地落下，试计算图示时刻球面对小球的速地落下，试计算图示时刻球面对小球的法向力法向力。解：解：1.1.以小球为研究对象以小球为研究对象2.2.受力分析受力分析3.3.运动分析运动分析 rs 4.4.动力学方程动力学方程NFcosmgmr 2MM0rgmNF ana rra 22 rran sinmgmr FN为约束力，为约束力，即法向力即法向力法向法向切向切向HOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS例例2解：解：NFcosmgmr 2 sinmgmr r/sing dtddddtd rsingdd 质量质量m的小球从半径为的小球从半径为r的固定光滑球面顶部无初的固定光滑球面顶部无初速地落下，试计算图示时刻球面对小球的速地落下，试计算图示时刻球面对小球的法向力法向力。MM0rgmNFtana（1）（2）为了求法向力为了求法向力FN必须求出必须求出 由（由（2）式可得）式可得HOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS 23 cosmgFN r/cosg 122 drsingd rsingdd MM0rgmNFtanaHOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS2NcossinmrmgFmrmgrg/sin dtddddtd rgdd sin drgdsin 200sin1 cos/2gddgrr Ncos21cos3cos2FmgmgmgMMOrgmNF ana+初始条件初始条件0000ttdSvrdtHOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICSMMOrO例例 质量质量m的小球在半径为的小球在半径为r的光滑半球面中运动，的光滑半球面中运动，已知在最低位置时其速度为已知在最低位置时其速度为v0，试计算图示时刻球面，试计算图示时刻球面对小球的法向力。对小球的法向力。解解：1.1.以小球为研究对象以小球为研究对象2.2.受力分析受力分析3.3.运动分析运动分析 rS 4.4.动力学方程动力学方程2NcosmrmgF ra 2 ran sinmgmr gmNF ana+初始条件初始条件0000ttdSvrvdt第二式要积分所以加初始条件第二式要积分所以加初始条件HOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS解：解：一边长为一边长为a的正方体重的正方体重W，放置于比重为，放置于比重为 的水中，的水中，设该物体从其平衡位置下沉一微小距离设该物体从其平衡位置下沉一微小距离x0，此时，此时v0=0，求此后该物体的运动。不计水的粘滞阻力。，求此后该物体的运动。不计水的粘滞阻力。Whx平衡位置平衡位置WFh+x任意位置任意位置FWxgW 其中其中：)xh(AF AhW 代入上式，有：代入上式，有：AxxgW WAgxtxxv ddddWAgxxvv ddxWAgxvvdd 例例3HOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS解：解：Whx平衡位置平衡位置WFh+x任意位置任意位置 xxvxWAgxvv0dd0)xx(WAgv2022221 220 xxWAgxv tWAgxxxtxxdd02200 令：令：0 WAg得：得：tcosxx00 可见，物体作简谐振动，振可见，物体作简谐振动，振幅为幅为x0，周期，周期T T为为AgW 2例例3一边长为一边长为a的正方体重的正方体重W，放置于比重为，放置于比重为 的水中，的水中，设该物体从其平衡位置下沉一微小距离设该物体从其平衡位置下沉一微小距离x0，此时，此时v0=0，求此后该物体的运动。不计水的粘滞阻力。，求此后该物体的运动。不计水的粘滞阻力。HOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICSOr0M r例例4解解：一质点一质点M沿离心泵的光滑导叶向外运动，设沿离心泵的光滑导叶向外运动，设离心泵以匀角速离心泵以匀角速 转动，初瞬时质点静止于导叶内端转动，初瞬时质点静止于导叶内端r=r0 处。试求质点沿导叶的运动方程。处。试求质点沿导叶的运动方程。NF采用极坐标表示法简便。采用极坐标表示法简便。)()rr(mmar102 )(F)rr(mmaN22 将将rrrrdd 代入代入(1)(1)式，得：式，得：rrrrdd2 r 0 rr0得：得：202rrr HOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICSOr0M r例例4解：解：NF将将(3)(3)代入代入(2)(2)式，式，)(rrr3202 20222rrmFN ,0得：得：一质点一质点M沿离心泵的光滑导叶向外运动，设沿离心泵的光滑导叶向外运动，设离心泵以匀角速离心泵以匀角速 转动，初瞬时质点静止于导叶内端转动，初瞬时质点静止于导叶内端r=r0 处。试求质点沿导叶的运动方程。处。试求质点沿导叶的运动方程。采用极坐标表示法简便。采用极坐标表示法简便。)()rr(mmar102 )(F)rr(mmaN22 HOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICSOr0M r例例4解解：NF采用极坐标表示法简便采用极坐标表示法简便。得：得：)(rrr3202 取取 0 0=0=0，则，则 t t将将(3)(3)改写成改写成：trrtdrrrd02020 tcoshrr 0 一质点一质点M沿离心泵的光滑导叶向外运动，设沿离心泵的光滑导叶向外运动，设离心泵以匀角速离心泵以匀角速 转动，初瞬时质点静止于导叶内端转动，初瞬时质点静止于导叶内端r=r0 处。试求质点沿导叶的运动方程。处。试求质点沿导叶的运动方程。HOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS解：解：1.1.以小球为研究对象以小球为研究对象 （确定合适的坐标架）（确定合适的坐标架）2.2.受力分析受力分析3.3.运动分析运动分析4.4.动力学方程动力学方程xkmmgxm 物体自高处以水平速度物体自高处以水平速度v0抛出，空气阻抛出，空气阻力力 ，与速度方向相反，求物体的运动方程。，与速度方向相反，求物体的运动方程。kmvFR ovxygmRxFRyFykmym 初始条件初始条件0000 y ,vy x ,x :to练习：练习：HOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS解解：xkmmgxm kmvFR ykmym 初始条件初始条件0 0 0 0 y,vyx,x:toxkgdtxd dtxkgxd tkg)e(kgxkt 12)e(kvykt 10练习：练习：物体自高处以水平速度物体自高处以水平速度v0抛出，空气阻抛出，空气阻力力 ，与速度方向相反，求物体的运动方，与速度方向相反，求物体的运动方程。程。ovgmRxFRyFxy