第十三部分能量法教学课件

第十三章第十三章 能量法能量法第第13-1 能量法概念能量法概念第第13-2 应变能与余能的计算应变能与余能的计算第第13-3 互等定理互等定理第第13-4 卡氏定理卡氏定理第第13-5 利用卡氏定利用卡氏定理解超静定问题理解超静定问题13-1 13-1 能量法概念能量法概念 一、外力功与应变能（变形能）一、外力功与应变能（变形能）弹性体在载荷作用下都要发生变形，载荷的作用点会相应的产生位移。载荷在相应的位移上作功，称其为外力功，用符号W 表示；弹性体将由于变形而储存能量，称其为应变应变能（变形能），能（变形能），用符号U 表示。二、能量守恒原理二、能量守恒原理 在弹性范围内，外力功 W 全部转变为变形能 U(不考虑能量的损耗)。因此有 W=U 。三、能量法三、能量法 利用功和能的概念来解决变形体的位移、变形和内力等计算的方法称为能量法。13-2 应变能与余能的计算应变能与余能的计算 一、外力功一、外力功 1.常力作功（常力作功（F 为恒力）为恒力）FW FdFdWW211012.变力作功（变力作功（F 从从0逐渐增加到最终值）逐渐增加到最终值）（线弹性体）（线弹性体）FoFF111ddW 广义力与广义位移相对应。如广义力是力，相应的广义位移就是广义力与广义位移相对应。如广义力是力，相应的广义位移就是线位移（线位移（沿力方向的线位移沿力方向的线位移）；如广义力是力偶，相应的广义位移就）；如广义力是力偶，相应的广义位移就是角位移（是角位移（在力偶作用处的角位移在力偶作用处的角位移）。）。式中：式中：广义力（力、力偶）广义力（力、力偶）广义位移（线位移、角位移）广义位移（线位移、角位移）F二、应变能及比能二、应变能及比能（线弹性体）（线弹性体）1.轴向拉伸与压缩时应变能轴向拉伸与压缩时应变能 u u 为比能，即单位体积的变形能。为比能，即单位体积的变形能。EAlFlFWUN2212应变能：应变能：2122222EEAFVUuN比能比能：a.轴力为常量：轴力为常量：EAlFlFFNN,FFNFb.轴力为变量：轴力为变量：)(xFNx)(xFN)(xFNdxdx 段的伸长为：段的伸长为：EAdxxFdxN)()(dx 段的应变能：段的应变能：EAdxxFdxxFdUNN2)()()(212)(xFNx)(xFN)(xFNdxEAdxxFdxxFdUNN2)()()(212比能：比能：)()(212)()(2xxAdxEAdxxFdVdUxuN整个杆内的应变能：整个杆内的应变能：llNEAdxxFdUU2)(2比能：比能：2211222uGG 应变能：应变能：12UuVV2.纯剪切时的变形能纯剪切时的变形能 dydxxy3.圆轴扭转时的变形能圆轴扭转时的变形能 a.扭矩为常量扭矩为常量(,)nnPM lMmGI b.扭矩为变量：扭矩为变量：LBqA2()2nlPMx dxUGI 应变能：应变能：4.杆件受弯曲时的变形能杆件受弯曲时的变形能 应变能：应变能：pnGIlMmFU221212应变能：应变能：EIlMmFU2212120a.纯弯曲时：纯弯曲时：0(,)MlMmEI 一般梁中各段弯矩一般梁中各段弯矩M(x)不同。则上不同。则上面积分应分段进行，然后求出其总和。面积分应分段进行，然后求出其总和。2()2lMx dxUEI 应变能：应变能：5.组合变形时的应变能组合变形时的应变能 杆件在拉（压）、剪切、扭转和弯曲这些基本变形共同作用下，杆杆件在拉（压）、剪切、扭转和弯曲这些基本变形共同作用下，杆件内同时有轴力件内同时有轴力FN(x)，扭矩，扭矩Mn(x)，弯矩，弯矩M(x)和剪力和剪力FS(x)存在。在忽略存在。在忽略了剪力了剪力FS(x)的影响后，整个杆件的应变能可表示为：的影响后，整个杆件的应变能可表示为：注意：叠加法不能用于计算外力功和变形能。注意：叠加法不能用于计算外力功和变形能。llpnlNEIdxxMGIdxxMEAdxxFU2)(2)(2)(222b.横力弯曲时（剪力横力弯曲时（剪力 FS 的影响忽略）的影响忽略）Fq解：解：求各梁的变形能求各梁的变形能 从中可看出从中可看出 cabUUU222 300()()226llaMx dxPxdxP lUEIEIEI 2220000()222llbM dxM lMx dxUEIEIEI22000222000222 300()()221(2)2622llclPxMdxMx dxUEIEIP xPxMMdxEIPM lM lP lEIEIEI abc例例 试分别计算图示各梁的变形能试分别计算图示各梁的变形能三、余功、余能三、余功、余能 0FW*WFF1dFd1非线性弹性体非线性弹性体1、非线性弹性体、非线性弹性体外力功和应变能外力功和应变能10FdUW余功和余能余功和余能10*FdFUW0FW*W线性弹性体线性弹性体2 2、线性弹性体、线性弹性体 11*21FUUWW四、利用功能原理计算位移四、利用功能原理计算位移 利用 可以计算荷载作用点的位移，此方法只限于单一荷载作用，而且所求位移只是荷载作用点沿着荷载方向与荷载相对应的位移。FWU21解解 1、内力分析、内力分析 例例 直角水平圆截面折杆直角水平圆截面折杆 ABC 受力如图示。已知抗弯刚度为受力如图示。已知抗弯刚度为EI，抗扭，抗扭刚度为刚度为 GIp。试求。试求 C 处的垂直位移。处的垂直位移。BC杆：杆：()M xPx AB杆：杆：()nM xPxMPl xx3、利用功能原理求位移、利用功能原理求位移 2 32 3,331232223CyCyPCyPUWPP lP lPEIGIPlPlEIGI 总变形能为：总变形能为：2 32 32 32 32 366232BCABPPP lP lP lP lP lUUUEIEIGIEIGI 22302223230()26()()2262lBClABPPPxdxP lUEIEIPxdxPllP lP lUEIGIEIGI 2 2、变形能计算、变形能计算 xxEAlFEAlFEAlFEAlFEAlFUjjNj2914.222)21(222)22(222222512BA42l531CFDll例例 桁架如图所示，各杆桁架如图所示，各杆EA相同，利用功能原理求相同，利用功能原理求D点的点的垂直位移。垂直位移。.21,2242351FFFFFFFFNNNNN解解 1 1、各杆内力、各杆内力2 2、应变能计算、应变能计算BA42l531CFDllEAlFEAlFUjjjNj2914.2225123 3、利用功能原理求位移利用功能原理求位移 DyFWU21EAFlEAlFFDyDy914.22914.221213-3 互等定理互等定理一、弹性体的应变能与载荷的加载次序无关21先加F1再加F221先加F2再加 F11F2111111121FU 应变能为：应变能为：2F2212222221FU 应变能为：应变能为：2F221212122221FF1F211121211121FF 上述的上述的力和位移力和位移均为均为广义力和广义位移广义力和广义位移。位移的。位移的第一个下标第一个下标表示表示发发生位移的位置生位移的位置，第二个下标第二个下标表示表示引起该位移的载荷引起该位移的载荷。三、位移互等定理三、位移互等定理 对于线弹性体，若载荷F1和F2 数值相等，则F2在点1沿F1方向引起的位移 ，等于F1 在点2 2沿F2方向引起的位移 。该定理称为位移互等定理。1221如果 ，则21FF 2112二、功的互等定理二、功的互等定理令 U1=U2 可得：可得：212121FF 对于线弹性体，F1在F2处所引起的位移 上所作的功，等于F2在F1处所引起的位移 上所作的功。该定理称为功的互等定理。1221111121FU 222221FU12122221FF21211121FF13-4 卡氏定理卡氏定理 0FW*WFF1dFd1非线性弹性体非线性弹性体一、卡氏第一定理一、卡氏第一定理(证明略证明略)iiFU卡氏第一定理：卡氏第一定理：弹性结构的应变能对于结构上与某个载荷相对应的位移的偏导数，等于该载荷的数值。二、余能定理（克劳迪二、余能定理（克劳迪-恩格塞定理）恩格塞定理）弹性体在载荷作用下弹性体在载荷作用下F1，F2，Fn，各载荷作用点沿载荷方向，各载荷作用点沿载荷方向的的位移为位移为 弹性体的余能弹性体的余能 应等于外力的余功应等于外力的余功 ，即，即,21n *U*WiniFindFWFFFUi 10*21*),(余能定理：余能定理：弹性结构的余能对作用在结构上的某个载荷的偏导数，等 于该载荷作用点沿该载荷作用方向位移。iniFindFWFFFUi 10*21*),(若第若第 i 个载荷个载荷Fi 产生一个微小增量产生一个微小增量dFi，其他载荷值不变，则余功，其他载荷值不变，则余功增量为增量为 ,相应的余能也有一个增量相应的余能也有一个增量iidFdW*iidFFUdU*余能的增量余能的增量应等于余功的增量余功的增量iiiidFdFFU*iiFU*证得：三、卡氏第二定理三、卡氏第二定理0FW*W线性弹性体线性弹性体对于线性弹性体：对于线性弹性体：*UU iiFU*由余能定理由余能定理iiFU 可得：可得：卡氏第二定理：卡氏第二定理：线弹性结构的应变能对作用在结构上的某个载荷的偏 导数，等于该载荷作用点沿该载荷作用方向位移。注意：注意：具体应用卡氏第二定理时，应变能必须表示为载荷的函数。四、卡氏第二定理的应用四、卡氏第二定理的应用iiFU式中：式中：广义位移（线位移，角位移）广义位移（线位移，角位移）广义力（力、力偶）广义力（力、力偶）F1.1.对于桁架结构（各杆受拉或压）对于桁架结构（各杆受拉或压）),2,1(22njEAlFUnjjjNj iNjnjjjNjiiFFEAlFFU2 2、对于受扭圆轴、对于受扭圆轴 dxFxMGIxMGIdxxMFFUinlpnlpniii)()()2)(23.3.对于横力弯曲（不计剪力的影响）对于横力弯曲（不计剪力的影响）dxFxMEIxMEIdxxMFFUilliii)()()2)(24.4.对于组合变形（不计剪力的影响）对于组合变形（不计剪力的影响）liinlpnliNNiidxFxMEIxMdxFxMGIxMdxFxFEAxFFU)()()()()()(EAlFEAlFEAlFEAlFEAlFUjjjNj2914.222)21(222)22(222222512BA42l531CFDll例例 桁架如图所示，各杆桁架如图所示，各杆EA相同，利用卡氏第二定理求相同，利用卡氏第二定理求D点的垂直位移。点的垂直位移。.21,2242351FFFFFFFFNNNNN解解 1 1、各杆内力、各杆内力2 2、应变能计算、应变能计算3、利用卡氏第二定理求、利用卡氏第二定理求D点点 的垂直位移的垂直位移BA42l531CFDllEAlFEAlFUjjjNj2914.222512EAFlEAlFFFUDy914.2)2914.2(2 例例 求图示梁求图示梁 B 处的挠度和转角。处的挠度和转角。ACBEIaaFF解解 一、求一、求 B 处挠度处挠度 由于由于C、B 截面都作用着集中截面都作用着集中力力 F，为了将二个，为了将二个F 区分开，区分开，可设作用在可设作用在 B 处的处的 F 为为FB。ACBEIaaFFFB1x2xBC段：段：1(0)xa11)(xFxMBAC段：段：2(2)axa2221212()()()(),BBBM xP xP xaM xM xxxPP BFBFFBF令：令：FB=F 21122120212211220()()()()()()()()aaByaBBBaaBBaM xM xM xM xUdxdxPEIPEIPP xP xP xax dxx dxEIEI BFBFBFBFBFFEIFadxEIFaxFxdxEIFxaaaBy27232222210212221212()()()(),BBBM xP xP xaM xM xxxPP BFBFFBF2222()(),()1ffM xPxMP xaM xM FFAC段：段：22axa BC段：段：111()(),1ffM xM xPxMM 10 xaF 二、二、求求B 处的转角处的转角ACBEIaaFF 由于由于 B 处没有相应的力偶与处没有相应的力偶与转角相对应，可假设在转角相对应，可假设在 B 作用一作用一力偶力偶 (为附加力偶）。为附加力偶）。fMfMACBEIaaFF1x2xfM令令 ，上式为：，上式为：0fM 2221120252aaBaPxP xaPxdxdxEIEIPaEI F2FxF1Fx 122212011BfffaaaUMPxMPxMP xadxdxEIEI F1Fx2FxBC：21()(),;2yyM xM xP xqxxP AB：2,1;1()(),.2yyyyNNqlPPM xM xqlP llP 例例 求图示刚架求图示刚架 C 点的垂直位移，点的垂直位移，水平位移及转角。水平位移及转角。解解（一）垂直位移（一）垂直位移 Cy yp在在 C 处加一附加力处加一附加力 23320001122yyylllCyP xqxqlP lqlPdxdxdxEIEIEA 令式中令式中 ，则有，则有 0yP 3300044242225()828lllCyqxqlqldxdxdxEIEIEAqlqlqlqlqlEIEIEAEIEA BC:2,1;1()(),0.2xxxNNPPM xM xqxP AB:2,01()(),2xxxNNqlPM xM xqlP xxP （二）水平位移（二）水平位移 ，在，在C处附加一水平力处附加一水平力 （见图见图b）Cx xP图图b 2220000112200 xllllxCxqxql xP xPqldxdxdxdxEAEIEAEI 令：令：则有则有 0 xP 230()24lCxql xqldxEIEI BC:2,1;1()(),0.2xxxNNPPM xM xqxP AB:2,01()(),2xxxNNqlPM xM xqlP xxP （三）（三）C 处转角处转角 图图c在在 C 处附加一力偶处附加一力偶 （见图见图c）fMBC:21,21;ffM xqxMM xM AB:2,0;1()(),12fffNNqlMM xM xqlMM 2200011220cffflllUMqxMqlMqldxdxdxEIEAEI 令令 ，则有，则有 0fM 22033326223lCqxqldxdxEIEIqlqlEIEIqlEI 13-5 利用卡氏第二定理解超静定问题利用卡氏第二定理解超静定问题1 1、用多余约束反力代替多余约束（取、用多余约束反力代替多余约束（取静定基，静定基，原则：便于原则：便于 计算）。计算）。2 2、写出包含多余约束反力的应变能。、写出包含多余约束反力的应变能。3 3、运用卡氏第二定理得出多余约束的约束条件，解出多余、运用卡氏第二定理得出多余约束的约束条件，解出多余 约束反力。约束反力。4 4、根据静力平衡条件，解出超静定结构的其它所有约束反、根据静力平衡条件，解出超静定结构的其它所有约束反 力力。5 5、计算结构的内力、应力、强度、变形、刚度。、计算结构的内力、应力、强度、变形、刚度。利用卡氏定理利用卡氏定理解超静定问题的步骤：解超静定问题的步骤：二、建立变形协调方程，求出多余约二、建立变形协调方程，求出多余约 束反力。束反力。由由 C 处的约束情况可知变形条件为处的约束情况可知变形条件为：00C xC y 解解 一、解除多余约束，使超静定一、解除多余约束，使超静定问题化简成如所示。问题化简成如所示。为多余为多余约束反力。约束反力。cycxFF,例例 求图示超静定刚架的约束反力，求图示超静定刚架的约束反力，并绘并绘 FS、M 图（图（轴力影响不计轴力影响不计）。）。qBCAEIEIllqBCAEIEIllxxcxFcyFAxFAyFAMqBCAEIEIllxxcxFcyFAxFAyFAM2201.20CClCxCql xXxY lxUdxXEI cxFcyFcxFBC段：段：21(),0,;2CCCM xM xM xqxY xxXY cxFcyFcyFAB段：段：21(),2()(),CCCCM xqlX xY lM xM xxlXY cxFcyFcxFcyF32320011220CyCCCCllUYqxY xqlX lxY ldxdxEIEI cyFcyFcxFcyF联立求解得：联立求解得：32837CCXqlYql cxFcyF2201.20CClCxCql xXxY lxUdxXEI cxFcyFcxF32320011220CyCCCCllUYqxY xqlX lxY ldxdxEIEI cyFcyFcxFcyF1110324CCXYql(1)(2)1430238CCXYql化简得：化简得：cxFcxFcyFcyF 22220,3280,4,70,133272828AACAAAXXqlYYYqlYqlMqlMqlqlql cyFAyFAxFAyF0ixF0iyF 32837CCXqlYql cxFcyFqBCAEIEIllxxcxFcyFAxFAyFAM三、求出其余约束反力三、求出其余约束反力四、绘四、绘 FS、M 图图qBCAEIEIllxxcxFcyFAxFAyFAMql74ql73ql283FS 图图M 图图2141ql2281ql2499ql