怎样确定小立方体的个数

怎样确定小立方体的个数空间几何体的三视图是高中新课标中新增的重要内容之一，考纲不仅要求考生能画出简 单空间几何体的三视图，而且会根据几何体的三视图想象出原几何体的立体模型，并对原几 何体进行有关面积和体积的计算及图形性质的判断等。以三视图知识为背景的各种新颖试题 活跃在近几年新课标高考卷或模拟卷上，已成为一道清新亮丽的风景线。本文介绍其中一种 新题型及其解法，希望能对大家有所帮助或启发。例 1 用单位立方体搭成一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，则它的体积的 最大值和最小值之差为。分析 本题和后面例题的共同点是：1、题目中的几何体都是由相同的小正方体组合而 成；2、问题给出了这个几何体的主视图或俯视图或左视图；3、要确定搭成该几何体所需要 小正方体个数等有关问题。这类问题由于给出的是三视图或部分三视图，因此它所表示的几 何体具有不确定性，从而这类试题具有一定的开放性、探索性和挑战性，能很好地考查同学 们的空间想象能力和判断能力。笔者在报纸、杂志上见到很多介绍这类题目的文章，但遗憾 的是：只有题目评价和答案，没有解题分析（即使有也实际上被题目评价所取代），没有解 题过程、解法小结以及揭示解题规律等学生最为关注的东西。笔者通过解题发现，这类问题 的解决确实不好进行语言表达，是不是只可意会不可言传了呢？为了让学生更好地理解和掌 握这类问题的解法，笔者进行了解法探讨，下面向大家介绍这类问题的一种行之有效的方法 俯视图填数法，以期填补这方面的空白。解 用俯视图填数法。由主视图知该几何体从左到右共有3列每列高度分别为3、2、1， 据此在俯视图中从西到东每列对应的格子内分别标上数字 3、2、1。格子内的数字表示在这 个位置上立着的小正方体的最多个数。由主视图知，第一列3 个格子内的数至少有一个3， 第二列3 个格子内的数至少有一个2。又由俯视图知，每个格子内的数最小是1。故该几何体最多有3x3 + 2x3 + 1 = 16个小立方体。另一方面，第一列最多可少2x2 = 4个小立方体，第二列最多可少1x2 = 2个小立方体，故最少有16-4-2 = 10个小立方体。所以这个几何体体积的最大值和最小值之差为16一10 = &个单位立方。例 2 一个几何体是由若干个相同的正方体组成的，其主视图和左视图相同如图所示 则组成这个几体的正方体的个数最多有（ ）A125.13C.14）.18解 用俯视图填数法。先画一个3x3的俯视图方格，由主视图知该几何体从左到右共有 3列，每列高度分别为丄，据此在俯视图下边从西到东每列对应的格子下边分别标上数 字2、1、2。又由左视图知该几何体从左到右共有3列每列高度分别为2、1、2，据此在俯 视图左侧从北到南每行对应的格子外边分别标上数字2丄2。格子内的数字表示在这个位置 上立着的小正方体的最多个数。这样每个格子有所在的行和列所标的两个数和它对应，取其 中最小的一个填入格内。又由主视图知，从西到东，第一列3个格子内的数至少有一个2， 第二列3个格子内的数至少有一个1，第三列3个格子内的数至少有一个2。由左视图知， 从北到南，第一行3个格子内的数至少有一个2，第二行3个格子内的数至少有一个1，第 三行3个格子内的数至少有一个2。故该几何体最多有2x4 + 1x5 = 13个小立方体。当且仅当某一条对角线上的格子内的 数字分别为 2、1、2，而其余格子数字均为零时，该几何体所需的小正方体的个数最少，最 少个数为 5。例 3 如图是用小正方体积木搭成的几何的三视图，则搭成这个几体最多需要小正方体 的个数为（ ）解 用俯视图填数法。第一步：由正视图知，该几何体从左到右共有3 列，每列高度分别为4、2、3，据此在 俯视图下边从西到东每列下边分别标上数字4、2、3；第二步：由左视图知该几何体从左到右共有3 列，每列高度分别为2、4、3，据此在俯 视图左侧从北到南每行的格子外边分别标上数字2、4、3；第三步：将每个格子所在的行、列所标的两个数中最小的一个填入格内；第四步：故该几何体最多有2x3+3 + 4 = 13个小立方块体，最少需要小正方体的个数为13-1 = 12个。故选D。练习：1、 用小立方块搭成一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，搭成这样的几何体 最多需要 个小立方块，最少需要 个小立方块。2、一个几何体由一些小正方体组成，其主视图和左视图如图所示，则其俯视图不可能是（G主视图左视图答案：1、U；2、14, 9；