等边三角形的性质与判定

等边三角形和等腰三角形的性质知识梳理等腰三角形：（）等腰三角形的性质1. 有关定理及其推论定理：等腰三角形有两边相等；定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”。推论1:等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中 线、底边上的高互相重合。推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的 轴对称图形；（二）等腰三角形的判定1.有关的定理及其推论定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。推论2：有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形。推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。等边三角形：定义：三条边都相等的三角形性质：三边相等，三角相等且都为60度，加等腰三角形性质。判定：三条边相等的三角形，三个角都为60度的三角形，有一个角是60度的等腰三角形。等边三角形的判定方法：（1）有边相等的三角形叫做等边三角形；（2）有角相等的三角形叫做等边三角形；（3）有个内角都等于600的三角形叫做等边三角形；（4）有个内角等于600 的三角形叫做等边三角形。典型例题例1.如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE=CD, DM丄BC，垂足为 M。求证：M是BE的中点。例5.如图，已知点B、C、D在同一条直线上，ABC和厶CDE都是等边三角形.BE交AC于F, AD交CE于H, 求证：(1)ABCE9AACD.(2) CF=CH(3) FH/BD线段的垂直平分线与角平分线专题学习【知识总结】1、线段的垂直平分线的性质定理：如右图，几何语言表述为： .2、线段的垂直平分线的性质定理的逆定理：如右图，几何语言表述为：3、线段中垂线的尺规作图法:4、三角心的外心：三角形三边的中垂线交于一点，它到 5、角分线的性质定理: 如右图，几何语言表述为:一距离相等，这个点就叫做三角形的外心.6、角平分线性质定理的逆定理: 如右图，几何语言表述为:7、角平分线的尺规作图法:8、三角心的内心：三角形三边的角平分线交于一点，它到 【例题解析】例1：如图，在AABC中，AC=27，DE为AB的中垂线，BCE 的长.距离相等,这个点就叫做三角形的内心.的周长等于50,求BC使码头到两个仓库的距离相等，问仓库应建在什例2：如图，A、B是两个仓库，直线CD是河，要在河上建码头, 么地方？（保留作图痕迹即可）例3：如图，求作点P,使P到C、D的距离相等，同时到角两边的距离也相等.例4：如图，已知ZACB、ZADB都是直角，且AC=AD, P是AB上任意一点.求证：CP=DP.例5：如图，ABC的外角平分线ZDBC、ZECB的平 证：点F在ZA的平分线上.分线相交于点F.求例6：如图，AD是厶ABC的角平分线，EF是AD的中垂线,例7：如图，A、B、C三点在同一直线上，分别以AB、BC为边在直线的同旁作等边三角形ABD、BCE，连结AE 交BD于M,连结CD交BE于N,连结MN,求证： BMN是等边三角形。例 8：如图，已知在ABC 中，AB=AC,ZA = 120, 分别交BC、AB于点M、N.求证：CM=2BM.题组一：1、如图，AP 平分ZBAC，且 PE丄AB, PF丄AC, PE=T3，则 PF=,EBAf2、在厶ABC中，ZC=90, BD是ZABC的平分线.已知，AC=32,且AD： DC=5： 3,则点D到AB的距离为,3、如图，在RtAABC中，ZC=90, AC=BC, AD是ZCAB的角平分线，DE丄AB.若AB=8,则厶DEB的周长是4、如图，在厶ABC中，0B平分ZABC, 0C平分ZABC, MNBC且过点0.若AB=8, AC=7,则AAMN的周长是5、如图，在 ABC中，AB=AC, AD是中线，且DE丄AB, DF丄AC, 求证：BE=DF.（要求证明过程中要用到角平分线性质定理6、如图，已知：AD丄0B于D, BD丄0A于C, AD、BC相交于E,且EA=EB.求证：E0为ZA0B的平分线.题组二：1、如图，0P是ZA0B的角平分线，PC丄AO, PD丄0B,则PD与PC的大小关系为（）A. PCPDB. PC=PDC. PCPDD.不能确定第3题第1题2、如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修一个超市，使超市到三个小区的距离 相等，则超市应建在（）A.在AC、BC两边高线的交点处B.在AC、BC两边中线的交点处C.在AC、BC两边垂直平分线的交点处D.在ZA.ZB的角平分线的交点处3、如图，CD是RtAABC斜边AB 上的高，将 BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，贝等于（）A. 25B.30C.45D.604、如图，直线L过正方形ABCD的顶点B,点A、C到直线L的距离分别是1和2,则正方形的面积是.5、如图，CE丄AB于点E，BD丄AC于点D，BD、CE交于点O,且AO平分ZBAC.求证：OB=OC.6、如图，BDAAHDC都是等腰直角三角形，且D在BC 上, BH的延长线与AC交于点E,请你判断线段AC 与BH有什么关系？并说明理由.R课堂练习1.如图，在等边AABC中，点D，E分别在边BC, AB上，且BD二AE , AD与CE交于点F .(1)求证：AD = CE ；(2)求ZDFC的度数.AC2.已知：如图，在 ABC中，AB=AC, D是BC的中点，DE丄AB，DF丄AC，E、F分别是垂足。 求证：AE=AF。3.如图/ ABC中，ZACB=900, AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作CF丄AE于F，过B作BD丄BC交CF的 延长线于D.求证：AE=CD、选择题 1.正 ABC的两条角平分线BD和CE交于点I,则ZBIC等于(A. 60B. 90 C. 120 D. 1502. 下列三角形：有两个角等于60；有一个角等于60的等腰三角形；三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中是等边三角形的有（）A.B.C. D.3. RtAABC中，CD是斜边AB上的高，ZB=30, AD=2cm，则AB的长度是（ ）A. 2cmB. 4cm C. 8cmD. 16cm4. 如图，D、E、F分别是等边 ABC各边上的点，且AD=BE=CF,则厶DEF的形状是（）A.等边三角形B.腰和底边不相等的等腰三角形C.直角三角形D.不等边三角形第4题图第5题图第6题图5. 如图，E是等边 ABC中AC边上的点，Z1=Z2, BE=CD，贝JADE的形状是（）A.等腰三角形B.等边三角形 C.不等边三角形 D.不能确定形状6. 如图，ABC 中, AB=AC,ZA=36, BD、CE分别为ZABC与ZACB的角平分线，且相交于点F, 则图中的等腰三角形有（）A. 6个B. 7个C. 8个D. 9个7. 等腰三角形底边长为5cm, 一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm，则腰长为（）A. 2cmB. 8cmC. 2cm 或 8cmD.以上都不对 二、填空题 ABC 中，AB=AC,ZA=ZC，则ZB=.2. 已知AD是等边 ABC的高，BE是AC边的中线，AD与BE交于点F,则ZAFE=3. 等边三角形是轴对称图形，它有条对称轴，分别是.4.如图，AABC是等边三角形，ZCBD = 90 , BD = BC , 则Z1的度数是。三、解答题1.如图，ZC=ZD, CE=DE.求证：ZBAD=ZABC.