等边三角形动点

等腰等边三角形经典例题和结合动点问题例题一. 选择题（共5小题）1. 锐角三角形ABC内有一点O,它关于AB、AC的对称点分别为P、0，那厶APQ 定 是（ ）A.等腰三角形 B.等边三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形2. （2013河北模拟）如图，在梯形ABCD中，ADII BC,以点A为圆心，以任意长为半径画弧，交AB于点E，交AD于点F，分别以点E和点F为圆心，以大于号EF长为半径画弧, 两弧交于点G,作射线AG，交BC于点H,由作图过程可得到 ABH 一定是（）C.等边三角形 D.等腰直角三角形9一3. （2012咸宁模拟）抛物线与x轴的两个不同交点是点O和点A,顶点B在直线歼年上，则关于厶OAB的判断正确的是（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等边三角形 D.等腰直角三角形4. （2007秋黄冈校级期末）已知/ AOB=30, P为/ AOB内部一点，点P关于OA、OB的对称点分别为卩2，则厶OPP2是（）A.直角三角形 B.等腰直角三角形C.钝角三角形 D.等边三角形5. （2014秋杭州期末）已知P为厶ABC的边AB上的点，且AP2+BP2+CP2 - 2AP - 2BP - 2CP+3=0,贝仏ABC的形状为（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等边三角形二. 填空题（共5小题）6. （2006秋洪泽县校级期中）如图， ABC和厶DCE是等边三角形， ACE绕着点逆时针方向旋转度可得到厶DCB.7. （2012秋慈溪市校级月考）如图，边长为2的等边三角形 ABC, P为边BC上一个动点，PE丄AB，PD丄AC,贝9 PE+PD=.8. （2015淄博）如图，等腰直角三角形BDC的顶点D在等边三角形ABC的内部， Z BDC=90，连接AD,过点D作一条直线将 ABD分割成两个等腰三角形，则分割出的这两个等腰三角形的顶角分别是度.9.如图，在等边三角形ABC中，AE=CD，AD、BE相交于P点.Z BPD=则器10. （2011 济宁）如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两动点，且总使AD=BE，AE与CD交于点F, AG丄CD于点G，三. 解答题（共20小题）11. （2010春通州区期末）阅读探究：例：如图1, ABC是等边三角形，点M是边BC的中点，Z AMN=60,且MN交三角形 外角的平分线CN于点N、求证：AM=MN.思路点拨：取的AB中点P,连接PM,易证 APM MCQ从而AM=MN.问题解决：（1）如图2,四边形ABCD是正方形，点M是边BC的中点，CN是正方形ABCD的外角 Z DCQ的平分线. 填空：当Z AMN=。时，AM=MN； 证明的结论.（2）请根据例题和问题（1）的解题过程，在正五边形ABCDE中推广出一个类似的真命 题.（请在图3中作出相应图形，标注必要的字母，并写出已知和结论，无需证明.）12. （2013秋海珠区校级期中）已知, ABC和厶CDE都是等边三角形，且点B, C, D13.（2015春宜兴市校级期中）阅读材料:最值问题是数学中的一类较具挑战性的问题.其 实，数学史上也有不少相关的故事，如下即为其中较为经典的一则：海伦是古希腊精通数学、 物理的学者，相传有位将军曾向他请教一个问题-如图1,从A点出发，到笔直的河岸l 去饮马，然后再去B地，走什么样的路线最短呢？海伦轻松地给出了答案：作点A关于直 线1的对称点A,连接AZB交1于点P,则PA+PB=AB的值最小.解答问题:（1）如图2,正方形ABCD的面积为16, ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内， 在对角线BD上有一点P,使PC+PE的和最小，则这个最小值为（2）如图3：菱形ABCD中，AB=2,乙B=120, E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为，（3）如图4,已知菱形ABCD的边长为6, Z DAB=60.将此菱形放置于平面直角坐标系 中，各顶点恰好在坐标轴上现有一动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度，沿ATC 的方向，向点C运动.当到达点C后，立即以相同的速度返回，返回途中，当运动到x轴 上某一点M时，立即以每秒1个单位的速度，沿MTB的方向，向点B运动.当到达点B 时，整个运动停止.为使点P能在最短的时间内到达点B处，则点M的坐标是什么？14. （2014民勤县校级模拟）如图， ABD、 BCD都是等边三角形，E、F分别是AD、 CD上的两个动点，且满足DE=CF.求证：BE=BF.15. （2015黄冈中学自主招生）阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1,在厶ABC （其中Z BAC是一个可以变化的角）中，AB=2, AC=4,以BC为边在BC的下方作等边 PBC,求AP的最大值.小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合他的方法是以点B为旋 转中心将厶ABP逆时针旋转60得到 AZBC，连接AZA，当点A落在AC上时，此题可解 （如图2）.请你回答：AP的最大值是参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3,等腰RtA ABC.边AB=4, P为厶ABC内部一点，则AP+BP+CP的最小值 是.（结果可以不化简）16. （2014河南）（1）问题发现如图1, ACB和厶DCE均为等边三角形，点A, D, E在同一直线上，连接BE.填空：Z AEB的度数为;线段AD, BE之间的数量关系为(2)拓展探究如图2, ACB和厶DCE均为等腰直角三角形，乙ACB=Z DCE=90，点A, D, E在同一 直线上，CM 为 DCE中DE边上的高，连接BE，请判断Z AEB的度数及线段CM, AE， BE之间的数量关系，并说明理由.(3)解决问题_如图3,在正方形ABCD中，CD=.：匕若点P满足PD=1, 且Z BPD=90,请直接写出点A 到BP的距离.C17. (2013秋海安县期中)如图：已知D为等腰直角 ABC斜边BC上的一个动点(D 与B、C均不重合)，连结AD, ADE是等腰直角三角形，DE为斜边，连结CE. 判断Z ECD的度数并说明理由. 当 ABC、 ADE都是等边三角形，D点为 ABC中BC边上的一个动点(D与B、C 均不重合)，当点D运动到什么位置时， DCE的周长最小？请探求点D的位置，并说明 理由及求出此时Z EDC的度备用圏数.18.如图，等腰直角 ABC中，CA=CB,点E为厶ABC外一点，CE=CA,且CD平分Z ACB 交 AE 于 D,且Z CDE=60.(1) 求证： CBE为等边三角形；(2) 若 AD=5, DE=7，求 CD 的长.19. (2014宜宾县模拟)如图，在等边 ABC中，乙ABC与/ ACB的平分线相交于点O, 且 ODII AB，OEII AC.(1) 求证： ODE是等边三角形.(2) 线段BD、DE、EC三者有什么数量关系？写出你的判断过程.(3) 数学学习不但要能解决问题，还要善于提出问题.结合本题，在现有的图形上，请提 出两个与“直角三角形有关的问题.(只要提出问题，不需要解答)20. 将抛物线y=x2向下平移后，设它与x轴的两个交点分别为点A，B,且抛物线的顶点 为点C.(1) 若厶ABC为等边三角形，求此抛物线的函数表达式；(2) 若厶ABC为等腰直角三角形，求此抛物线的函数表达式；(3) 若将抛物线改为y=ax2，以上两个问题怎么解答；(4) 若抛物线改为y=a (x-m) 2呢？(5) 由此，你发现了什么规律？21. (2012秋揭东县校级期中)已知：如图， ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、 Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P 到达点B时，P、Q两点停止运动.设点P的运动时间为t (s)，解答问题：当t为何值时， PBQ是直角三角形？22. (2012春金山区校级期末)已知 ABC、 ADE都是等边三角形，且点D在BC的 延长线上，求/ ACE的度数.23. （2011秋鞍山期末）如图，点M,N分别在等边三角形ABC的BC、CA边上，且BM=CN, AM, BN交于点Q.（1）求证：Z BQM=60.2）思考下列问题： 如果将原题中BM=CN”与“Z BQM=60”的位置交换，得到的新命题是否仍是真命题？ 如果将原题中的点M, N分别移动到BC, CA的延长线上，是否仍能得到Z BQM=60? 如果将题中等边三角形ABC”，改为等腰直角三角形ABC,且Z BAC=90”，是否仍能 得到Z BQM=60?请你作出判断，在下列横线上填写是或否：; ；并选择其中一个真命题给出证明.24. （2013顺义区二模）问题：如果存在一组平行线all bll c,请你猜想是否可以作等边 三角形ABC使其三个顶点分别在a、b、c 上?小明同学的解答如下：如图1所示，过点A作AM丄b于M,作Z MAN=60,且AN=AM, 过点N作CN丄AN交直线c于点C,在直线b上取点B使BM=CN，则 ABC为所求.图1图2（1）请你参考小明的作法，在图2中作一个等腰直角三角形DEF使其三个顶点分别在a、 b、c上，点D为直角顶点；2）若直线a、b之间的距离为1, b、c之间的距离为2,则在图2 中, $ DEF=在图1中AC=.25. （2015永安市校级质检）（1）问题发现如图1, ABC和厶DCE都是等边三角形，点B、D、E在同一直线上，连接AE. 填空： Z AEC的度数为; 线段AE、BD之间的数量关系为.（2）拓展探究如图2, ABC和厶DCE都是等腰直角三角形，Z ACB=Z DCE=90，点B、D、E在同一 直线上，CM 为 DCE中DE边上的高，连接AE.试求Z AEB的度数及判断线段CM、AE、 BM之间的数量关系，并说明理由.（3）解决问题如图3,在正方形ABCD中，CD=2，点P在以AC为直径的半圆上，AP=1,26.如图所示，A(8, 0), B点在第一象限，且厶AOB是等边三角形，过B点作直线BCII x 轴，交y轴于点C,动点P从C点出发，以每秒1个单位的速度向C点右侧水平方向平移, 过P点作DEII y轴，交直线AB于D,交直线OB于点E,设P点出发的时间为t秒.(1) 若P点在线段BC 上, Q点在AB上，且AQ=3，当/ OQP=60时，求t的值.(2) 点M为y轴上一动点，若 MDE是等腰直角三角形，求出发时间t的值.27. (2013瑞昌市校级模拟)已知点E为AB边上的一个动点.曰乙丙(1) 如图甲，若 ABC是等边三角形，以CE为边BC的同侧作等边 DEC，连接AD, 试比较Z DAC与/ B的大小，并说明理由.(2) 如图乙，若 ABC中，AB=AC, 以 CE为底边在BC的同侧作等腰 DEC，且 DEC- ABC,连接AD,试判断AD与BC的位置关系，并说明理由.(3) 如图丙，若四边形ABCD是正方形，以CE为边在BC的同侧作正方形FECG. 试证明点G 一定在AD的延长线上. 当点E在AB边上运动时，连接AF, Z FAG的度数是否发生变化？若变化，说明理由; 若不变化，求出Z FAG的度数.28. (2015扬州校级二模)已知：点E为AB边上的一个动点.(1) 如图1,若厶ABC是等边三角形，以CE为边在BC的同侧作等边 DEC,连结AD.试 比较/ DAC与/ B的大小，并说明理由；(2) 如图2,若厶ABC中，AB=AC, 以 CE为底边在BC的同侧作等腰 DEC,且 DEC- ABC,连结AD.试判断AD与BC的位置关系，并说明理由；(3)如图3,若四边形ABCD是边长为2的正方形，以CE为边在BC的同侧作正方形ECGF. 试说明点G 一定在AD的延长线上； 当点E在AB边上由点B运动至点A时，点F随之运动，求点F的运动路径长.C29. (2014秋海门市校级月考)已知：如图， ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、 Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P 到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间t (s),解答下列各问题：(1) 填空： ABC的面积为cm2.(2) 当t为何值时， PBQ是等边三角形？(3) 当厶PBQ是直角三角形时，求t的值.30.如图，已知 ABC是等腰直角三角形， ACD是等边三角形，AE丄CD, AE、BD相 交于O,求证：OD冷BC.参考答案一. 选择题（共5小题）1. A 2. A3. A 4. D 5. B二. 填空题（共5小题）6. C60 7. 8. 120, 150 9. 60 10.- _ 2三. 解答题（共20小题） _=18.23.是是否 24.11. 90 12. 13. 4314. 15. 62T2+2飞（或不化简为：32+1芒）16. 60AD=BE 17. 18. 19. 20. 21.22.27.1+W21 25. 120AE=BD4526.28.29. 9,330.