反证法在中学数学中的应用

1 引言有一个故事讲的是奸臣弹劾贤能的大臣，最后贤能的大臣被陷害要被皇上处死，可是皇上觉得这位大臣罪不该死，就把生死两个字分别写在两张纸条上，让这个大臣自己选择其中一张纸条，是生便生，是死便死。但是，奸臣却在纸条上做了手脚，让他抽出的任何一张纸条上面写的都是死字。这个阴谋被贤能之臣的好友发现了，并且告知了他，想要和他一起在皇上面前告发奸臣的诡计。但是这个快要被处死的大臣却没让好友这么做，而是很高兴的告诉好友：“不要有任何举动，当我拿到纸条以后，就快速吃进嘴里，那么监斩官就不得不看剩下的那张纸条了，这样监斩官可以推断出我吃进去的纸条上面写的是生字，那么我不就得救了1”。通过这个故事，我们能够看出这个即将走上死路的大臣是通过什么方法挽救了自己的生命，贤臣是利用了“生相对于死”的反证法，这样就轻松解决了自己被杀掉的危机。 哈代是一位非常优秀的英国数学家，他说出过这样的言论：“反证法对于数学家来说，就是最强有力的一件武器，比起象棋开局让子以取得优势的方法还要高明很多，象棋对弈最多牺牲一子，而数学家在运用反证法的时候索性全盘否定，拱手相让，最终却取得了胜利Error! Reference source not found.。这些体现了反证法的神奇之处和不可动摇的地位。反证法是如此神奇，反证法即可以应用到生活当中去解决危机，又可以解决数学中的难题。本文就是具体分析反证法在数学中是如何应用的，希望能为大家学习和运用反证法提供帮助。2 反证法的介绍2.1 反证法的概念要证明一个命题成立，有时候不容易直接证明，就可以考虑从反向思考证明。那么先提出与求证的结论相反的假设，然后推导出和已知证明的定理或公理、定义、原题设相矛盾的结果，这样就证明了跟求证的结论相反的假设是不能成立，从而肯定了原来求证的结论是成立的，这种间接证明的方法叫反证法3。2.2 反证法的证明步骤大概能够把运用反证法证明命题的方式分为以下三步：（1）反设假设命题的结论的反面是成立的。（2）归谬通过假设的结论去证明，从而推出一些相矛盾的结论。（3）结论说明要证明命题的结论的反面是不能成立的，那就证明了命题的结论是成立的。2.3 反证法的逻辑依据在逻辑思想学中有两个规律一个是“矛盾律”另一个就是“排中律”，这两个规律为反证法提供了思想理论依据4。“矛盾律”就是在同样的一个思维方式情况下，两个相反的或者是有矛盾点的定义或者结论之间都是真的情况是不可能的，至少有一个是假的5；“排中律”就是结论与相反的结论，在这两个结论之间是不能够出现都是假的情况的，必定有一个是真的6。运用反证法的时候，根据矛盾律在两个相反的结论当中，一定不能够出现这两个结论都是真的情况，在原来已经知道或者已经证明推导出的真的结论的基础上，那么假设的结论，也就是相反的结论，就必定是假的7。依照排中律中的规律，得出其中的这两个结论都是假的情况也是不可能出现的，那么结论真假的情况就一定是一个真一个假，通过最终证明，最后的假设一定是假的，那么就可以推导出原有的结论就一定不能假，必定是真。所以，有了逻辑思维的理论基础作为反证法的依据，反证法就是可信的。 反证法就是通过矛盾律证明与命题相矛盾的命题是假的，即根据排中律确定命题是真的证明方法，是一种间接证明方法。其证明过程如下：要证明命题p。第一步：假设反命题非p。第二步：证明“非p”虚假（依据矛盾律）。第三步：所以命题p为真（依据排中律）。2.4 反证法的分类目前根据我所了解到关于反证法的分类，主要是按照了反设方面出现的不同类型可以分为两类，一类就是归谬反证法，另一类就是穷举反证法8。2.4.1 归谬反证法如果结论的反面只有一种类型，则反设就只有一种，那么要做的就是证明这个反设是错误的，从而可以证明出结论正确。这个证明方法就是反证法分类的第一类归谬反证法8。例1 已知是整数，同时为偶数，求证；是偶数。分析：如果想要直接就用什么方法进行证明，可能没有任何想法，虽然题中给的条件很简单，很明了，我们也能够很清楚的读明白题意，但是正面解题没有什么关键点，这时候就需要换个角度对此题进行证明，如果我们从反面进行思考，在题中给的条件中进行反面分析，偶数相对的就只有奇数这一种情况，这样就有了比较清晰的思路，这道题反面分析，就是可以证明在是奇数的情况下，而不是偶数，这样达到了证明的目的。证明：假设是一个奇数。那么也就是偶数，就可以得出结果也是一个偶数，最后得出是一个奇数，结论和题目中是偶数产生了矛盾点。假设不成立，即是偶数。2.4.2 穷举反证法若是出现了结论的反面不只是一种，那么就要把反面的类型一一列举出来，分情况去证明它们都是错误的，这样就可以达到证明原来结论是正确的，这个证明方法就是反证法分类的第二类穷举反证法8。穷举法就是要把可能的情况都列举出来，带入实际，一个个的去检验是否符合。计算机经常采用种穷举法进行工作，由于计算机的高速运转，工作过程耗时很短，所以得到结论的时间就很短，想要知道结论是真是假，就不用耗费那么长时间。穷举法能够看成是一个最简单的搜索：就是在一个集合中包含了所有的可能的状况元素，对这些元素都一一进行的排查，目的是查看其元素的可行性是不是存在13。例2 设都是整数，且能被整除，求证：和都能被整除Error! Reference source not found.。分析：从题中可以看出结论是和都能被整除，那么需要假设出它的反面，和不都能被整除，那就不只是一种情况，而分多种情况，就需要把它的反面都列举出来，分情况去证明。证明：假设和不都能被整除，那么有三种情形：（1）；（2）；（3）。（1）如果。可设，则所以，与已知条件能被整除相矛盾。（2）如果。同理可证这个假设也是错误的。（3）如果。则可设,这样又有四种可能的情形：；。对于情形，有这就表明，与已知条件相矛盾。同理可证，三种情形也是不能成立的。综上所述，假设和不都能被整除是不成立的，由此原题得证。3 反证法的推理方法3.1 为什么使用反证法证明题如果从正向思考证明可以得出结论，我们就不用反向考虑，但正向思维比较难以得出结论时，我们就需要考虑用反证法去证明，会比较容易得出所需的结论。我们可以发现，反证法在数学证明题里运用是比较常见的，数学老师曾经教过我们解答证明题时从正向思考比较困难的时候，可以反向思考，因为正难则反，字面上理解就是正着想的时候，无从下手的情况下，就要反着思考，使用反证法进行证明，首先想要证明结论为真，就要先进行假设，得到矛盾结论，这样就能够对原本结论进行真假的证明。反证法的本质就是根据假推导出真，那么反命题和原命题的关系就必然相反，成对立关系，判断其中一个真假那么另一个命题的真假自然就出现了。使用反证法解题可以证明出从正向思考较难的命题，在反证法证明前都假设“若成立，则”，无形中给我们增加了一个条件，只要导出矛盾所在即可。并且使用反证法可以使复杂的题目很快变的容易起来，做题思路也就会更加清晰。在现代数学中，反证法已经成为要解决的问题的最常见和有效的方法之一。反证法不仅能反够反应出证明的智慧，也体现了数学的神奇之处。当我们在应用反证法的时候熟练掌握做题的要领，认真思考证明过程，会使难解决的问题变的非常简单，也对学习数学增加了信心。3.2 如何正确的做出反设若证明题从正面思考比较难以证明结论，我们则反其道去证明。如何能正确是做出反设，也是反证法里面重要的步骤，运用反证法证明命题的第一步就是首先要进行假设，在原有的命题的基础上，对命题的结论进行否定，然后从这个结论的否定开始进行证明，证明其命题为假，但是首先要假设其成立才能进行后续的证明。这个步骤十分关键，重点在于要正确的做出反设，只有这样后续的证明才能进行下去，最后的结论才能够保证是正确的，如果一开始的反设就是错误的，那么后面进行的推理证明就会因为开始的错误而错，对证明命题没有一点作用。如果想要正确的做出反设，就一定要注意下面几个方面：（1） 将题目中的已知和结论理解透彻，将结论与相反假设之间的关系弄明白。（2） 如果结论的反面不是一种类型，而是有很多种类型，那么将这些类型都要考虑全面，一个个分类去进行证明，不能遗漏一点问题。总的来说，在将要对命题的结论做出否定之前，首要的任务就是理解结论，在结论的对立结论只有一种类型的时候，只需要假设这一种类型成立就行，很容易进行证明了。如果原本的结论的假设不只是一种类型，这种情况下，如果没有考虑到还有其它的情况，没有否定完全。想要进行证明就很难了。这时候认真理解题目，分析结论就十分关键，然后才能正确的做出反设。有以下几种常见的类型：例如：第一，至少类型结论：至少有一个错误假设：至少有两个或两个以上正确假设：没有一个第二，全部类型结论：全部都是。错误假设：全部的都不是。正确假设：存在一个不是第三，最多类型结论：最多有一个错误假设：最少有一个正确假设：至少有两个还有某些常用词的否定形式：原结论词假设词原结论词假设词是不是存在不存在都是不都是至少有 n 个至多有n1个大（小）于不大（小）于至多有一个至少有两个都大于至少有一个不大于都小于至少有一个不小于3.3 如何正确导出矛盾反证法有一个明显常用的方法就是归谬，归谬不仅仅是反证法中的一个重点，也是一个难点。在刚刚接触反证法的时候，做出反设的时候，证明过程中要找到矛盾点时，我们会感觉到不是很容易，有时候可能都不懂矛盾点在哪里。反证法的核心就是从证明结果的反面出发，运用争取的理论方法求得矛盾的结果，因此如何导出矛盾的结果就是反证法的关键所在。若是要顺利的找到结论和反设之间的矛盾，证明结论的正确性，首先要进行题目中逻辑关系的分析，弄清关系，这样就可以进行相关的证明。在进行反证法证明过程中有两个方面值得关注：第一点：导出矛盾，首先进行假设，从假设开始着手怎么去证明。第二点：证明过程一定要严谨，要有条理有依据的证明。从整体方面来说，归谬的情况可能会出现下面几个类型；1) 推导出与命题已知条件相矛盾的结果。2) 推导出与已经证明过的定理相矛盾的结果。3) 推导出与公理相矛盾的结果。4) 推导出与已知定义相矛盾的结果。5) 推导出与假设相矛盾的结果。4 反证法的应用反证法在中学数学中的应用是比较常见，有些命题是适用于反证法的，只要掌握了它的特点，对于我们运用反证法是很好的帮助，根据命题的特点分类有以下几种适用于反证法的命题：4.1 唯一性命题当命题的结论需要证明“唯一性”，“存在性”时，适用于反证法。例3已知是两条相交直线，求证只有一个交点Error! Reference source not found.。证明：假设直线和不只有一个交点，那么就是直线和至少有两个交点。设这两个交点为两点，所以直线通过两点，直线也通过两点。从这我们可以得到，经过两点会有两条直线和。这个结论和公理“经过两点有且只有一条直线”相矛盾。所以假设不成立，则只有一个交点。例4 求证：方程的解是唯一的Error! Reference source not found.。证明：由对数的定义可以得到是这个方程的一个解。假设这个方程的解不是唯一的，它还有解，则。因为，则,即 。由假设得,即当的时候，有： 。当的时候，有 。很明显与都矛盾，这说明假设不成立，所以原方程的解是唯一的。4.2 否定性命题这种命题常出现以“不是”，“不能”，“没有”这些否定性词语，如果从正面考虑的话，就不容易进行证明，没有思路，这时就需要考虑反证法了。例5 求证：不存在条棱的多面体Error! Reference source not found.。证明：假设存在条棱的多面体。那么，组成这个多面体的每个面只能是三角形。如果有四边形或者边数更多的多边形，除过这些边最多只有条棱，根本不可能与个以上的顶点相连接。设每个面都是三角形的多面体有个面（为整数），由于每条棱都是两个面的边，所以，即，与是整数相矛盾。即证明不存在条棱的多面体。例6如果是不全相等的实数，且成等差数列，求证：不成等差数列14。证明：假设能成等差数列，则可以得出，因为成等差数列，即，那么，即，由可以得出，与已知条件是不全相等的实数相矛盾。即假设错误，故原命题正确。4.3 “至多”“至少”型命题命题结论中有“至多”、 “至少”的词语时，可以考虑用反证法。例7 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于。证明：假设三角形的三个内角都大于，则三角形的内角和大于，即三角形的内角和大于，与三角形内角和定理相矛盾，所以假设不成立，即在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于。例8若是正整数，且，求证或中至少有一个成立12。证明：假设与同时成立。又因为都大于，所以 ， ,将两式相加得到，这与已知条件相矛盾，因此假设不成立。所以或中至少有一个成立。4.4 必然性命题命题结论出现“总是”、“都”、“全是”等词语。例9求证：任意凸多边形不可能有四个内角都是锐角Error! Reference source not found.3。证明：假设存在一个凸多边形，其有四个内角小于，即这四个内角所对应的外角分别大于，则其外角和大于.，这与任意凸多边形的外角和为相矛盾。假设不成立，故任意凸多边形不可能有四个角都是锐角。例10已知函数，如果数列满足，求证：当时，恒有成立。证明：假设，则由已知可以得出，所以当时，又易证所以当时，即当时，；而当时，可以得出当，。与假设矛盾，所以假设不成立，原命题成立。4.5 起始性命题命题中已知的条件或者能够应用的定理，公式较少，直接证明比较困难，用反证法比较容易证明。例11 用周期定义证明的最小正周期是13。证明：因为，对一切成立，所以是的周期。要证明是的最小正周期。设是的最小正周期。即还有，对一切有成立，那么，即（1），取，则。因为，所以，于是（1）式成为，取，则上式成为，矛盾。因此是最小正周期。例12在同一平面设有四条直线。若与相交,，则与也相交。证明:假设。因为,所以。又因为，所以。这与已知条件与相交矛盾。假设不成立，故与也相交。4.6 无限性命题命题结论中包含各种“无限”的命题。例13 求证：素数有无数个。证明：假设素数是有限的，设最大的一个素数为，作，表示的是被这中任意一个整除都会余的数，即只有和两个约数，所以是个素数而且是比大的数，但这与最大的一个素数是相矛盾。即假设不成立，所以素数有无数个。例14 求证：是无理数。分析：看到题目会给人一种没有办法证明的感觉，毫无思路可言。而且无理数从小数的角度分析是属于无限不循环的，这样就更加没有思路了。如果用反证法进行分析，把这个无理数假设成为一个有理数，那么就会简单许多。 证明：假设是有理数，则存在互质，使从而为偶数，记作 ，则也是偶数。即得出,都是偶数，与，互质相矛盾，假设不成立，所以证明是无理数。4.7 不等式证明命题命题结论中有“不等式”的命题，可以考虑用反证法。例15已知，是大于等于的整数，求证。证明：假设。因为，所以，则，即。与已知条件相矛盾，所以假设不成立，故成立。例16 在中，,求证：16。分析：这个题也可以考虑用反证法进行证明，首先对的结论进行反设，所以就需要证明或这两种结论不成立，就自然证明了原命题的结论是正确的。证明：假设，所以有以下两种情况：（1） 当，那么为等腰三角形，所以,与已知条件相矛盾。（2） 当,在的延长线上取一点记为点，让,连结。因为，所以为等腰三角形，所以，又因为为的一个外角，所以。而,所以即,与已知条件相矛盾。综上所述，假设不成立，即原命题成立。5 反证法的教学价值及建议反证法在中学数学里有广泛的应用，根据我自己在高中实习的经验，对于学生的学习能力和对知识的认识有一定的了解，对反证法的教学价值与建议，提出自己的一点看法。关于反证法，要早点向学生灌输这种思想，让学生自己慢慢的去认识反证法,只要学生能够明白、认可其中的原理即可。5.1 反证法的教学价值 5.1.1 培养思维严密性 反证法在证明的过程中思维要十分的严密，思考周到。反证法和直接证法之间也有十分密切的联系,它们之间也相互作用。总体看来我们运用的是反证法，但是从部分看,在假设之后的推理过程中运用会运用直接证法。有时候在基本直接证法的推理中,又会运用一段反证法,用来确定某些所需的条件,假设的时候,一定要明白原题结论的反面是什么，详细的写出与原题结论相反的所有不同情况，再去否定，不能遗忘任何情况。反证法可以培养学生思维严密性，增加学生的耐心，也可以改掉他们粗心的缺点。5.1.2 培养数学思维的形成 数学思维是科学的思维方法和技巧，是数学的本质。现在上课的模式改为高效课堂，它强调自主，高效，创新。我们都知道中国小学数学教育比西方显著较好，但大学生的创新能力没有西方学生的强，我们的教育着重于教导数学解题训练，题海战术，很少去启发学生思考，理解题目，很少意识到的思维方式从而形成学生成绩两极分化，讨厌数学，甚至学习好的学生也是对数学有恐惧心理，觉得数学是一门特别难学的科目。反证法可以很好的锻炼学生思考问题的能力，通过练习反证法是培养数学思维方法的一种好方法。5.1.3 训练逆向思维 当我们看到一个数学问题时，都是会从正面思考怎么解答。就是根据已知条件，思考已经掌握了可以运用的数学知识，由已知的条件慢慢导出未知。如果从正面已知的条件开始思考觉得比较困难，那么就可以考虑从反面去思考问题，这种逆向思维往往能解决看起来无法解答的问题，反证法的教学可以训练学生的逆向思维，简化计算过程，明确解题思路，提高解决问题的速度，促进创新思维。5.1.4 了解数学史 早在古希腊，反证法是数学家用来证明许多重要的数学命题的一种广泛使用的方法，欧几里得的几何原本已经开始使用反证法，我国在五世纪时张邱建算经中也有应用反证法2。牛顿曾经说过；“反证法在许多方面有不可替代的作用，是“最精当的数学家武器之一”。著名的费马大定理，这个数学问题被克服，就是反证法的作用。欧几里得曾用它来证明有无穷多个素数。而且反证法对培养学生的辩证思维有很大的帮助，在学习反证法的同时也可以了解数学的历史，可以提高学生学习的兴趣。5.2 反证法的教学建议 要想让学生彻底明白反证法的应用要点，必需要先明白学生在反证法的应用中有什么困惑，一一对应去分析，才能对症下药，让学生学习到反证法证明过程中的精髓。第一，学生可能在以前的学习中有接触过反证法，但是不太会独立的应用反证法去证明命题。所以学生在学习过程中有可能会在这两个方面出现问题：（1）在反设中怎样否定结论，不清楚结论的反面有哪些。有时候不太清楚怎样去否定，比如命题“自然数中恰有一个偶数”的正确反设，学生可能就会假设为“自然数都是奇数”，读到命题的时候学生应该想到的就是偶数的反面是奇数，就直接做出反设，其实还有“至少有两个偶数的时候”这种情况，学生因为做题经验不足，不能够考虑全面。这个命题正确的反设就是“自然数都是奇数或至少有两个偶数”。在对命题的否定应该加强对学生的训练。（2）“导出矛盾”部分，有的时候是与某些定义、定理、公式或事实互相矛盾，有的时候是与已知条件互相矛盾，而有的时候又是与假设互相矛盾。因为可能矛盾的情况会有多种可能性，学生就会容易混淆，不太清楚矛盾点是属于哪种类型。所以也要向学生多讲解练习怎么样导出矛盾。第二，反证法和直接证法是相对的，要学会灵活运用这两种方法。有可能一个证明题里，会交替运用用这两种证法。在一个直接证明中的过程中有可能会运用到反证法，要让学生在做题中灵活运用反证法，善于发现问题，解决问题，总结出更多做题的规律。第三，要清楚反证法的适用题型，了解了属于哪类题型就会很快找到证明的要点。重点是要明白反证法应用的逆向思维，推断出与命题中已知的条件或假设否定的结论或与定义、定理、事实等矛盾是反证法思考过程的特点。反证法这种证明方法也很好的体现了数学领域的逻辑思维，对于培养学生的逻辑思维方式，是一个值得选择的方法。可以充分的利用这种方法对学生的逻辑思维进行培养。教学里的反证法应该以教思想教导为主的题目作为载体，应侧重于教学生学会去运用反证的意识，提高他们的逻辑思维能力。可以选取经典的例题，题目的难度和个数都不重要，要使学生能深刻的认识反证法，让学生有独立思考的能力，学生要从自己发现问题，解决问题。使学生认识到学习的主体作用，但也要意识到教育的本质，教会学生如何学习。总的来说，用反证法可以培养学生的数学思维，也可以提高学生对学习数学的积极性。6 总结本文主要对反证法进行探究分析，可知反证法这种证明方法可以把直接证明复杂的证明题变得简单。然而反证法并不是任何的题目、命题都可以进行证明的。比如本文主要列举了在中学数学中适用于反证法的一些命题有：“唯一性命题”、“否定性命题”、“至多至少型命题”、“必然性命题”、 “起始性命题”、“无限性命题”、“不等式证明命题”。而且反证法是一种比较重要的间接证明方法，它在教学里也有很好的价值，可以用来培养学生的逻辑思维能力。参考文献1 屈秀环.谈数学教学中的新课引入J.金色年华,2010(3):104-104.2 胡晓年.谈谈反证法J.才智,2010(18):98-98.3 姚莉.注重反证法的逻辑性培养学生创造性思维J.现代教育教学杂志探索.2015(1):25-26.4 吴静蓉.遗传病系谱分析中的反证法J.陕西教育:高教版,2009(2):33-34.5 刘唐军.反证法及其应用J.中学理科(综合),2008,(8):43-44.6 李萌.从高考数学命题看存在性命题与全称性命题的解法J.数理化学习(高中版),2013(2):28-29.7 肖承法.反证法在中学数学中的应用J.新课程(教师) ,2010(12)：65-66.8 马建珍,刘俊先.反证法在高等数学中的应用J.邢台学院学报,2007,22 (2):90-91.9 王得燕.穷举法与粒子群算法的比较J.无锡职业技术学院学报,2008, 7(1)：44-45.10 章士藻.数学方法论简明教程M.南京:南京大学出版社,2006:105-106.11 李丹丹.反证法在中学数学中的应用J.哈尔滨职业技术学院学报,2013 (2):93-94.12 于健.反证法解题中的应用举例J.语数外学习(数学教育),2012 (7)：35-35.13 丁琳.反证法在数学解题中的应用J.教学与管理,2006(4):78-79.14 张少冬.高中数学中反证法的具体应用J.考试周刊,2011(25):70-7115 袁梅,王成理.浅议反证法J.乐山师范学院学报,2006, 21(5):28-30.16 姜春晓,张红青.浅谈数学归纳法在中学数学中的应用J.中国校外教育中旬,2012,(5):34-34.