相对论初步知识

相对论初步知识相对论是本世纪物理学的最伟大的成就之一，它标志着物理学的重大发展，使 些物理学的基本概念发生了深刻的变革。狭义相对论提出了新的时空观，建立了 高速运动物体的力学规律，揭露了质量和能量的内在联系，构成了近代物理学的两 大支柱之一。 1狭义相对论基本原理1、伽利略相对性原理1632年，伽利略发表了关于两种世界体系的对话一书，作出了如下概述： 相对任何惯性系，力学规律都具有相同的形式，换言之，在描述力学的规律上， 切惯性系都是等价的。这一原理称为伽利略相对性原理，或经典力学的相对性系 原理。其中惯性系”是指凡是牛顿运动定律成立的参照系。2、狭义相对论的基本原理19世纪中叶，麦克斯韦在总结前人研究电磁现象的基础上，建立了完整的电磁 理论，又称麦克斯韦电磁场方程组。麦克斯韦电磁理论不但能够解释当时已知的电 磁现象，而且预言了电磁波的存在，确认光是波长较短的电磁波，电磁波在真空中 的传播速度为一常数，c 3.0 108米/秒，并很快为实验所证实。从麦氏方程组中解出的光在真空中的传播速度与光源的速度无关。如果光波也 和声波一样，是靠一种媒质（以太）传播的，那么光速相对于绝对静止的以太就应 该是不变的。科学家们为了寻找以太做了大量的实验，其中以美国物理学家迈克耳 孙和莫雷实验最为著名。这个实验不但没能证明以太的存在，相反却宣判了以太的 死刑，证明光速相对于地球是各向同性的。但是这却与经典的运动学理论相矛盾。爱因斯坦分析了物理学的发展，特别是电磁理论，摆脱了绝对时空观的束缚，科学地提出了两条假设，作为狭义相对论的两条基本原理：(1) 狭义相对论的相对性原理在所有的惯性系中，物理定律都具有相同的表达形式。这条原理是力学相对性原理的推广，它不仅适用于力学定律，乃至适合电磁学， 光学等所有物理定律。狭义相对论的相对性原理表明物理学定律与惯性参照系的选 择无关，或者说一切惯性系都是等价的，人们不论在哪个惯性系中做实验，都不能 确定该惯性系是静止的，还是在作匀速直线运动。(2) 光速不变原理在所有的惯性系中，测得真空中的光速都等于c，与光源的运动无关。迈克耳孙一莫雷实验是光速不变原理的有力的实验证明。事件任何一个现象称为一个事件。物质运动可以看做一连串事件的发展过程， 事件可以有各种具体内容，如开始讲演、火车到站、粒子衰变等，但它总是在一定 的地点于一定时刻发生，因此我们用四个坐标(x，y，z，t)代表一个事件。间隔 设两事件(x1,y1,z1,t)与(x2，y2,z2t)，我们定义这两事件的间隔为S2C2 tt2 x x 2 y y 2 z z 22 1 2 1 2 1 2 1间隔不变性 设两事件在某一参考系中的时空坐标为(x1y1z1t)与(x2y2z2t)，其间隔为S2 C2 tt2 x x 2 y y 2 z z 22 1 2 1 2 1 2 1在另一参考系中观察这两事件的时空坐标为（x1，y1，z1，）与（x；，y；，z；，E）,其间隔为S2C2 tt 221X2y2由光速不变性可得这种关系称为间隔不变性。它表示两事件的间隔不因参考系变换而改变。它是相对论 时空观的一个基本关系。3、相对论的实验基础斐索实验上世纪人们用以太”里论来解释电磁现象，认为电磁场是一种充满 整个空间的特殊介质一一以太”的运动状态。麦克斯韦方程在相对以太静止的参考 系中才精确成立，于是人们提出地球或其他运动物体是否带着以太运动？斐索实验 （1851年）就是测定运动媒质的光速实验。其实验装置如图 21所示；光由光源 L射出后，经半透镜P分为两束，一束透过P到镜M 1,然后反射到M 2,再经镜M 3 到P,其中一部分透过P到目镜T。另一束由P反射后，经镜M 3、M 2和M 再回 到P时，一部分被反射，亦到目镜T。光线传播途中置有水管，整个装置是固定于 地球上的，当管中水不流动时，两光束经历的时间相等，因而到达目镜中无位相差。 当水管中的水流动时，两束光中一束顺水流传播，一束逆水流传播。设水管的长度 皆为l水的流速为V，折射率为n，光在水中的速度为C。设水完全带动以太，则ncc光顺水的传播速度为一V，逆水为-V ；若水完全不带动以太，光对装置的速度nn顺逆水均为C ；若部分被带动，令带动系数（曳引系数）为 k,则顺水为 kv, nn逆水为 kv, k多少由实验测定，这时两束光到达目镜 T的时差为 n2l 2l tC kv - kv4lkv c 2 n斐索测量干涉现象的变化，测得k 1丄，所以光在介质参考系中的传播速度 nnn1vcos图 2-1-1式中e是光线传 播方向与介质运动 方向间的夹角。现在我们知道， 匀速运动介质中的 光速可由相对论的速度合成公式求得，设介质（水）相对实验室沿 X轴方向以速度cv运动，选s系固定在介质上，在s上观察，介质中的光速各方向都是 n,所以光相对实验室的速度u为c v nvcncv1卫-c2cnvn21n2由此可知，由相对论的观点，根本不需要以太”的假说，更谈不到曳引系数了。迈克尔孙一莫来实验迈克尔孙一莫来于1887年利用灵敏的干涉仪，企图用光学方法测定地球的绝图 2-1-2对运动。实验时先使干涉仪的一臂与地球 的运动方向平行，另一臂与地球的运动方 向垂直。按照经典的理论，在运动的系统 中，光速应该各向不等，因而可看到干涉 条纹。再使整个仪器转过90 0,就应该发现条纹的移到，由条纹移动的总数，就可算出地球运动的速度v。迈克尔孙一莫来实验的装置如图2-1-2所示，使一束由光源S射来的平行光，到达对光线倾斜 45。 角的半镀银镜面M上，被分成两束互相垂直的相干光。其中透射部分沿MM 2方向前进，被镜M 2反射回来，到M上，再部分地反射后沿MT进行；反射部分沿MM 1 方行进行，被镜反射回来后再到达M上，光线部分透过，也沿MT进行。这两束光 在MT方向上互相干涉。而在T处观察或摄影，由于MM 2臂沿着地球运动方向， 臂MM 垂直于地球运动方向，若MM 2= MM 1= 1，地球的运动速度为v，则两束光回到M点的时间差为当仪器绕竖直轴旋转90。角，使MM 变为沿地球运动方向，MM 2垂直于地球 运动方向，则两束光到达M的时差为l v 2 tc c我们知道，当时间差的改变量是光波的一个周期T时，就引起一条干涉条纹的 移动，所以，当仪器转动90。后，在望远镜T处看到的干涉条纹移动的总数为KT tt 2l V2N Tc2i式中久是波长，当l=11米，v 3 104米/秒，c 3 108米/秒，所用光波 的波长 59 10 7米时，则 N0.4，这相当于在仪器旋转前为明条纹，旋转以后几乎变为暗条纹。但是他们在实验中测得 N怎100，而且无论是在白天、夜晚以及年中的所有季节进行实验，始终得到否定的结果，就是说光学的方法亦测不出所 在参考系(地球)的运动状态。伽利略变换1、伽利略变换(1)如图2-2-1所示，有两个惯性y|yz P（x,y,z）系S和S，它们对应的坐标轴相互平行，（x,y,z且当t二t=0时，两糸的坐标原点与0u7重合。yzz设S系相对于S系沿x轴正方向以速图 2-2-1度U运动。同一质点P在某一时刻在s系中的时空坐标为（x,y,z,，在s系中的时空坐标为(x, y, z, t)：7xxutyyzzt即：rr ut(1)或xxutyyzztt即：rr ut式（i）称为伽利略时空坐标变换公式。（2）将式（1）中的空间坐标分别对时间求一次导数得:xdtdtvdyvydtyvdzvzdtz即：v vudxdx或u vxvxvyVzdx dxu vi u dt dtxdy dy,vdt dt ydz dz ,vdt dt z即：v v u（2）式（2）称为伽利略速度变换公式。（3）将式（2）再对时间求一次导数得dvdvax axdtdtxdvdvay aydtdtydvdvaz azdtdtz即：a aa axxa ay ya azz即：a a(3)式（3）表明在伽利略变换下加速度保持不变。式（3）称为伽利略加速度变换公式。2、经典力学的时空观(1 ) t二 t ,或 At= At(4)(2) Ar = V ( x)2( y)2(z)2 (x x )2 (y y )2 (z z )2212121Ar = V( x)(y)2( z)2(x2 x1)2(y y)2 (z 1 2z)21 。因 x x (x ut) (x ut)2 12 1x2 x1，y21 2 l，z z z z，所以 r r2 12 1(5)式(4)表明：在伽利略变换下,任何事件所经历的时间有绝对不变的量值，而与参照系的选择(或观测者的相对运动)无关。式(5)表明：在伽利略变换下，空 间任何两点间的距离也有绝对不变的量值，而与参照系的选择测得的同一事件的时 间间隔和空间任意两点间的距离都是绝对的不变量。这就是经典力学的时空观或者 称之为绝对时空观。用牛顿本人的话来说：绝对的真实的数学时间，就其本质而言,是永远均匀地流逝着，与任何外界事物无关。”绝对空间就其本质而应是与任何外界事物无关的，它从不运动，并且永远不变。”按照这种观点，时间和空间是彼此独 立、互不相关，并且独立于物质和运动之外的某种东西。3、力学规律在伽利略变换下的不变性(1)伽利略变换下的牛顿第二定律在s系中， F ma在S系中,F ma(6)在s系中,在S、系中,(2)伽利略变换下的质点动量定理Fdt m vF dt m v(3) 伽利略变换下的质点动能定理8)2vlm11 -2m11 -kE21V m1 -22V m11 -kE在S系中,在s系中,(4) 伽利略变换下的功的公式在s系中，WF dr在s系中，wF drF dr w F udt(9)若F为质点所受的合外力，则有(1 )(5) 伽利略变换下的动量守恒定律X(Xut)YY在s系中，若zZt(tu 、x ) c2恒量(c)(11)对两个而点组成的封闭系统的一维动量传递问题则有m vm vm vm v1 12 21 12 2在s系中，若F外F,则外nm vnc c u mii 1(6) 伽利略变换下的机械能守恒定律在s系中W W外 非保内，则Ei在s系中W W外 非保内，则E112 )综上所述，力学规律在伽利略变换下具有不变性。即力学规律在不同的惯性参 照系中具有相同的形式，是规律的形式相同，而不是每一个物理量的数值在不同惯 性系中都相同。洛仑兹变换1、洛仑兹变换如图18-1-1所示的两个惯性系：S系和S系。设同一事件的两组时空坐标分别 为(X,Y,Z,t和(X ,Y ,Z ,t)。按洛仑兹变换有X Y (X ut)Y YZ Zt (t X)c2(13 )或X (X ut)Y YZ Zt (t x)C2式(13)称为洛仑兹坐标变换公式，式中=1/ ,：1一。请注意t是X和t的 函数，t是X 和七的函数，即时间不再与空间无关。2、洛仑兹速度变换公式dyu /1uv)7dtyC2dzu /1uv、x)dtzC2vyVx,dxvx dt(v u)/lx匚)C2VxVyVxdx dt dy dt dz dt(vu)/1(UV)xC2uv(v / 1 一)yc2/ A Uv )v /(1x)xC2(14)式 (14 )中=1/F 9相对论时空理论1、运动时钟延缓亦称爱因斯坦延缓。我们考虑晶体振动这样一个物理过程。系匀速V相系中的坐标为设晶体在S系中静止，在静止系中测得晶体的振动周期为对S系沿x轴运动，若晶体相邻两次达到振幅极大值的事件在(X,t1) ,(X2，t2)在5系中为（X，t）,（x2，t2）,其中由洛仑兹变换可得v2(tx)七十=；1 C2,1 (t t)V2211 C2因为七十0,令 t2-t= t,则t=C2这表示在S系中同地发生的两事件的时间间隔，由 S系观察是延长了。将同地发生的两事件换为事件发生处钟的读数，就得到两个惯性系中时钟快慢 的比较。当S系中的一个钟通过S系的两个钟（S系认为已校准的两个钟）时，S 系的钟所记时间间隔比S系所记的大，即每一个惯性系都测得对它运动着的时钟变 慢了。所有发生在运动物体上的物理过程都具有这种延缓，因此它是时空的一种基 本属性，与过程的具体性质无关。这种延缓又称为时间膨胀或爱因斯坦延缓。2、运动尺度缩短设一棍静止在S系中，沿x轴放置，且S系想对于S系 以匀速v沿x方向运动。在S系的观察者观察，棍后端的坐标为X，前端的坐标为 x2,棍对他没有运动，因此他测得棍长为l0=X2-X1 o S系的观察者观察到在同一 时刻t，棍后端的坐标为X,前端的坐标为x2,则他测得棍长为1= x2-x，根据洛 仑兹变换x =x2vtV2C2vtV2C2两式相减，得x2l l .1 v20C2这表示物体沿其长度方向运动时，其长度缩短为静止时的门倍。这种现象C2称为洛仑兹收缩。缩短是相对的，每一惯性系都测得对它运动着的物体沿运动方向 的长度要缩短。运动物体沿运动方向的长度缩短是时空的一种基本属性，不但物体的长度缩短， 物体间的距离也要缩短，所以这种收缩不是物体内部结构的改变。3、相互作用的最大传播速度和因果律由同时的相对性可知，事件的先后次序与它们的空间位置和两惯性系间的运动状态有关。在经典的时空理论中，时间的次 序是绝对的。在相对论时空观中，是否事件的先后次序没有客观意义呢？显然不是 的，如果两事件有因果关系（如农样生产中，先播种后收获，人的先生后死），则它 们的先后次序应当是绝对的，不容颠倒，这是事件先后这个概念所必须反映的客观内容。相对论在什么条件下才与这个条件一致呢？设两事件的时空坐标在S系中为（X，t）和d，在S系中为（X，t）和（x2，t2），由洛仑兹变换有(t2T g(X21 V2 C2如果两事件有因果关系，而且 tPt，由于它们的次序不能颠倒，必须在 S系中观察时，亦有t2t。这就要求t t （x x ）2 1 C2 2 1即x xV b C2t t2 1因为V c,满足上式的条件是xx2T ctt2 1x x21对于因果事件，E t1正是事件进展的速度，因此因果事件先后次序的绝对性对相对论的要求是：所有物体的运动速度、讯号传输的速度是光速C。同时的相对性在惯性系S中异地同时发生两个事件：事件1 （珥叫），事件2（駡），且七1七2 （设y, Z不变，故事件只用x， t表示）。在另一惯性系中看这两事件的时空坐标为1： （x1t1）与2： （X2，t2）。由洛仑兹变换关系只要V2C2(t2t1)C7(x2x1)IV2 C21 IC2(x2x1)，t。就是说在S系中同时发生的两事件，在S系看却不同时，即在某惯性系内不同地点同时发生的两事件，对具有相对运动的另一惯性系内的观察者说来，他所测得的两个事件发生的时刻是不同的，同时是相对的。相对论动力学基础1、相对论质量m m/l (V)2m ,1/ 1 (V)2M c o 计 c式(18-18 )中m o为物体的静止质量，v为物体的运到速度，c为真空中的光速。此式告诉我们在狭义相对论中物体的质量不再是一个恒量，而是一个随速度变化的 物理量。当v c时，m ，而当v c时，m m。因此一个有限大小的力 作用于静止质量无论如何小的物体上，其速度不可能趋近于无限大，物体的极限速 度为Co2、相对论能量m C2E mc 2 om C2Ji (V)20(1 )物体的总能量：c式(18-19 )表明：一定的质量必定联系着一定的能量，反之一定的能量必定联系着一定的质量。这个方程就叫做爱因斯坦质能(联系)方程。既然物体的质量 与能量有一定的对应关系，所以在相对论力学中质量守恒与能量守恒等价。(2) 物体的静能：Eo moc2(3) 物体的相对论动能：Ek E Eo mc2 moc2(1)moc2(4)质能变化方程：Emc 2上式告诉我们当物体的质量发生m的变化时，必同时伴随着能量的变化mc 2 o3、相对论动量p m v m v / -1 (-)2m v0 l C04、相对论能量、动量的关系(1 ) E 2 p2C2 E 2。若以pc、E0表示一直角三角形的两条直角边，则E必构成此直角三角形的斜 边。(2) P Ev/c25、相对论的动力学的基本方程d (m v)dvdmFm vdtdtdt6、相对论的速度叠加由于时间和空间的相对性，对于物体的速度，在某一惯性系 S内观测，要用S 系的时间和空间坐标表示；在另一惯性系 S内观测，要用S系的时间和空间坐标表 示。这样，速度叠加公式就不再是绝对时空的速度叠加公式了。假如 S和s两系的 坐标轴相平行，S以速度v沿x轴而运动，一质点以v相对S沿X轴而运动，则 相对S，其速度u为v vu1 vv /c2这是相对论的速度叠加公式。如果-C,则uc ;如果-C (光速)，则u=c。 与相对论的时空概念相协调。、广义相对论初步狭义相对论在惯性系里研究物理规律，不能处理引力问题。1915年，爱因斯坦在数学家的协助下，把相 对性原理从惯性系推广到任意参照系，发表了广义 相对论。由于这个理论过于抽象，数学运算过于复 杂，这里只做个大概描述。1、非惯性系与惯性力牛顿运动定律在惯性系里才成立，在相对惯性系做加速运动的参照系（称非惯性系）里，会出现什么情况呢？例如，在一列以加速度a1做直线运动的 车厢里，有一个质量为m的小球，小球保持静止状态，小球所受合外力为零，符合 牛顿运动定律。相对于非惯性系的车厢来观测，小球以加速度-宀向后运动，而小球 没有受到其他物体力的作用，牛顿运动定律不再成立。不过，车厢里的人可以认为小球受到一向后的力，把牛顿运动定律写为 彳贯ma1。这样的力不是其他物体的作用，而是由参照系是非惯性系所引起的，称为惯性力。如果一非惯性系以加速度 宀相对惯性系而运动，则在此非惯性里，任 质量为m的物体受到一惯性力ma1，把惯性力 ma计入在内，在非惯性里也可以应用牛顿定律。当汽车拐弯做圆周运动时，相对于地面出现向心加速度宀，相对于车厢人感觉向外倾倒，常说受到了离心力，正确地说应是惯性离心力，这就是 非惯性系中出现的惯性力。2、惯性质量和引力质量根据牛顿运动定律，力一定时，物体的加速度与质量成反比，牛顿定律中的质量度量了物体的惯性，称为惯性质量，以m惯为符号，F m a惯根据万有引力定律，两物体（质点）间的引力和它们的质量乘积成正比。万有引力定律中的质量，类似于库仑定律中的电荷，称为引力质量，以m引为符号。惯性质量和引力质量是两个不同的概念，没有必然相等的逻辑关系，它们是否相等，应由实验来检验。本世纪初，匈牙利物理学家厄缶应用扭秤证明，只要单位 选择恰当，惯性质量和引力质量相等，实验精度达 10 8。后来，人们又把两者相等的实验精度提高到10 12。设一物体在地面上做自由落体运动，此物体的惯性质量和引力质量分别为 和皿引，以M引代表地球的引力质量，根据万有引力定律和牛顿第二定律，有M mG 引 引 m gR2惯式中G为万有引力常量，R为地球半径，g为物体下落的加速度。因为山引 叫惯 所以g GM引/R2,与物体的质量无关。这就是伽利略自由落体实验的结论。既然惯性质量与引力质量相等，就可以简单地应用质量一词，并应用相同的单 位。质量也度量了物质的多少。3、广义相对论的基本原理爱因斯坦提出广义相对论，主要依据就是引力质量和惯性质量相等的实验事实。既然引力质量和惯性相等，就无法把加速坐标系 中的惯性力和引力区分开来。比如，在地面上，物体以g 9-8米秒2的加速度向下运动。这是地球引力作用的结果。设想在没有引力的太空，一个飞船以a 9.8米f秒2做直线运动（现在可以做到），宇航员感受到惯性力，力的方向与 a 的方向相反，这时他完全可以认为是受到引力的作用。匀加速的参照系与均匀引力 场等效，这是爱因斯坦提出的等效原理的特殊形式。因为引力质量和惯性质量相等， 所以，在均匀引力场中，不同的物体以相同的加速度运动。这也是伽利略自由落体 实验的结果。它可一般叙述为：在引力场中，如无其他力作用，任何质量的质点的 运动规律都相同。这是等效原理的另一种表述。由于等效原理，相对于做加速运动的参照系来观测，任一质点的运动规律都是引力作用的结果，具有相同的规律形式。爱因斯坦进一步假设，相对任何一种坐标 系，物理学的基本规律都具有相同的形式。这个原理表明，一切参照系都是平等的, 所以又称为广义协变性原理。等效性原理和广义协变性原理是广义相对论的基本原理。4、 广义相对论的实验验证在广义相对论的基本原理下，应建立新的引力理论和运动定律，爱因斯坦完成了这 个任务。这样，牛顿运动定律和万有引力定律成为一定条件 下广义相对论的近似规律。根据广义相对论得出的许多重要 结论，有一些已得到实验证实。下面介绍几例。1、日点的进动按照牛顿引力理论，水星绕日作椭圆运动，轨道不是严格封闭的，轨道离太阳最近的点（近日点）也在做旋转运动，称为水星近日点的进动， 如图2-6-1所示。理论计算和实验观测的水星轨道长轴的转动速率有差异。牛顿的 引力理论不能正确地给予解释，而广义相对论的计算结果与观测值符合。爱因斯坦当年给朋友写信说： 方程给出了进动的正确数字，你可以想象我有多高兴，有好些 天，我高兴得不知怎样才好。2、光线的引力偏折在没有在引力作用下，光线不再沿直线传引力存在的空间，光沿直线行进。播。比如，星光经过太阳附近时，光线向太阳一侧偏折，如图2-6-2所示。这已在几次日蚀测量中得到了证实，证明广义相对论的计算偏折角与观测值相符合。3、光谱线的引力红移按照广义相对论，在引力场强的地方，钟走得慢，在引力场弱的地方，钟走得快。原子发光的频率或波长。可视为钟的节奏。引力场存 在的地方，原子谱线的波长加大，引力场越强，波长增加的量越大，称这个效应为 引力红移。引力红移早已为恒星的光谱测量所证实。20世纪60年代，由于大大提高了时间测量的精度，即使在地面上几十米高的地方由引力场强的差别所造成的微 小引力红移，也已经精确地测量出来。这再一次肯定了广义相对论的正确性。4、引力波的存在广义相对论预言，与电磁波相似，引力场的传播形成引力波。星体作激烈的加速运动时，发射引力波。引力波也以光的速度传播。虽然还没 有直接的实验证据，但后来对双星系统的观测，给出了引力波存在的间接证据。广义相对论建立的初期并未引起人们的足够重视，后来在天体物理中发现了许 多广义相对论对天体物理的预言，如脉冲星、致密X射线源、类星体等新奇天象的发现以及微波背景辐射的发现等。这些发现一方面证实了广义相对论的正确性，另 方面也大大促进了相对论的进一步发展。本章典型例题例1、放射性物质的原子放射出两个沿相反方向运动的电子。在实验室中测出每个电子的速率为06c, c是光速。今以一个电子为参照物，另一个电子的速率是多大？（ 1）用伽利略变换进行计算；（2）用洛仑兹变换进行计算。并指出哪个不理。解：（1）设向右运动的电子为S系, 则按伽利略变换，在S系中看另一电子 的速度是v=0.6c+0.6c=1.2c ，这与光速 不变的实验事实相矛盾，所以是不合理 的。匸y y *图 2-6-3（2）设实验室为参照系S，个电子参照系为S ,则S相对于S系的速度是0.6c,另一个电子相对于S系的速度为-0.6c，按洛仑兹变换，另一个电子相对于 S系的速度是ux，则C2 xv v1 -(v)c22v1 v2 C20.88c这就是说，以一个电子为参照物看另一个电子的速度是0.88c c，即小于光速,与实验相符合，是合理的。例2、有一条河宽为l其河水流速是v，船相对河水的速度为u，且u vo今有船A和B分别沿图2-6-4 (a)中所示路径往返一次，求各需要时间多少？哪条船需时长些？解 本题是经典力学问题,用力伽利略变换处和即可。设岸的坐标系为S,河水的坐标系为S，如图2-6-4(b )所示，若船相对岸的速度为u,则对于A船(a)uO x(b)图 2-6-4u u i u jxyu u i u j u 0x y ， X 由伽利略变换知:ux ux v，则ux v 而u u (u 2 u 2 )1 2y yx=(u 2v2)1 2v21 2u 1 -=u 2所以A船往返一次所需时间为2l2lu 1V2 u 2)1 2对于B船，相对于岸的往返速度u分别为u V和u V，所以其往反一次所需要的时间为2lu 1 V2 u 2)因为，所以vux) 1 2和1 x) 1展为幂级数的公式有所以1 V2；u 2) 1 2u1 V22 u 2V2/u 2)V2V4V42l(1 V22 u 2V4，即B往返一次的时间比A船往返一次的时间要长。例3、 个中微子在图 2-6-5惯性系S中沿+y方向以光速c运动，求 对S系以速度v沿+x方向运动的观察者所观测到的中微子的速度和方向怎样？解：设运动观察者为S系，他所看到的中微子的速度分量为 则按洛仑兹变换u vVu = 1 (v C2)uxx=v( u 0),x因此,u12 )1 2uyvy1(v C2)ux(令C )=1v2.； C2：)1 2 C ( uC)yu12 )1 2u0(u 0),z1 (v C2)uxzu(1 2u 2u 2 )1 2xyzv21 v2； C2)C21 2C,即运动中的观测者测得中微子的速度仍是C,中微子的运动方向是ua t g i xuyVtg112 c即中微子运动方向与Oy轴的夹角。例4、试证明：物体的相对论能量E与相对论动量P的量值之间有如下关系:证明：E 2 - p 2 C 2 =(mC 2) 2 -(mvc) 2m 2v201 v2=m 2 C 2 ( c2 v2 )=C2 ( c2 V2 )m 2C40 =C2 V2v2 )= mC4 =EE 2 =p 2 c 2 + E 0读者可试为之，从E2 - E0入手证明它等于p 2 c 2。4 c例5、一个静止质量为m 0的粒子以速率 v 5运动，它和一个同类的静止粒子进行完全非弹性碰撞。求：(1 )复合粒子的速率。(2)复合粒子的静止质量。解： 在微观领域相对论动量守恒、相对论能量守恒。故有将代入得:m C20m C2 m C205m C23 0C2 m C2，m0与代入得:叮：1 (p,故可得即复合粒子的速率为静止质量为 3例6、求证：在伽利略变换下，质点动量定理具有不变性。证明：在s系中,F ma mdI 血，Fdt d(mv)dt dt两边同时作定积分得:t2 FdtV2 d（m v）即 t2 Fdt m vv1勺2这就是S系中质点的动能定理的数学公式。在S系中F ma, F m dv办），Fdt d（mv）dtdt2 Fd tv2 dm v , 2 Fd t m v m v两边同时作定积分可得：tvt21这就是S系中的质点动量定理的数学公式。为回避高等数学，可设一质量为 m的质点沿x轴正方向，在平行于x轴的恒定的合外力F作用下作匀加速直线运动。经 过时间t，速度从v增大到v2,根据牛顿第二定律在S系中有整理得：Ft mv2mv1这就是S 系中的质点动量定理。在S 系中，FF ,v v（vu）（vu）vv ,t t2 12121即F t m v2mvr1此即S系中的质点动量定理。例7、一个静止质量为M的物体静止在实验室中，裂变为静止质量为叫和m2的 两部分，试求裂变产物的相对论动能Ek1和ek2。解：根据相对论能量守恒有MC 2m C 21 1m C 22 21耐Mm化简得：1 m2 21根据相对论动量守恒有Om vm v1 1 1 2 2 21/:1(v)2 ,v c1,2代入式化简得：m 21 m 211 1 2 2由、两式可解得:r12 m 2m 2 )/2Mm2 1r (M 2 m 2 m2) /2Mm2 2 1 2E(1)m C 2C 2 (M m )2m 2 /2M ;k11112Ek2(21)m C 22C 2 (M m )22m 2 /2M .例8、爱因斯坦的等效原理”指出，在不十分大的空间范围和时间间隔内，惯性系中引力作用下的物理规律与没有引力但有适当加速度的非惯性系中的物理规律 是相同的。现在研究以下问题。(1) 试从光量子的观点出发，讨论在地面附近的重力场中，由地面向离地面的 距离为L处的接收器发射频率为v。的激光与接收器接收到的频率v之间的关系。(2) 假设地球物体没有引力作用，现在一以加速度a沿直线做匀加速运动的箱 子中做一假想实验。在箱尾和箱头处分别安装一适当的激光发射器和激光接收器，两者间的距离为L，现从发射器向接收器发射周期为T。的激光。试从地面参考系的 观点出发，求出位于箱头处的接收器所到的激光周期T。(3) 要使上述两个问题所得到的结论是完全等价的。则问题(2)中的箱子的 加速度的大小和方向应如何？hv,m 解：(1)对于能量为hv0的光子，其质量C2，在重力场中，当该光子从地面到达接收器时，增加的重力势能为 mgh。由能量守恒得hv hv mgl0hvhv T0 gLC2v v(1-gL)得C2v v 2)C2(2)设t=时刻，箱子从静止开始加速，同时，激光光波的某一振动状态从发射器发出，任何时刻t，发射器和接收器的位置分别为1x at22T 1x Lat22所考察的振动状态的位置和比该振动状态晚一个周期T的振动状态的位置分别 为:x=c tx 2叫2 c(t T)设所考察的振动状态在时刻到达接收器，则有解得Ct1L at22 1t C(L ：1 空)1 aC2比所考察的振动状态晚一个周期T发出的振动状态到达接收器的时刻为 ，则aT 2 c (t T ) L 1 at22 0 2 0 2 22aL 2aTa2T 2、0)解得C2cC2接收器接收到的激光的周期为T=t2 -t 2aLC22aL 2aT10! C2 ca2T 20-C2c ： 2aL1 -a C22aT01c2aLC2T T 1 (3)0比较上述两式得1-1aC2c/aT0aT.0c0C2gL)C2aToc2aL)C22a2LTa2LT00C3C3a2LT0C312aLC22a3L2T0C3a=g，即 箱子”的加速度a=g方向竖直向上。例9、考虑不用发射到绕太阳运动的轨道上办法，要在太阳系建立一个质量为m的静止空间站。这个空间站有一个面向太阳的大反射面（反射系数为 1）,来自太阳的辐射功率L产生的辐射压力使空间站受到一个背离太阳的力，此力与质量为M 的太阳对空间站的万有引力方向相反，大小相等，因而空间站处于平衡状态。忽略 行星对该站的作用力，求：（1）此空间站反射面的面积A。（2 ）平衡条件和太阳与空间站之间的距离是否有关？（3）设反射面是边长为d的正方形，空间站的质量为IO6千克，确定d之值。已知太阳的辐射功率是3.77 1026瓦。太阳质量为1.99 1030千克。解：（1）设空间站与太阳的距离为r，则太阳辐射在空间站反射面上单位面积内的功率即光强L4 r2，太阳光对反射面产生的压强是光子的动量传递给反射面的结果，这一光压为2Lc2 r2cFPAL A辐射2 r2cM mFG 引力r2P于是反射面受到的辐射压力太阳对空间站的万有引力为式中G为万有引力常数，在空间站处于平衡状态时，F引力F辐射，即r2L2 r2cA,这就得到，反射面的面积A 2GM smcL（2）由上面的讨论可知，由于辐射压力和太阳引力都与r2成反比，因而平衡条件与太阳和空间站的距离r无关。（3）若人=d 2。并以题给数据代入前式得到1|2 GM mcd 厂2 （6.67 10 11牛米2 千克2） 1.99 1030千克） 106千克） 3.00 108 米秒）3.77 1026瓦2.58 104 米。