圆锥曲线与圆

圆锥曲线与圆山东省滕州一中 张开余 刘健 金文印 （277500）圆锥曲线与圆有着天然的联系,一方面由动圆的圆心可生成圆锥曲线,反过来由圆锥曲线又可生成圆,圆锥曲线的许多性质都与圆有关,通过以下例题我们可以发现他们之间内在的联系.1、动圆圆心产生圆锥曲线图 1）例1已知如（图1）圆C : （X + 3+ y二100 , 点C2 （3,0）,动圆P过点C2与圆C1内切,求圆心P轨迹方程.分析：由 |PCJ + |PCJ = 10所以P点是以C、C2为焦点的椭圆,a=5, b=4, c=3 其方程为琛+話=1.例 2 已知如（图 2）圆 C1 （x + 5）2 + y2 二 36 ,点C2（5,0），动圆P过点C2与圆C1外切， 求圆心P的轨迹方程.分析：|PCJ- |PCJ = 6所以P点的轨迹是 以q、C2为焦点的双曲线的一支，其中a=3, b=4,c=5 所以 P 点的轨迹方程为例3已知如（图3）两圆C1（X + 3）2 + y2二1 ,图（2） C2 Vx - 3七+ y2二9分别求出下列情况下动圆心P点的轨迹方程.yOxPC2C1（1）动圆P与两圆均内切.（2）动圆P与两圆均外切.（3）动圆P与圆C1内切与圆C2外切.（4）动圆P与圆C2内切与圆C1外切. 分析：（1）设P （x,y）动圆半径为r因与 两圆均内切,故有：|PCJ =厂1 |PC | = r 3得 |PCJ |PCJ = 2.所以P点在以C1,C2为焦点的双曲线一支上.a=l,b=2*：2 ,c=3 ,P 点轨迹方程为：x2 = 1（x 0）.8y2同理点P轨迹方程：x2 -= 1（x 0）.8（2） 因为动圆P与圆q内切与C2外切，所以|PC | = r -1|PC | = r + 3由一得IPCJTPC=4,点P在以CC2为焦点的双曲线一支上，其中a=2,x2y 2b2=5,c=3所以点P的轨迹方程为：才-弋=1（x 0）.评：内切、外切这种位置关系的对称反映到轨迹方程上的对称,且是同一个方程所表示的双曲线的不同两支,从中可以看到数与形的和谐与统一.类似的动圆心还可以得出抛物线.例4动圆M在y轴右侧与圆F： Cx -1）2 + y2 = 1外切,Cx - 1占 + y2 = |x| +1y2 二 4x（x 丰 0）.又与y轴相切，求其圆心M的轨迹方程. 分析：设M （x,y）由题意知|MF|-1 = |x|2、由圆锥曲线而产生圆x2 y 2 例5 已知如（图5）椭圆方程C：-1 = 1 （a b 0）.a 2 b2P为椭圆上一动点（异于两轴），片、F2为两焦点， 过片作ZF1PP2外角平分线的垂线F1M,M为垂足， 求 M 点的轨迹方程.分析：延长F1M与F2P的延长线相交于N,连接OM则 OM=2 If2N =2（FP + PNFP + PFi）=2 x2a =所以M点的轨迹方程为x2 + y2 = a2（y丰0）.x 2y 2例6已知如（图6）双曲线C：厂=1 P为异于顶点的一动点,a 2b 2过片作ZF1PF2内角平分线的垂线FM,M为垂足, 求 M 点的轨迹方程.5）（图6）N（图分析：同理|OM| = 2 |FNl)=2(PF-|PF2|所以m点的轨迹方程为x 2 + y2 = a 2. 评：以上两题椭圆、双曲线；外角平分线、内角平分线有关的性质又在圆上得到了统3、圆锥曲线与圆有关的性质x2y 2例7已知如(图7)椭圆方程+ = 1(a b 0).a2b2点P为它上面一动点,F、F2为焦点，则以PF2为直径的圆与圆x2 + y2二a2内切.分析：连接PF1及OM, M为PF2中点1J - |pf2|OM = 2| PFJ = 2所以以PF2为直径的圆M与圆x2 + y2二a2内切.x 2y 2例8已知如（图8）双曲线C的方程-1 = 1,a2b2FF2为左右焦点,P它上面的动点则以PF2为直径的圆M与圆x2 + y2 = a2外切.分析：连接 PF,MO,可得OM = * |PFj =-(2a + |PF )22=a + 2Fj所以圆M与x2 + y2 = a2外切.例9已知如（图9）抛物线y2二2Px（x0） F为焦点,AB为过焦点F的弦.P求：（1）以AB为直径的圆M与准线x =-相切.厶（2）点A、B在准线上的射影A、B则以AB为直径的圆过焦点F.分析：（1） AB = |AF| + BF = |AA| + |BB |M到准线的距离|MN+ |BB )|MN| = - |AB|所以圆M与准线相切.(2)由定义可证ZAFB = 900评:椭圆、双曲线、抛物线他们都可以由平面截圆锥得到他们的统一 定义（平面内到定点距离与到定直线距离之比为一常数）反映了他们 内在的联系，这种联系从以上与圆有关的问题中得到了统一，从他们 位置关系的对称到方程形式的平行又体现了数学对称与和谐之美.（图9）ANO