第十章直线相关与回归

第十章 直线相关与回归一、教学大纲要求(一) 掌握内容1. 直线相关与回归的基本概念。2. 相关系数与回归系数的意义及计算。3. 相关系数与回归系数相互的区别与联系。(二) 熟悉内容1 相关系数与回归系数的假设检验。2 直线回归方程的应用。3 秩相关与秩回归的意义。(三) 了解内容 曲线直线化。二、学内容精要(一) 直线回归1. 基本概念直线回归(linear regression)建立一个描述应变量依自变量变化而变化的直线方程,并要求 各点与该直线纵向距离的平方和为最小。直线回归是回归分析中最基本、最简单的一种，故 又称简单回归(simple regression)。直线回归方程Y a + bX中，a、b是决定直线的两个系数，见表10-1。表10-1直线回归方程a、b两系数对比ab含义回归直线在Y轴上的截距(i ntercept)回归系数(regression coefficient),即直线表示X为零时，Y的平均水平的估计的斜率。表示X每变化一个单位时，Y的值。平均变化量的估计值。系数 0a0 表示直线与纵轴的交点在原点的b0,表示直线从左下方走向右上方，即Y上方随 X 增大而增大系数 0a0 表示直线与纵轴的交点在原点的b0,表示直线从左上方走向右下方，即Y下方随 X 增大而减小系数 =0a=0表示回归直线通过原点b=0,表示直线与X轴平行，即Y不随X 的变化而变化计算公式* 工(X - X)(Y - Y)la = Y - bXb 二-r-乙(X - X)2lXX2. 样本回归系数b的假设检验( 1 )方差分析；( 2) t 检验。3. 直线回归方程的应用(1) 描述两变量的依存关系；(2) 用回归方程进行预测；(3) 用回归方程进行统计控制；(4) 用直线回归应注意的问题。(二) 直线相关1. 基本概念直线相关(linear correlation)又称简单相关(simple correlation),用于双变量正态分布 资料。有正相关、负相关和零相关等关系。直线相关的性质可由散点图直观的说明。相关系数又称积差相关系数(coefficient of product-moment correlation),以符号r表示样 本相关系数，P表示总体相关系数。它是说明具有直线关系的两个变量间，相关关系的密切 程度与相关方向的指标。2. 计算公式工(X - X)(Y - Y)lr =.= -XY2 (X - X)2、.：(Y - Y)2 叭xS相关系数r没有单位，其值为一lWrWl。其绝对值愈接近1,两个变量间的直线相关愈 密切；愈接近0相关愈不密切。r值为正表示正相关，说明一变量随另一变量增减而增减， 方向相同；r值为负表示负相关，说明一变量增加、另一变量减少，即方向相反；的绝对值 等于 1 为完全相关。3. 样本相关系数r的假设检验(1) r界值表法； ( 2) t 检验法。(三) 直线回归与相关的区别与联系1. 区别(1) 资料要求：直线回归要求因变量Y服从正态分布，X是可以精确测量和严格控制 的变量，一般称为I型回归；直线相关要求两个变量X、Y服从双变量正态分布。这种资料 若进行回归分析称为II型回归。(2) 应用情况：直线回归是说明两变量依存变化的数量关系；直线相关是说明两变量 间的相关关系。(3) 意义：b表示X每增(减)一个单位时，Y平均改变b个单位；r说明具有直线关 系的两个变量间关系的密切程度与相关方向。(4) 计算：b= lxy/ lxx ； r =厂厂。xx yy(5) 取值范围：一8br0.05（ n-2）时，可认为两变量X与Y间（）A.有一定关系B.有正相关关系C. 一定有直线关系D.有直线关系答案： D评析 本题考点：直线相关系数假设检验的理解。因为直线相关系数r是样本的相关系数，它是相应总体相关系数P的估计值。由于抽样 误差的影响，必须进行显著性检验。 r 的假设检验是检验两变量是否有直线相关关系。 lrlr0.05（ n-2）时，PvO.05，拒绝H0,接受比，认为总体相关系数P工0,因此可认为两变量X 与 Y 间有直线关系。4. 相关系数检验的无效假设H0是（）A. P =0B. P 工0C. P0D. P0， b0， b0Cr0D. r 与 b 的符号毫无关系答案： B评析 本题考点：直线相关与回归的区别与联系的理解。因为对同一资料而言直线相关系数与回归系数的方向一致，若能同时计算b和r,它们的 符号一致。因此，同一双变量资料，进行直线相关与回归分析，有0, b0。四、习 题一）单项选择题1. 下列（）式可出现负值。A.ECX X ） 2B.EY2（工Y） 2/nC.工（Y Y ）2D.E（X X ） （Y Y ）2. Y=14+4X是17岁儿童以年龄（岁）估计体重（市斤）的回归方程，若体重换3.成国际单位kg，则此方程（）。A.截距改变B.回归系数改变C.两者都改变D.两者都不改变已知r=1，贝y 定有（）。A. b=1B. a=1C. SY. X=0D.SY. X=SY4. 用最小二乘法确定直线回归方程的原则是各观察点（）。A. 距直线的纵向距离相等B. 距直线的纵向距离的平方和最小C. 与直线的垂直距离相等D. 与直线的垂直距离的平方和最小5.直线回归分析中，X的影响被扣除后，Y方面的变异可用指标（）表示。6.A. S =辽(X - X)2f(n - 2)x, yC. S =订(Y - $)2；(n 2)y, x直线回归系数假设检验，其自由度为(A. nC. n2B.D.)。B. n1D. 2n1A. SS 剩=SS 回B.SS总=SS剩C. SS ,SS 回D.以上均可8.下列计算SS剩的公式不正确的是（）。A. l - lbYYXY:B.l -blYYXXC. l - 12 卩YYXYXXD.(1- r2 )l9.直线相关系数可用（）计算。YYA. l二 1 lXY 丿* XX YYB.b Jl卩YXXX :c ：b bYX XYD以上均可10.当r=0时，Y a + bX回归方程中有（）。A.a 必大于零B. a必等于XC.a 必等于零D. a必等于Y二）名词解释1. 直线回归2.回归系数3.剩余平方和 4.回归平方和5.直线相关6.零相关7.相关系数8.决定系数9.曲线直线化10.秩相关（三）是非题1-剩余平方和SS剩i=SS剩2,则G必然等于。2直线回归反映两变量间的依存关系，而直线相关反映两变量间的相互直线关系。3. 两变量关系越密切r值越大。（四）简答题1. 用什么方法考察回归直线图示是否正确？2. 剩余标准差的意义和用途？3. 某资料n=100, X与Y的相关系数为r=0.1,可否认为X与Y有较密切的相关关系?4. r与的应用条件有何不同？5. 应用直线回归和相关分析时应注意哪些问题?6. 举例说明如何用直线回归方程进行预测和控制？7. 直线回归分析时怎样确定因变量与自变量？（五）计算题1. 10名20岁男青年身高与前臂长的数据见表10-2。计算相关系数并对P =0进行假设检验；计算总体P的95%可信区间。表 10-210 名 20 岁男青年身高与前臂长身高(cm)170173160155173188178183180165前臂长（cm）454244414750474649432.某单位研究代乳粉营养价值时,用大白鼠作实验,得到大白鼠进食量和增加体重的数据见表10-3。此资料有无可疑的异常点？求直线回归方程并对回归系数作假设检验。试估计进食量为900g时，大白鼠的体重平均增加多少，计算其95%的可信区间，并 说明其含义。求进食量为900g时，个体Y值的95%容许区间，并解释其意义。表10-3 八只大白鼠的进食量和体重增加量鼠号12345678进食量（g）800780720867690787934750增量（g）1851581301801341671861333.某省卫生防疫站对八个城市进行肺癌死亡回顾调查，并对大气中苯并（a）芘进行监 测，结果如下，试检验两者有无相关？表10-4八个城市的肺癌标化死亡率和大气中苯并（a）芘浓度城市编号12345678肺癌标化死亡率（1/10万）5.6018.5016.2311.4013.808.1318.0012.10苯并（a）芘（卩g/100m3）0.051.171.050.100.750.500.651.204. 就下表资料分析血小板和出血症的关系。表 10-5 12 例病人的血小板浓度和出血症的关系病例号123456789101112血小板数12013016031042054074010601260123014402000( 109/L)出血症状+土+五、习题答题要点4.B 5.C 6.C7.D 8.B 9.D 10.D（一）单项选择题1 .D2 .C3.C（二）名词解释1.直线回归（linear regression）建立一个描述应变量依自变量变化而变化的直线方程，并要求各点与该直线纵向距离的平方和为最小。直线回归是回归分析中最基本、最简单的一种，故又称简单回归（simple regression）。2.回归系数（regression coefficient）即直线的斜率（slope）,在直线回归方程中用b表示,b的统计意义为X每增（减）一个单位时，Y平均改变b个单位。、3. 剩余平方和（residual sum of squares）， SS剩即 U K ，它反映X对Y的线性影各实测点离回归直线越近响之外的一切因素对Y的变异的作用,申就是在总平方和中无法用X解释的部分。在散点图中, ，y丿也就越小，说明直线回归的估计误差越小。4. 回归平方和（regression sum of squares）， SS回即工 Y Y ，它反映由于X与Y的 直线关系而使Y的总变异所减小的部分，也就是在总平方和中可以用X解释的部分。回归平方 和越大，说明回归效果越好。5. 直线相关(1 inear correlation)又称简单相关(simple correlation),用于双变量正态 分布资料。有正相关、负相关和零相关等关系。直线相关的性质可由散点图直观的说明。6. 零相关(zerro correlation)是指两变量间没有直线相关关系。11. 相关系数又称积差相关系数(coefficient of product-moment correlation),以符号r表 示样本相关系数，P表示总体相关系数。它是说明具有直线关系的两个变量间，相关关系的 密切程度与相关方向的指标。1212 ：l SS12. 决定系数(coefficient of determination)即 r 的平方，r2 = x;= 节 XX = 回 ,l l l SSXX YYYY总说明当SS总固定不变时，回归平方和的大小决定了 r平方的大小。回归平方和越接近总平方和, 则r平方值越接近1。13. 曲线直线化(rectification)是曲线拟合的重要手段之一。对于某些非线性的资料可 以通过简单的变量变换使之直线化，用直线回归分析方法来分析。14. 秩相关又称等级相关(rank correlation)，是用双变量等级数据作直线相关分析，适 用于下列资料：不服从双变量正态分布而不宜作积差相关分析；总体分布型未知；用 等级表示的原始数据。(三) 是非题1错。两样本剩余平方和SS剩1=SS剩2，但两样本总平方和SS总及回归平方和SS回不一 定相等，故两样本相关系数r1与r2不一定相等。心2. 正确。3错。相关系数r有正负之分，其值为一1WrW1,在总体相关系数不为零，即两变量确 有直线关系前提下，r绝对值愈接近1,两个变量间的直线相关愈密切；愈接近0,相关愈不密 切。(四)简答题1.用以下三种方法判定：直线必须通过点(X Y )。若纵坐标、横坐标无折断号时，将此线左端延长与纵轴相交，交点的纵坐标必等于截 距a。直线是否在自变量X的实测范围内。(、2.剩余标准差用sY. %表示：SY.x =2SS剩/ C 2)=严- 2)其意义是指当X对Y的影响被扣除后，Y方面仍有变异。这部分变异与X无关，纯属抽样变 异。故sY. x是用来反映Y的剩余变异的，即不考虑X以后Y本身的随机变异。剩余标准差可 用于：估计回归系数b的标准误，s = s厂，进行回归系数的区间估计和假设检验。估计总体中当X为某一定值时，估计值Y的标准误。S”二SYn+(X_X/工(X_X)2 并可计算Y的可信区间，s X可作为预报精度的指标。估计总体中当X为某一定值时，个体Y值的标准差。 n 二 298525 -17252 10 二 962.5XXl 二工 Y2 - Y丄 n 二 20690 4542；10 二 78.4l 二工 XY 乞 X ) Y ) n 二 78541 1725 x 45410 二 226XY:r = xy 0.8227l l V 962.5 x 78.4XX YYl226与P =0进行假设检验。H0： P=0,即身高与前臂长间无直线相关关系H： PM0,即身高与前臂长间有直线相关关系tr00.8227 x、10 22) 4.09辺0.82272a =0.05v n 2 10 2 8，查 t 界值表，得 0.002PP0.05，按a =0.05水准，拒绝H0,接受H,，结论同上。 本题、；F 二 J16.147 = 4.018 = t故可用直线回归方程y = a + bX =-47.326 + 0.261X来描述大白鼠的进食量与增加 体重的关系。异常点即对应于残差(Y Y )绝对值特大的观测数据见表10-7。表10-7残差的计算序号XYYY Y1800185161.47423.5262780158156.2541.7463720130140.59410.5944867180178.9611.0395690134132.7641.2366787167158.0818.9197934186196.44810.4488750133148.424 15.424由散点图及残差分析，第一号点(X=800, Y=185)为可疑的异常点。根据以上的计算结果，进一步求其总体回归系数的95%可信区间。绘制回归直线并图 示回归系数的95%可信区间。总体回归系数B的95%可信区间：(b t0.05(n2) Sb， bt0.05(n2) SbL=(0.2612.447X13.5107/ 订43366 , 0.261+2.447X13.5107/ 43366 )=(0.1022，0.4198)取 X=690,代入回归方程0 =47.326+0.261X，得乙=132.76； X2=934, Y2=196.45。在 图上确定(690， 132.76)和(934， 196.45)两个点，以直线连接即得回归直线的图形见图 10-2。按回归系数的95%可信区间下限和上限分别代入a二Y - bX，得a =78.285, a =12 172.937。回归系数的95%可信区间上、下限对应的两条直线，即图10-2中两条回归直线， 回归方程为：0 =78.285+0.1022X, 0 = 172.937+0.4198X估计进食量为900g时，大白鼠的体重平均增加多少，计算其95%的可信区间，并说明 其含义。s = sn + (X - X)2 二(X X)2=13.5276、亍8 + (900 - 791)2 .43366 = &5446当X=900时，卩的95%可信区间：八y(Y t s ， Y +t s )0.05(6) Y0.05(6) Y=(187.5742.447X8.5446, 187.574+2.447X8.5446) = (166.67，208.48)即总体中，进食量为900g时，大白鼠的体重平均增加187.574g，其95%的可信区间为 166.67208.48g。其含义为：当进食量为900g时，相应的平均增重服从一个正态分布(此正态分布的样本 均数估计值为187.574g),如果从此正态分布中重复抽样100次，这100个可信区间中理论 上将有95个区间包含真正的总体均数(虽然这个总体均数真值是未知的)。求进食量为900g时，个体Y值的95%容许区间，并解释其意义。s = s1 +1/n + (X X )2(X X )2YY. X=13.527,1 +18 + (900 791). 43366 = 16.0002当 X=900 时，Y =47.326+0.261X=187.574,个体 Y 值的 95%容许区间：( Y t0.05(6)SY ， Y +t0.05(6)SY)=(187.5742.447X16.0002， 187.574+2.447X16.0002) =(148.42， 226.73) 即估计总体中，进食量为900g时，有95%的大白鼠增加体重在148.42226.73g范围内。3本题资料不服从双变量正态分布，宜计算等级相关系数。计算过程见表10-8表 10-8 八个城市的肺癌标化死亡率和大气中苯并(a) 芘的相关分析肺癌标化死亡率(1/10万)苯并(a)芘城市编号X等级Y等级dd2(6)=(3) (5)15.6010.05100218.5081.17711316.2361.05600411.4030.10211513.8050.7550068.1320.50311718.0070.65439812.1041.208416Ed2=28H0： P =0,即肺癌标化死亡率和大气中苯并（a）芘无相关关系0sH： P工0,即肺癌标化死亡率和大气中苯并（a）芘有相关关系1sa =0.05由上计算表，rs=1-6Ed2 / n （n21）=16X28 / 8X（821）=0.6667查rs界值表，得0.10P0.05，按a =0.05水准，不拒绝H0,尚不能认为肺癌标化死亡 率和大气中的苯并（a）芘有相关关系。4本题资料不服从双变量正态分布，宜计算等级相关系数。计算过程见表10-9。表 10-9 血小板数与出血症状的等级相关分析病例号血小板数(X109/L)出血症状d(6)=(3)d2 X等级Y等级11201+10.59.590.2521302+12.510.0100.00316037.04.016.00431043.50.50.2554205+8.5 3.512.2565406+8.52.56.25774073.53.512.258106083.54.520.2591260103.56.542.2510123093.55.530.2511144011+10.50.50.25122000123.58.572.25Ed2=402.5H： Ps=0，即血小板数与出血症状无相关关系H： P：M0,即血小板数与出血症状有相关关系 a=0.05因出血症状Y中，相同秩次较多，需计算校正r值rs STX=023 )1辛 J +18.5”-Ty=E(t3t)/ 12=(636)+(232)+( 232) / 12=18.5 (3 一 n”6-(T + T )一丫 d 2 J b - n)6 2T K3一 n)6 2T)-402.5 耳 8123 12丿 6丄 0飞 23 12丿 62 x 18.5=0.5095查rs界值表，得0.10P0.05，按a =0.05水准，不拒绝H0,尚不能认为血小板数与出 血症状有相关关系。王彤 万毅）