第6章 船舶运动控制系统建模应用

第 6 章 船舶运动控制系统建模应用6.1 引 言数学模型化 (mathematical modelling) 是用数学语言 (微分方程式 )描述实际过程动态 特性的方法。在船舶运动控制领域，建立船舶运动数学模型大体上有两个目的：一个目 的是建立船舶操纵模拟器 (ship manoeuvring simulator) ，为研究闭环系统性能提供一个基 本的仿真平台；另一个目的是直接为设计船舶运动控制器服务。船舶运动数学模型主要 可分为非线性数学模型和线性数学模型， 前者用于船舶操纵模拟器设计和神经网络控制 器、模糊控制器等非线性控制器的训练和优化，后者则用于简化的闭环性能仿真研究和 线性控制器(PID, LQ, LQG, H 鲁棒控制器)的设计。船舶的实际运动异常复杂，在一般情况下具有 6 个自由度。在附体坐标系内考察， 这种运动包括跟随 3 个附体坐标轴的移动及围绕 3 个附体坐标轴的转动， 前者以前进速 度(surge velocity) u、横漂速度(sway velocity) v、起伏速度(heave velocity) w 表述，后者以 艏摇角速度(yaw rate) r、横摇角速度(rolling rate) p及纵摇角速度(pitching rate) q表述；在 惯性坐标系内考察，船舶运动可以用它的3个空间位置x ,y ,z (或3个空间运动速度 000x0,y,z)和3个姿态角即方位角(heading angle)屮、横倾角(rolling angle) 9、纵倾角 (pitching angle) 0 (或3个角速度屮,9, )来描述，(屮,9，)称为欧拉角(见图6.1.1)。 显然u,v, wT和X0,y,Z0T以及p,q,rT和叩,9,0T之间有确定关系。但这并不等于 说，我们要把这 6 个自由度上的运动全部加以考虑。数学模型是实际系统的简化，如何 简化就有很大学问。太复杂和精细的模型可能包含难于估计的参数，也不便于分析。过 于简单的模型不能描述系统的重要性能。 这就需要我们建模时在复杂和简单之间做合理 的折中。对于船舶运动控制来说，建立一个复杂程度适宜、精度满足研究要求的数学模 型是至关重要的。图6.1.1的坐标定义如下：O - X0Y0Z是惯性坐标系(大地参考坐标系)，为起始 位置，OX指向正北，OY0指向正东，OZ指向地心；o-xyz是附体坐标系，为船首 尾之间连线的中点，ox沿船中线指向船首，oy指向右舷，oz指向地心；航向角屮以正 北为零度，沿顺时针方向取。36。；舵角5以右舵为正。对于大多数船舶运动及其控 制问题而言，可以忽略起伏运动、纵摇运动及横摇运动，而只需讨论前进运动、横漂运 动和艏摇运动，这样就简化成一种只有 3个自由度的平面运动问题。图 6.1.2 给出图 6.1.1 经简化后的船舶平面运动变量描述。船舶平面运动模型对于像航向保持、航迹跟踪、动力定位、自动避碰等问题，具有足够 的精度；但在研究像舵阻摇、大舵角操纵等问题时，则必须考虑横摇运动。本章根据刚体动 力学基本理论建立船舶平面运动基本方程，据此进一步导出状态空间型(线性和非线性)及传 递函数型船舶运动数学模型，并考虑了操舵伺服系统的动态特性和风、浪、流干扰的处理方 法。这些结果将作为设计各种船舶运动控制器的基础。计及横摇的四自由度船舶运动数学模 型参见文献5。图 6.1.2 船舶平面运动变量描述6.2 船舶平面运动的运动学(1) 坐标系及运动学变量1) 惯性坐标系及与之相关的速度分量 取O - X0Y0为固定于地球的大地坐标系，原点O 设为船舶运动始点或任取，地球的曲率在此可不考虑，不过在涉及大范围航行的航线设计问题时，需单独处理。设船舶运动速度向量卩在OX0方向上的分量为u0，V在OY0方向 上的分量为v0，船舶当前的位置是(x0,y)，时间变量以t表示，显有(6-2-1)x (t) 一 x (0) = f tu dt000 0y (t) 一 y (0) = ft v dt000 0设船舶的艏摇角速度门顺时针方向为正，有屮(t) 一屮(0) = f ;rdt(6-2-2)2) 附体坐标系及与之相关的速度分量 取附体坐标系oxy位于满载水线面内。船舶运动 速度V在ox方向上的分量为u，称为前进速度，V在oy方向上的分量为v,叫做横漂速度。 同一速度向量V在惯性坐标系的分量(u,v0)及附体坐标系的分量(u,v)有下列明显的关(6-2-3)VP移动与转动速度的合成图 6.2.1u0=c o甲一 s iuv0s ic o甲v3) 两种坐标系内运动学变量之间的关系 在惯性坐标系内船舶的位置和姿态由x0(t),y0(t)，屮(t)T确定，在附体坐标系内船舶之运动速度和角速度由lu(t),v(t),r(t)r表示。 由式(6-2-1)，式(6-2-2)和式(6-2-3)知屮(t) =V (0) + J 0r (t )dtx0 (t) = xo (0) + J0 u(t) cos屮(t) 一 v(t) sin屮(t)dt y (t) = y (0) + Jt u(t)sin屮(t) + v(t)cos屮(t)dt0 0 0(6-2-4) 可见，要确定船舶在任意时刻的位置和姿态，首先应该求出在附体坐标系内 u,v,r 的变 化规律，为此需要建立船舶运动的动力学方程。(2) 平面运动中船舶各点上速度之间的关系1) 刚体运动分解为移动和转动 从运动控制角度将船舶视为刚体是足够准确的，因此其 运动是由移动(translation)和转动(rotation)叠加而成；可以取船上任意一点为参考点，船舶一 方面整体地随该参考点平行移动，另一方面绕该参考点同时发生旋转运动；移动速度即参考 点的速度，故与参考点选择有关，转动角速度则与参考点无关，即对任意的参考点均为同值， 对于船舶平面运动，该转动角速度即为舟首摇角速率r。2) 船舶任意点 P 处的合速度 取 o 为参考点(图 6.2.1)，船上任一点 P 对 o 点向径为 P o = xi + yj,i, j为ox及oy轴上的单位向量。以向量形式表示旋转角速度，有血=rk,k为沿 oZ轴的单位向量，血即为舟首摇角速度向量。由理论力学，因刚体转动而造成的速度为V =侧xp，故p点的合速度是roV = V + V = V + a xp = (u 一 yr)i + (v + xr) jPro(6-2-5)注意：单位向量X乘所得向量满足右手法则，如k x i，右手从k的正方向逆时针握向i 的正方向，大拇指所指方向即j的正方向，如果方向与j的正方向相反，结果加负号。考虑船舶质心C,其对o点之向径为Pc = xci + ycj，则C点之速度为V = V + 他 xp = (u 一 y r)i + (v + x r) j = ui + (v + x r) jC C C C C(6-2-6)上式最后一步是由于船舶配载对称于纵舯剖面，yC = 0。如果取质心C为参考点，应 该从oxy坐标系过渡到C如坐标系，后者是前者沿ox方向平行移动距离PC而得。P对C 的向径为d =Ei +UZ，于是有Vp = V + m x d = (%c 耳厂)i + (v +g r) j(6-2-7)6.3 船舶平面运动的动力学在推导船舶运动方程时，做下列假设：工船舶是一个刚体；三大地参照系是惯性参照 系；q水动力与频率无关，水的自由表面做刚性壁处理。有了第一个假设就不用考虑每个质 量元素之间的相互作用力的影响，而第二假设则可以消除由于地球相对于恒星参照系的运动 所产生的力。(1) 平移运动方程的建立1) 刚体的动量 刚体被看做无数质量微团的集合体，各微团保持其形状及彼此之间的距离不变。刚体动量G为各微团动量Vpdm的积分，即G = J Vp dm =J (V + m x d )dm = Vjdm + m xj ddm上式最后一项按照质心的定义应为零，设m是刚体的总质量，则(6-3-1)G = mVC2) 刚体动量定理 牛顿运动定律指明，刚体动量的变化率等于其所受外力之和。以F = Xi + Y代表合外力，其中，X是作用于ox方向上的外力，Y是作用于oy方向上的外力， 有dG/dt =F(6-3-2)利用式(6-2-6)、式(6-3-1)和式(6-3-2),且注意到di/dt = rj，df /dt = -ri (因整个坐标系是 建立在附体坐标系基础上的，而附体坐标系是随着船舶的移动和转动而移动和转动的，故其 导数存在。如果在惯性坐标系，则其导数为0)，参见图6.3.1，经整理得(6-3-3)m(U vr一x r2) = XCm(v + ur + x r) = Ydj = -rdt - i图 6.3.1 单位向量微分关系式(6-3-3)即为船舶平移的动力学基本方程，注意其形状与熟知的牛顿方程有所差异，这 是由于建立船舶运动数学模型应用的oxy是非惯性坐标系所致。式(6-3-3)左端附加项-mvr 及mur是船舶宏观旋转中向心惯性力分量；附加项-mx r2及mxj分别是由于质心C对CC原点o做旋转运动产生的向心惯性力及切向惯性力(离心惯性力)。(2) 旋转运动方程的建立1) 刚体的动量矩 刚体对质心C的动量矩HC为各微团对C动量矩d x (Vpdm)的积分， 即H = J (d x V )dm = J (d x V )dm + f (d x血 x d)dm =J +咐)x rk x +咐)dm = rJ (g 2 +耳 2)dmk =(6-3-4)其中I工二傩2 +n2)dm为船舶对过C点的垂直轴(O )的惯性矩。2) 对质心C的动量矩定理 同样由牛顿运动定律，运动着的刚体对质心C的动量矩变化率等于其所受外力矩之和，以MC = NCk表示后者，Nc为外力矩之代数和，于是dH /dt = MCC即I = NC(6-3-5)3) 对于坐标系oxy原点o的动量矩定理 形式为式(6-3-5)的动量矩定理只适用于质心C。 现由该式出发对力矩和动量矩进行变换以导出适用于 o 点的动量矩定理表达式。以 M = Nk表示外力矩之和，其中N是作用于船舶的绕z轴的外力矩，以I表示船舶对ozozz轴的惯性矩，由理论力学的力矩和惯性矩移轴公式，有M二M C + p xF及 o C CI = 1厂厂+ mp2，这样由式(6-3-4)和式(6-3-5)可推出zz SSCNk = I rk + x i x Yj = I rk + x m(v + ur + x r)k第c第ccI r + mx (v + ur ) = NzzC(6-3-6)式(6-3-6)即为船舶转动的动力学基本方程，其形状与式(6-3-5)的区别在于，左端的附加 项mxCv及mxCur分别代表由于质心C对原点o做旋转运动所产生的离心惯性力矩和向心 惯性力矩。6.4 船舶平面运动的线性化数学模型综合式(6-3-3)和式(6-3-6)，得下列形式的船舶平面运动基本方程m(U vr一x r2) = XCm(v + ur + x r) = Y CI r + mx (V + ur) = NzzC(6-4-1)当附体坐标系原点取在质心C时，xC二0，可得最简形式的船舶平面运动基本方程m(U - vr) = Xm(V + ur) = Y I r = nzz(6-4-2)式(6-4-1)代表着 3 种力的平衡关系：左端是船体本身的惯性力和力矩，右端是流体对船 体运动的反作用力，实际上包含了流体惯性力和力矩及黏性力和力矩。式(6-4-1)本质是非线 性的，其左端显式地出现ur，vr等非线性项，尤其右端的X, Y, N将是运动变量和控制变量 的多元非线性函数，结构异常复杂。(1) 船舶平面运动的非线性模型和线性模型船舶运动数学模型分线性化数学模型和非线性数学模型两大类。研究船舶数学模型通常 有两种目的：一种目的是建立精密程度不同的船舶运动仿真器(又称船舶运动模拟器)，用于 通过仿真对船舶操纵特性进行研究，对船舶运动闭环控制系统进行研究，对船舶运动控制器 性能进行评价。这种模型必须是非线性的，以包含尽可能多的机理细节；另一种模型目的是 用于船舶运动控制器设计，这种模型主要是线性的，因为迄今为止，线性反馈控制理论仍是 能够提供各种控制器设计系统性方法的惟一控制论分支。当引用神经网络控制或模糊控制 时，非线性船舶运动数学模型可以提供训练和学习的数据。1) 船舶平面运动非线性数学模型 为应用方程式(6-4-1)求解船舶平面运动的基本变量 u，v，r，必须具体讨论流体动力X,Y和力矩N的结构形式。研究中把船体、螺旋桨和舵视为 一个整体，此时X,Y,N将是移动速度(u，v)、转动角速度(r)、它们的时间导数(么V，门、舵 角(5 )以及螺旋桨转速(n)的非线性函数X=X (u, v, r, u, V, r,8, n)Y = Y(u, v, r, u, V, r,8, n) N = N (u, v, r, u, v, r, 8, n)(6-4-3)完全从理论上确定式(6-4-3)的函数关系极为困难，迫使研究者不得不转向半理论半经验 的方法或多元数据回归方法。Abkowitz提出一种小扰动和Taylor展开研究X,N的表示式的方法，其主要思路是， 考虑船舶等速直线运动这一平衡状态：u = u0 = V,v = r = 0,8 = 0,u = v = r = 0，这时在 式(6-4-3)中的自变量n将不出现；从该点出发，研究偏离平衡状态不远的运动： u = u + Au,v = Av,r = Ar,u = Au,v = Av,r = Ar,8 = A8,Au,Av,A8 是小量；将X,Y,N在平衡点附近展成Taylor级数时，在展开式中将仅出现u，v和r的一次项，因为流体 对船舶的惯性反作用力只取决于平移加速度，v以及转动角加速度r本身，而与它们的各阶 导数无关；至于和Au,v,r有关的黏性力各项及与5有关的舵力各项，则取至3阶为止，更 高阶的项全部略去。将式(6-4-3)的展开式代回式(6-4-1)并进行移项整理，可得到 Abkowitz 非线性船舶运动方程6。Norrbin 发展一种非线性船舶运动数学模型7，该模型有两个特点，一是适用于运动变 量(u,v,r)的整个变化范围；二是它不像Abkowitz模型那样，完全按数学方式处理流体动 力，以至其 Taylor 展开式的某些项缺乏物理意义，而是在更深的层次上依赖于流体动力学 的基本原理，构成一种半理论半经验的模型格局。以上所述的 Abkowitz 和 Norrbin 船舶运动非线性数学模型属于“整体式”模型，本节 将做较详细的介绍。与此相对应，日本船舶操纵数学模型小组 (Manoeuvring Model Group, MMG)提出了一种分离式船舶运动数学模型，后者是在单独考虑船体、螺旋桨、舵的流体 动力学特性的基础上再研究在它们构成一个推进和操纵系统时，各部分之间的相互干扰。这 种分离式模型的优势是具有完整的理论支持，易于进行实验研究从而获得较为通用的数据回 归结果，对于希望建立自己的复杂程度不同的船舶操纵模拟器的各类研究人员均有裨益。有 关 MMG 模型的结构和细节，有兴趣的读者可参考文献9。2)船舶平面运动线性数学模型 沿用 Abkowitz 的研究方案，在把流体动力 X,Y,N 展开 成 Taylor 级数时只保留一阶小量6，同时在船舶运动基本方程左端也进行线性化处理，从 而得到平面运动线性数学模型，有mAU = X Au + X AUuUmv + mu r + mx r = Y v + Y r + Y v + Y r + Y 50cv r v r 5I r + mx v + mx u r = N v + N r + N v + N r + N 5zzcc 0vrvr5以矩阵形式表示之，有（m 一 X ）u000（m 一 Y ）v（mx 一 N ）c v0（mx 一 Y ）C r （I 一 N.） zzr0YvNv0 一Au_ 0 -一 mu ）0v+Y5一 mx u ）C0rN5（Yrr（Nrr5 （6-4-4)式(6-4-4)对研究平面运动稳定性有用。3) 前进运动与横漂、转首运动的解耦 式(6-4-4)表明，在线性化前提下，前进运动与其 他两个自由度上的运动互相独立，从航速控制的角度，该自由度的运动可以单独考虑；横漂及转首运动之间存在着强耦合，这两个自由度上的运动与船舶航向、航迹控制密切相关，是 本章研究的重点，故而将式(6-4-4)重新写为（m 一 X ）ur = X Auur（6-4-5）（m 一 Y ）vr（ mx 一 N ）Cvr（mx 一 Y ）Crr（Izz 一 Nr）zzrrvrYvNvv-Y 一+5rN5（Y 一 mu ）r0（ N 一 mx u ）r C 0(6-4-6)4) 流体动力导数的无量纲化 船舶线性化数学模型的进一步推演主要涉及 10 个流体动 力导数Y ,Y , N , N ,Y ,Y , N , N , I, N 前4个称为“速度导数”，第5第8个称为v r v r v r v r o o“加速度导数”，最后两个称为“舵力和舵力矩导数”。由于船舶(包括桨、舵)几何形状的 复杂性，应用理论流体动力学方法计算这些流体动力导数是不可能的，因此它们的确定必须 依赖于船模试验。为了数据处理的科学性以及使用的方便性，根据相似原理和量纲分析方法 应该采用无量纲的流体动力导数。为此选择一些基本的度量单位：长度L0 L(船长)，速 度V0V(航速)，时间10 L/V，质量m0(1/2)pL3，力F0(1/2)p V2L，力矩M (1/2)p V2L，其中p 水密度。这样将得到各量的无量纲值：质量：m = m/( pL3)2长度： x = x / LCC速度： v = v /V转首角速度： r = rL/V力：F = F/(丄pV2L2)2力矩：N = N/(-pL3V2)2惯性矩：I = I /(： pL5)mL2I =zz zz 2zz 16r “d(Y / F )V2以此为基础，将得到无量纲速度导数Yv=QY/Qv=0- =Y =-Y ,vc(v / V ) F vp VL2 v00N =CN/Cr = (2/(pVL4)N ,，以此类推。以上介绍的无量纲化流体动力导数称为“一 rr撇”系统(prime system)，由美国造船与轮机工程师协会(SNAME)于1950年提出;此后Norrbin 又提出了 “两撇”(bis system)，其独到之处是采用与上述不同的基本度量单位，如：长度L 速度v gL，时间QL/g，质量pV, V为排水体积，力pgV，力矩 pgVL。由此得出的无量纲流体动力导数以Y, N,表示。 vr5) 线性流体动力导数的估算公式 Clarke 整理大量船模试验数据，给出关于 10 个线性流体动力导数的回归公式10，汇集如下：Y =-1 + 0.16C B /T 5.1(B /L)2 n (T /L)2vbY = 0.67B/L 0.0033(B/T)2 n(T/L)2N =1.1B/L 0.041B/T n(T/L)2v /N =1/12 + 0.017C B/T 0.33B/L n(T/L)2rbY =1 + 0.40C B/T n(T/L)2 vb(6-4-7)Y =1/2 + 2.2B/L 0.080B/T n(T/L)2rN =-1/2 + 2.4T/L -n (T/L)2vN =-1/4 + 0.039B/T 0.56B/L -n(T/L)2 rY =3.0A /L2ssN = -(1/2)Y ss上式中B,T,C As分别指船宽、吃水、方形系数、舵叶面积。上式中的Y, Y,N,N是船体b v r v r本身的流体动力导数，在实际应用时应考虑舵对船体流体动力的干扰，尚需对这些流体动力导数做一定的修正，需修改的增量按下式确定10AY = YsAY = -AYr2v(6-4-8)AN=-AYv2vAN=丄 AY丿r 4 vY = 0.30(2) 状态空间型船舶平面运动数学模型状态空间型的船舶运动数学模型是船舶运动控制器设计的基础，它可以有多层次的模型化方案，不同维数的模型用于不同的设计目的和精度要求，详见文献9。1)二自由度状态空间型船舶线性数学模型 在式(6-4-6)的第一行两端除以丄PL3，第二2行除以-pL4，并转化成无量纲流体动力导数，则有2m Y vmx N C vL(mx Y )c rL(I N )zz rLvVNLvV 2I Yv+LsrV 2NL LsV(Y m)rV(N mx )rC(6-4-9)上式可简记为1 (2)X (2) = P(2)X(2)+ 佥卩(6-4-10)其中I(2)m YL(m x Y)vC rm x NL(I N)C vzz r YV(Y -m)P(2)Q(2)L v rVN V (N m x)L v r CYL 2N L 分别是惯性力导数矩阵、黏性力导数矩阵及舵力导数矩阵，化)=VrT是状态向量，= 是控制输入。将式(6-4-10)化成标准的状态空间形式，得X (2) = A X + B (2) (2) (2) (2)(6-4-11)其中a aA = (I ) -1P =1112(2)(2)(2) a a21 22B(2)=(1 (2)-12(2)biib21并且a = (I - N )Y - (mx - Y)N V / S11 zz r vC r v1a = (I - N)(Y - m) - (mx - Y)(N - mx )LV /S12 zzr rcr rC1a = -(mx - N )Y + (m - Y)N V / L / S21 CV vV v1a = -(mx -N)(Y -m) + (m - Y)(N -mx )V/S ?22 Cv rv rC1b = (I -N)Y -(mx - Y)N V2 /S11zz r C r 1b = -(mx - N)Y + (m - Y)N V2 /L/S21C v v 1S = (I - N)(m - Y) - (mx - N )(mx - Y)L 丿1zz rvC vC r(6-4-12)2) 三自由度状态空间型船舶线性数学模型在式(6-4-11)的基础上，增加一个便于研究问题的状态变量A屮(航向偏差)，且A屮二屮-屮，屮 为设定航向，使状态向量成为 rrX=vr 仙T。因 Av = r可得其中=A(3) X + B(3)(6-4-13)B(3)L03 阶模型是最基本的，由此可演化成其他更高阶的模型形式，直接利用3 阶模型可进行 线性二次型(Linear Quadratic, LQ)最优控制器设计。3) 四自由度状态空间型船舶线性数学模型 在式(6-4-13)基础上再叠加以舵机伺服系统 的模型，后者一般被视为一个1阶惯性环节，其时间常数为T,则有r(6-4-14) =-8 +8TTrrr其中：8r为命令舵角，则状态变量成为X(4)= vr人屮8 T，可得到X =A(4)X + B(4)8(4)(6-4-15)其中(4)A亠000B(4) = 004)考虑随机干扰时的线性船舶数学模型 考虑海上环境干扰对船舶的影响，并把这种干扰简化为一种白噪声w (2) = S宀，则船舶运动数学模型将从确定性系统变为随机系统,这样有X (2) = A X + B 8 + w(2) (2)2)(2)1(2)w = lww .K(2) 1 2(6-4-16)X 、=A X + B 8 + w(3)(3)wT3(3)(3) (3)w= LWW(3)12(6-4-17)(6-4-18)X =A X + B(4)(4) (4)w = LWw(4)128(4)w3+ WLwT4其中白噪声w3代表航向刎受到的高频噪声,W 4代表海浪对舵叶驱动伺服系统的干扰作用。(3) 传递函数型的船舶运动数学模型传递函数型数学模型在经典控制论以至智能控制范畴内用于分析船舶运动的动态行为 并且可作为设计航向、航迹控制器的基础。(6-4-19)1)3阶传递函数模型 对于船舶航向控制来说，采用3个自由度的状态空间数学模型式 (6-4-12)，加上输出方程屮 m = C (3)其中屮m为量测航向，C上0，将此状态空间模型转换成传递函数形式为G x(s) = CsI - A-i B = Ko(T3* +1 5s (Ts +1)(7$ + 1)(6-4-20) 这是一个3 阶系统，具有两个非零极点和一个零点，且有1=a a 一 a aTT 11 22 12 211212 = -(a+ a )T T 11 22 121 _丄7 b321(b a11 21-b a )21 110 3 = bT T 2112由此不难解得3个时间常数T ,T ,T以及一个系统增益系数K。12302)2阶传递函数模型(Nomoto模型)野本(Nomoto)对3阶船舶模型式(6-4-20)1故了一项出 色的简化工作，使之降为2阶11。论证的出发点在于，对于船舶这种大惯性的运载工具来说， 其动态特性只在低频段是重要的，故在式6-4-20)中令s =0，且利用一个熟知的近似关(6-4-21)系：当x T0时有(1 -x)沁1/(1 + x)，并忽略2阶和3阶小量，由此导出著名的Nomoto模型。屮5)= s(Ts+1)0其中增益K 0与3阶模型相同，时间常数T = T1+ T2 - T3,或直接由下式求出K0b a - b a11 2121 11a a- a a11 2212 21a +a 甘22a a - a a11 2212 21b21 b a - b a11 21 21 11式(6-4-21)广泛应用于船舶自动舵的控制器设计中。用 Nomoto 模型进行船舶运动控制 器设计有两个好处：一是在低频范围，其频谱与高阶模型的频谱非常相近；二是设计出的控 制器阶次低，易于实现。求解本节所述船舶运动数学模型需要已知8个船舶参数，即航速V，两柱间长L，船宽B，满载吃水T,方形系数，排水量V，重心距中心距离xC，舵叶面积A5。 首先将这 8 个已知参数代入式(6-4-7)，求出 10 个流体动力导数，并用式(6-4-8)修正 然后代入式(6-4-12)，即可求出各种自由度的数学模型。6.5 船舶平面运动的一种简洁非线性数学模型(1) 用于船舶运动闭环控制系统仿真的六自由度非线性模型各种线性船舶数学模型只用于在不同情况下进行控制器设计，当用于船舶闭环控制系统仿真研究时，必须以非线性模型表述被控过程的动态特性，并且还需考虑风、浪、流造成的环境干扰。从式(6-4-10)出发在其右端加上非线性流体动力项Fnn、风力项Jnd、浪力 项气AVE，则无量纲的二自由度非线性船舶运动数学模型将呈下列形式I X(2) P X + Q U + F+ F + F(2)(2)(2)(2)(2)N O N W I N D W A V E(6-5-1)其中FW INDY/丄 pL3W I N D2N/壬 pL4L W I N D2FNONY/+ pL3NON 2N/1 pL4NON 2FW AVEY/1 pL3W A V E2N/ 十 pL4W A V E 2Y , Y , Y 及N , N , N分别是非线性力、风力、浪力在y方向的合力及NON WIND WAVE NON WIND WAVE在绕 z 轴方向的合力矩。由式(6-5-1)和式(6-4-14)不难看出在Xv r A屮8T的4个自由度上有非线性状态方程(4)A(4)X(4)+ B 8 +(4) r(I )-iF+ F+ F(2) NON WIND WAVE00(6-5-2)考虑到船舶位置x0,y0T的两个自由度上的运动学关系X u cos 屮一 v sin 屮.o .(6-5-3)y o u sin 屮 + v cos 屮则式(6-5-2)与式(6-5-3)构成了六自由度的船舶运动非线性数学模型的基本框架，状态变量变为X v r A屮 8 x y T(6)o o各研究者关于式(6-5-2)中非线性流体动力 FNON 的取法不同是区别到目前为止形形色色的非 线性船舶运动数学模型的主要标志。(2) Norrbin关于非线性力的简化表示式Norrbin 在研究船舶参数辨识问题时提出了一种关于非线性流体动力 F的简洁表示NON式7,12， 如下所示：F =YCfY (v, r)NON=NONNNONCfv(v,r )N(6-5-4)其中T - r|r112L2 r1 v 1-0 L- 2T - rrl- 2 Z - 2 L(-戶r-1-1 v V 1T - r|r咕 *L2 r1 1 v C02 L -(6-5-5)T - -r - 6 (-)6 L rf (v, r) = T - r|r-n 丿324 L2T - -6丄(-)6 L r11+ 6 L4(-)4r1 v 1-0 L r 2 -丄_丄v丄 2 L r 21 1v2 L r(6-5-6)式(6-5-4)中的比例系数C为无量纲横流系数，其值通常在0.30.8范围内oNorrbin关于F 的横流模型式(6-5-5)、式(6-5-6)的优越之处在于其表示式在各类非线性模型中最为简单，它 的导出具有比较明确的理论基础，并且公式中除了船舶吃水和船长之外，不需任何关于船体 结构的数据，应用甚为方便。据笔者的经验，由式(6-5-2)式(6-5-6)组成简化的非线性船舶 运动数学模型用于在自动舵控制下的闭环系统的仿真研究，结果是可信的1315。应指出， 对式(6-5-5)和式(6-5-6)中同时出现v = 0和r = 0的情况应做专门处理。(3) 风力干扰在式(6-5-2)中 ，风力 YW IND, nW IND分成平均风力Ywind，Nwind及脉动风力16。平均风力计算见图 6.5.1。图 6.5.1 平均风力计算YW IND , nW IND平均风力的表示式如下：Y= C ( )1 p V 2 A / 十 pL3_ WINDYR 2A RL2N= C ( )1 p V2A L/+ pL4WINDnR 2A RL 2(6-5-7)式(6-5-7)中(Jr ), Cn (Jr )为无量纲的风力和风力矩系数，文献17给出了这两个系数的一系列图谱可资利用，其估算公式参见文献16； A为船舶水线以上侧投影面积，P为空气LA密度； V 为相对风速， J 为相对风速与首向间的夹角，称为风舷角，由绝对风速 V 、绝R R T对风向a wind以及航速V(u，v)按下式计算u = V cos(a屮)uR T WINDv = -V sin(a一屮)一 vR T WINDV 2 = u 2 + v 2R R R(6-5-8)vJ = arctan + uRuR0u 0, vRRu 0, vRR其他上式中Nd变动范围为36 J R变动范围为18相对风从右舷来时J r 。脉动风力Ywind, nd是由大气的湍流所造成的，按文献，它们被认为是某种白噪声的实现，该白噪声的标准差b ,b与绝对风速V的平方成正比Y NT(6-5-9)b = 0.2p V 2 |C (J )|L2YATYRb = 0.2p V2 |C (J )|L3NATNR(4) 浪力干扰浪力Y, N分为两个组成部分：高频的一次力，它是与波浪宏观振荡运动同步WAVE WAVE的周期力，幅值可较船舶的推进力或因运动而产生的流体动力高一个数量级，但由于大惯性 船舶本体的滤波作用，一次力产生的振荡运动(艏摇、横荡等)被限制在允许范围之内；低频 的二次力，数量级较小，数值变动缓慢，产生船位的漂移。1) 一次力的计算 采用文献16的结果，把波浪看成规则波，这种波浪只有一个频率、一个周期T和一个波高h ；而把船舶看成一个简单的六面体；在小扰动假设下压力由波形COco抬高按 Bernoulli 公式求出，浪力是在船体水下表面上把压力积分而得，并表成封闭的解析 形式。更准确地可采用不规则波概念，把不同风力下的波谱分解成一系列波谱段(例如10段)， 每一段波谱对应着一定的频率和波高，这样不规则波就由一系列规则波叠加而成；船体也被 分解成一系列六面体分段(例如 20 段)；分别计算各种波浪分量在每一分段上的力，最后按 频率和船长进行二维求和可得到总的浪力，但计算量大为增加18，未予采用。规则波对于船的传播方向称为浪向角，以X表之，参见图6.5.2,有X= n Q屮)WIND(6-5-10)nnX =0为顺浪，X =冗为顶浪，X =-为横浪(+ -表示浪从右舷来)；船对波浪的遭遇22频率是一 ku c OC +skv s 甲ne(6-5-11)式(6-5-11)中为规则波本身的圆频率，k为波数，有74n 2 2k =gT2 gco2nLco(6-5-12)式中：L为波长，Tq为波浪周期，与风速有关，其具体的依存关系视考察的海区而有所不 同。Kallstrom根据海上观测数据进行最小二乘回归16，得到几匕)和波高化匕)公式如 下：T (V ) = 0.0014V3 + 0.042V2 + 5.6a Ttt(6-5-13)h (V ) = 0.015V 2 +1.5q TT丿注意式(6-5-13)只适用于Vt 20 m/s的情况应谨慎进行外推处理；并且在VT = 0时仍给出1.5 m的波高和5.6 s的波浪周期，这对大西洋上的情况可能是合适的,但用于我国近海海域，可能稍有误差。Kallstrom还对Zuidweg的工作19略加修改，给出浪 力表示式如下：YWAVEc T sin b sin c=2aLs(t)NWAVE=ak(B 2 sin b C COs C 一 血 C - L2sin c bCOs b 一 血 b 兀(t)C2b2(6-5-14)a = pg (1 - e -kT) / k 2b = kL / 2 - cos 咒其中(6-5-15)c = kB / 2 - sin 咒 khs(t)=(亠)sin( t) 2ehg (t)=(十)cos( t) 2e式(6-5-14)中g (t)代表在附体坐标系原点处波面的振荡，s(t)则表明沿波浪传播方向上的波面g的斜率在原点处的值。在进行仿真时应对式(6-5-15)的oe进行适当的滤波16，滤波的方 法如下：o (k) = (A 一 S(k)o (k 一 1) + (B + S(k)o (k)(6-5-16)efefeS 八 A - S (k -1)、S (k) =- (6-5-17)A + S (k 1)式(6-5-16)、式(6-5-17)表明所采用的是一个时变滤波器。o为经过滤波的遭遇频率；o为efe未经滤波的遭遇频率；AB是两个常数，取A=0.999, B=0.001(即A+B=1)； S(0)取为0.999, 随着递推次数k的增加，由式(6-5-17)知S(k)下降，当kTx时S(k)T0,此时式(6-5-16)趋于 一个定常滤波器o (k) = 0.999o (k -1) + 0.001o (k)efefe(6-5-18) 滤波的结果是：在连续的采样周期o也连续变化。ef2) 二次力的计算 目前尚无简捷而可靠的方法。 海浪干扰的另一种简单模拟方法是用白噪声驱动一个典型的2阶振荡环节(相当于2阶低 通滤波器)20。其中白噪声的带宽为).5 Hz, 2阶滤波器具有低阻尼比，参数为.05，自然频率o =o -o2Ucosy /gn 0 0其中o0为海浪频谱的峰值频率，U为船速，y为航向与海浪方向之间的夹角，g为重力加速度。例如，如果模拟的海况为5级风，中浪，参数可取o 0为0.15 rad/s，船速为7 m/s(约14 kn)， y 为 60。(5) 流干扰仿真时通常假定流是恒定并且均匀的，它只改变船舶运动的位置和速度，而不改变船舶 的航向，有下列速度平衡方程：x = u cos屮一 v sin屮 + V cos y0ccy = u sin屮 + v cos屮 + V sin y0cc(6-5-19)(6) 船舶运动数学模型的总体结构图 6.5.4 示出笔者所研制的船舶运动非线性数学模型的总体框架，还包括了模型和控制r图 6.5.4 船舶运动非线性数学模型总体结构6.6 操舵伺服系统的数学模型在式(6-4-14)中，把舵机伺服系统看成 1 阶惯性环节是一种较粗糙的近似。实际上，操 舵伺服系统是一个具有纯迟延、死区、滞环、饱和等非线性特性的电动液压系统，这些因素 在很大程度上影响到航向/航迹闭环控制系统的性能；换言之，要获得良好的航向和航迹控 制质量，除了要依赖各种“高级的”航向保持、航迹保持控制算法之外，还需十分注意操舵 伺服系统这一舵角闭环的动态行为及其与自动舵(航向环和航迹环)之间的匹配。这一点虽然 近来已逐步为人们所认识，但是单从自动舵设计者的角度进行努力不可能根本解决问题，而 必须从自动舵与操舵电液伺服系统的结合上进行综合考虑，在整个船舶运动控制的层次上， 在设备的选型、安装、管理以及控制方案的确定、控制算法的设计等诸多方面进行细致的工 作，协调处理，方能收到良好效果。对于操舵伺服系统的分类以及性能比较、操舵伺服系统引起的船舶运动附加阻力等问 题，Blanke曾进行过相当深入的研究22】。按照Blanke的观点，操舵电液伺服系统可概分 为5 类，其定义及模型化概述如下：第1类：单油路bang-bang控制伺服阀系统 由命令舵角和实际舵角所形成的误差信号 -5)经功率放大，引起三位四通电液伺服阀一侧的电磁线圈(solenoid)通电，打开操舵 r主油缸(hydralic actuator)的通路，由定排量主油泵来的压力油驱动舵叶回转，直到实际舵角 与命令舵角一致为止。其原理和仿真模型参见图6.6.1,其中DB为死区宽度，H为滞环宽 度，N为最高转舵角速率。对于一艘250 000载重吨油船，典型数据为DB=2。, H=1。, =2.3%。第2类：双油路bang-bang控制液压操舵器系统 此系统中舵角误差信号()经功r率放大，引起三位四通电液伺服阀一侧的电磁线圈通电，打开液压操舵器(telemotor, TM)的 油路，由定排量辅油泵来的压力油使TM的拉杆移动，这是一级放大；TM拉杆因而拉动变 排量主油泵的油量控制杆，使主油泵排出与控制杆移动距离成比例的油量，这个压力油流被 通至转舵主油缸，驱动舵叶回转，与此同时由舵柱带动的机械式三点追随机构产生位置反馈，把主油泵的油量控制杆拉回到零油量位置，此时动态地停留在8的位置上，这是二级放大。r 这类液压操舵系统在海船上应用相当广泛，其动态性能(操舵时间和舵角跟踪精度)明显优于 第1类电液操舵伺服系统。图6.6.2(a)为系统框图，图6.6.2(b)为相应的仿真模型。PB为主 回路比例带；K为一级放大系数，N为二级放大系数。典型的数据：DB=1。，H=0.80, PB=7。， K=4o/s，N=2.3/s。第3类：单油路bang-bang控制主变量泵的主油路 本系统实际上是把第2类系统的三 点式追随机去除后形成的，因为没有了舵角位移的二级反馈，所以变量油泵的油量控制拉杆 只能有3个位置：左满程、右满程、零位。这和(8 -8 )信号的符号是一致的；换句话说， r此时的变量油泵只作为定量油泵使用。因而此类系统的功能类似于第1类系统，但其性能要 优于后者，原因是在3个位置之间的转换(即TM拉杆的移动)是逐步发生的，因而其动态过 程自然比油路的突然开、断控制的第1类要平滑，舵角超调也要小得多。图6.6.3示出此系 统的仿真模型，其中比图6.6.1增加了一个积分环节。典型的数据为： DB=10， H=0.80， PB=70， K=40/s， N=2.30/s。solenoid图 6.6.3 第 3 类电液操舵伺服系统仿真模型第4类：双油路模拟控制操舵伺服器系统 本类系统的特点在于，对TM的油量控制采 用一种比例伺服阀而不是像类型1 系统中的那种位式伺服阀；至于对主油路的控制则与类型 2 系统中的形式全同；这样本系统就存在着两个串联的连续运动环节，如图6.6.4 所示，其动态性能在各类中是最好的，但初置费明显增加。典型数据为PB =1。，K=4/s, PB =7。，12N=2.3/s。图 6.6.4 第 4 类电液操舵伺服系统仿真模型第 5 类：单油路模拟控制变量油泵的油流系统 此系统设计较为简捷，因为只用了单油 路；由于采用了比例控制的直线位移输出的伺服机构去拉动变量油泵的油量控制杆，使舵叶 的运动快速，并且不会产生舵角的静态误差，其仿真模型见图6.6.5。典型数据为： PB=7。， N=2.3/s。图 6.6.5 第 5 类电液操舵伺服系统仿真模型 在船舶运动非线性数学模型总体框架中可能包含上述某种线性或非线性的操舵伺服系 统模型。6.7 非线性船舶运动数学模型当船舶进行大舵角回旋操纵时，u，v,r之间的非线性耦合效应将使航速u明显下降，此 时上述的船舶运动数学模型已难于描述过程的动态，需要转向更为精密的模型。 Abkowitz 非线性船舶运动数学模型是这方面的一个突出代表。(1)模型结构形式的讨论综合船舶平面运动基本方程式(6-4-1)和作用于船舶上的流体动力式(6-4-3)，有m(u 一 vr 一 xr2) = X(u, v, r, U, v, r,8)m(v + ur + xj) = Y (u, v, r, U, v, r, 8)(6-7-1)I r + mx (v + ur) = N(u, v, r, u, v, r, 8)zz C1) 船体惯性力式(6-7-1 )左端的船体惯性力各项不做任何简化，其中与平移加速度v及回转角加速度r成正比的项保留于方程左端，其他各耦合相乘项和平方项全部移到方程右端，与流体动力的有关项合并。2）流体惯性力 流体对船舶运动的惯性作用力只与u,v,r的一次幕有关，且由于船体形 状的左右对称性，x展开式中不应存在横向加速度v及转首角加速度r的项；类似地，在Y, N展开式中也不应出现纵向加速度u的项。故有X : X u; Y : Yv + Yr; N : N V + N r。Uvrvr这些项将被移至式（6-7-1）左端，与船体惯性力合并。3）流体黏性力 这里既包含船体本身与周围介质的相对运动造成的升力和阻力，也包括 各种控制面上产生的驱动力，如舵叶和桨叶上的推力和阻力。阻力直接与黏性有关；升力虽 然数值上可用势流理论计算，但是物理上它的起因却是由于黏性造成初始的边界层分离从而 产生环流，因而把这一部分流体动力含蓄地统称为黏性力还是适宜的。