专题三 第3讲 平面向量

专题三 三角函数与平面向量第 3讲 平面向量主 干 知 识 梳 理热 点 分 类 突 破真 题 与 押 题1.平面向量基本定理和向量共线定理是向量运算平面向量基本定理和向量共线定理是向量运算和应用的基础，高考中常以小题形式进行考查和应用的基础，高考中常以小题形式进行考查.2.平面向量的线性运算和数量积是高考的热点，平面向量的线性运算和数量积是高考的热点，有时和三角函数相结合，凸显向量的工具性，有时和三角函数相结合，凸显向量的工具性，考查处理问题的能力考查处理问题的能力考情解读主干知识梳理1.平面向量中的五个基本概念平面向量中的五个基本概念(1)零向量模的大小为零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为共线，记为0.(2)长度等于长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，个单位长度的向量叫单位向量，a的单位向量为的单位向量为 .(3)方向相同或相反的向量叫共线向量方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量平行向量).(4)如果直线如果直线l的斜率为的斜率为k，则，则a(1，k)是直线是直线l的一个方向向量的一个方向向量.(5)向量的投影：向量的投影：|b|cosa,b叫做向量叫做向量b在向量在向量a方向上的投影方向上的投影.2.平面向量的两个重要定理平面向量的两个重要定理(1)向量共线定理：向量向量共线定理：向量a(a0)与与b共线当且仅当存在共线当且仅当存在唯一一个实数唯一一个实数，使，使ba.(2)平面向量基本定理：如果平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有，有且只有一对实数且只有一对实数1，2，使，使a1e12e2，其中，其中e1，e2是一组基底是一组基底.3.平面向量的两个充要条件平面向量的两个充要条件若两个非零向量若两个非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则，则(1)ababx1y2x2y10.(2)abab0 x1x2y1y20.4.平面向量的三个性质平面向量的三个性质 热点一 平面向量的概念及线性运算 热点二 平面向量的数量积 热点三 平面向量与三角函数的综合热点分类突破例1(1)(2014福建福建)在下列向量组中，可以把向量在下列向量组中，可以把向量a(3,2)表示出来的是表示出来的是()A.e1(0,0)，e2(1,2)B.e1(1,2)，e2(5，2)C.e1(3,5)，e2(6,10)D.e1(2，3)，e2(2,3)热点一 平面向量的概念及线性运算思维启迪 根据平面向量根据平面向量基本定理解题基本定理解题.解析由题意知，由题意知，A选项中选项中e10，C、D选项中两选项中两向量均共线，都不符合基底条件，故选向量均共线，都不符合基底条件，故选B(事实上，事实上，a(3,2)2e1e2).答案B(2)如图所示，如图所示，A，B，C是圆是圆O上的三点，上的三点，线段线段CO的延长线与线段的延长线与线段BA的延长线交于的延长线交于圆圆O外的点外的点D，若，若 m n ，则则mn的取值范围是的取值范围是()A.(0,1)B.(1，)C.(，1)D.(1,0)思维启迪 构造三点共线图形，得到平面构造三点共线图形，得到平面向量的三点共线结论，将此结论向量的三点共线结论，将此结论与与 对应对应.答案D对于平面向量的线性运算问题，要注意其与数的对于平面向量的线性运算问题，要注意其与数的运算法则的共性与不同，两者不能混淆运算法则的共性与不同，两者不能混淆.如向量如向量的加法与减法要注意向量的起点和终点的确定，的加法与减法要注意向量的起点和终点的确定，灵活利用三角形法则、平行四边形法则灵活利用三角形法则、平行四边形法则.同时，同时，要抓住两条主线：一是基于要抓住两条主线：一是基于“形形”，通过作出向，通过作出向量，结合图形分析；二是基于量，结合图形分析；二是基于“数数”，借助坐标，借助坐标运算来实现运算来实现.思维升华变式训练1(1)(2014陕西陕西)设设0 ，向量，向量a(sin 2，cos)，b(cos，1)，若，若ab，则，则tan _.解析因为因为ab，所以所以sin 2cos2，2sin cos cos2.因为因为00，得得2sin cos，tan .解析如图，设如图，设FB的中点为的中点为M，连接，连接MD.因为因为D为为BC的中点，的中点，M为为FB的中点，的中点，所以所以MDCF.因为因为AF AB，所以所以F为为AM的中点，的中点，E为为AD的中点的中点.热点二 平面向量的数量积思维启迪 图图O的半径为的半径为1，可对题中，可对题中向量进行转化向量进行转化答案B思维启迪 答案D(1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义；义，坐标运算，数量积的几何意义；(2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算分解成题中模和夹角已知的向量进行计算.思维升华变式训练2 答案22解析在在ABC中，延长中，延长AG交交BC于于D，点点G是是ABC的重心，的重心，热点三 平面向量与三角函数的综合思维启迪 应用向量的数量积公式可得应用向量的数量积公式可得f(x)的三角函数式，然后利的三角函数式，然后利用换元法将三角函数式转化为二次函数式，由此可解得函用换元法将三角函数式转化为二次函数式，由此可解得函数的最小值及对应的数的最小值及对应的x值值.例3已知向量已知向量a(cos，sin)，b(cos x，sin x)，c(sin x2sin，cos x2cos)，其中，其中0 x.(1)若若，求函数，求函数f(x)bc的最小值及相应的最小值及相应x的值；的值；解b(cos x，sin x)，c(sin x2sin，cos x2cos)，f(x)bccos xsin x2cos xsin sin xcos x2sin xcos 2sin xcos x (sin xcos x).(2)若若a与与b的夹角为的夹角为 ，且，且ac，求，求tan 2的值的值.思维启迪 由夹角公式及由夹角公式及ac可得关于角可得关于角的三角函数式，通过的三角函数式，通过三角恒等变换可得结果三角恒等变换可得结果.ac，cos(sin x2sin)sin(cos x2cos)0，在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题或者三角函数的知识解决问题.思维升华变式训练3(1)当当ab时，求时，求cos2xsin 2x的值；的值；(2)设函数设函数f(x)2(ab)b，已知在，已知在ABC中，内角中，内角A，B，C的对边分别为的对边分别为a，b，c，若，若a ，b2，sin B ，求，求f(x)4cos(2A )(x0，)的取值范围的取值范围.本讲规律总结1.当向量以几何图形的形式出现时，要把这个几何当向量以几何图形的形式出现时，要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表示，就要根图形中的一个向量用其余的向量线性表示，就要根据向量加减法的法则进行，特别是减法法则很容易据向量加减法的法则进行，特别是减法法则很容易出错，向量出错，向量 (其中其中O为任意一个点为任意一个点)，这个法则就是终点向量减去起点向量这个法则就是终点向量减去起点向量.2.根据平行四边形法则，对于非零向量根据平行四边形法则，对于非零向量a，b，当，当|ab|ab|时，平行四边形的两条对角线长度相等，时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件此时平行四边形是矩形，条件|ab|ab|等价于向等价于向量量a，b互相垂直互相垂直.3.两个向量夹角的范围是两个向量夹角的范围是0，在使用平面向量解，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或或的情况，的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线小于零，还要求不能反向共线.4.平面向量的综合运用主要体现在三角函数和平面平面向量的综合运用主要体现在三角函数和平面解析几何中，在三角函数问题中平面向量的知识主解析几何中，在三角函数问题中平面向量的知识主要是给出三角函数之间的一些关系，解题的关键还要是给出三角函数之间的一些关系，解题的关键还是三角函数问题；解析几何中向量知识只是给出一是三角函数问题；解析几何中向量知识只是给出一些几何量的位置和数量关系，在解题中要善于根据些几何量的位置和数量关系，在解题中要善于根据向量知识分析解析几何中的几何关系向量知识分析解析几何中的几何关系.真题感悟 押题精练真题与押题12真题感悟即动点即动点D的轨迹为以点的轨迹为以点C为圆心的单位圆为圆心的单位圆.12真题感悟12真题感悟真题感悟21真题感悟21真题感悟21答案C押题精练123押题精练123押题精练123又因为又因为P为为AB边上的点，所以边上的点，所以01，答案B押题精练123押题精练123又因为又因为AOB60，OAOB，押题精练123押题精练1233.已知向量已知向量m(sin x，cos x)，n()，xR，函数函数f(x)mn.(1)求求f(x)的最大值；的最大值；押题精练123(2)在在ABC中，设角中，设角A，B的对边分别为的对边分别为a，b，若，若B2A，且，且b2af(A )，求角，求角C的大小的大小.押题精练123而而A是三角形的内角，是三角形的内角，