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第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应第一编：力学(Mechanics)牛顿牛顿 自然哲学的数学原理自然哲学的数学原理 “我奉献这一作品，作为哲学的数学原理，因我奉献这一作品，作为哲学的数学原理，因为哲学的全部责任似乎在于从运动去研究力，然为哲学的全部责任似乎在于从运动去研究力，然后从这些力去说明其它现象。后从这些力去说明其它现象。”牛顿贡献：力学、热力学、电动力学、色动牛顿贡献：力学、热力学、电动力学、色动力学、光学、光的微粒说、微积分等等力学、光学、光的微粒说、微积分等等力学力学-研究物体机械运动的科学研究物体机械运动的科学。机械运动机械运动-物体相对位置或自身各部份的物体相对位置或自身各部份的相对位置发生变化的运动。相对位置发生变化的运动。第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应机械运动的基本运动形式：机械运动的基本运动形式：1平动平动-物体上任一直线恒保持平行的运动物体上任一直线恒保持平行的运动；2定轴转动定轴转动-各点绕一固定轴作圆周运动的运动各点绕一固定轴作圆周运动的运动2 刚体刚体-具有质量和一定的大小和形状，但不会具有质量和一定的大小和形状，但不会发生形变的发生形变的理想物体理想物体，称为刚体。，称为刚体。1 质点质点-只有质量而无大小形状的只有质量而无大小形状的理想物体理想物体。两个模型：两个模型：m质点运动学质点运动学(kinematics)m质点动力学质点动力学(dynamics)m刚体力学刚体力学只描述物体的运动，不涉及引起运动和改变运动只描述物体的运动，不涉及引起运动和改变运动的原因。的原因。研究运动与相互作用之间的关系。研究运动与相互作用之间的关系。研究刚体运动中的一些问题。研究刚体运动中的一些问题。牛顿力学只涉及弱引力场中物体的低速运动牛顿力学只涉及弱引力场中物体的低速运动 是整个物理学的基础是整个物理学的基础 广泛应用于工程技术广泛应用于工程技术1.6 力学中的单位制和量纲（自学）力学中的单位制和量纲（自学）1.1 参照系参照系 质点质点 运动方程运动方程1.2 位移位移 速度速度 加速度加速度1.3 平面曲线运动平面曲线运动1.4 相对运动相对运动1.5 牛顿运动定律牛顿运动定律(自学自学)1.7 非惯性系非惯性系 惯性力惯性力 科里奥利力科里奥利力第一章第一章 质点力学基础质点力学基础第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应2 2 质点质点:是一个不计其形状和大小的物体，理想化是一个不计其形状和大小的物体，理想化的物理模型。（只有质量）的物理模型。（只有质量）坐标系坐标系：定量描述。（直角、自然：定量描述。（直角、自然、球球、柱、柱）1-1 1-1 参照系、质点和运动方程参照系、质点和运动方程1 1 参照系：参照系：比较基准比较基准对运动定性描述对运动定性描述运动具有相对性运动具有相对性注意注意：能否将研究对象看成质点是相对于所能否将研究对象看成质点是相对于所研究的问题而言的研究的问题而言的思考题思考题:地球可否看作质点？为什么地球可否看作质点？为什么?第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应3 3 位置矢量位置矢量r*Pxyzxzyokzj yi xr222rrxyz位矢位矢 的值为的值为r 确定质点确定质点P某一时刻在某一时刻在坐标系里的位置的物理量称坐标系里的位置的物理量称位置矢量位置矢量,简称位矢简称位矢 .r式中式中 、分别分别为为x、y、z 方向的单位矢量方向的单位矢量.ijkijk第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应rxcosrzcosrycos位矢位矢 的方向余弦的方向余弦rPPrxzyoxzyo4 4 运动方程运动方程 质点运动时位质点运动时位置与时间关系的方程置与时间关系的方程ktzjtyitxtr)()()()()(txx)(tyy)(tzz 分量式分量式从中消去参数从中消去参数 得得轨迹方程轨迹方程 0),(zyxft)(tr)(tx)(ty)(tz第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应2.运动方程实为位置与运动方程实为位置与t的参数方程，的参数方程，消去消去t可可得轨迹方程。得轨迹方程。注意：注意：1.研究质点运动，首先要找到运动方程研究质点运动，首先要找到运动方程。例例：一质点以：一质点以v0在离地面在离地面H处作平抛运动，求轨处作平抛运动，求轨迹迹方程。方程。OYXH解：解：tvx0 221gtHy 02221vxgHy 消去消去t t可得轨迹方程可得轨迹方程：V0V0第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应一一 位移位移xyoBBrArArArBBrArxyoBxAxABxx ByAyAByy rrrABABrrr 经过时间间隔经过时间间隔 后后,质点位置矢量发生变质点位置矢量发生变化化,由始点由始点 A 指向终点指向终点 B 的有向线段的有向线段 AB 称为点称为点 A 到到 B 的位移矢量的位移矢量 .位移矢量也简称位移位移矢量也简称位移.tr1-1-2 2 质点的位移、速度、加速度质点的位移、速度、加速度第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应 222zyxr位移的大小为位移的大小为ArBBrArxyoBxAxABxx ByAyAByy jyixrAAAjyixrBBBjyyixxrABAB)()(ABrrr所以位移所以位移 若若质点在质点在三维三维空间中运动，空间中运动，则在直角坐标系则在直角坐标系 中其位中其位移为移为OxyzkzzjyyixxrABABAB)()()(又又第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应222zyxrrr212121zyx222222zyxr位移的物理意义位移的物理意义 A)确切反映物体在空确切反映物体在空间位置的变化间位置的变化,与路径无关，与路径无关，只决定于质点的始末位置只决定于质点的始末位置.B）反映反映了运动的矢量了运动的矢量性和叠加性性和叠加性.s),(1111zyxP),(2222zyxP)(1tr1P)(2tr2Pr注意注意位矢位矢长度的变化长度的变化xyOzrkzj yi xr第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应位移与路程位移与路程 （B）一般情况一般情况,位移位移大小不等于路程大小不等于路程.rs （D）位移是矢量位移是矢量,路程是标量路程是标量.s)(1tr1p)(2tr2prxyOzs（C）什么情况什么情况？sr不不改变方向的直线运动改变方向的直线运动;当当 时时 .0tsr讨论讨论 （A）P1P2 两点间的路程两点间的路程 是是不唯一的不唯一的,可以是可以是 或或 而位移而位移 是唯一的是唯一的.rsss第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应二二 速度速度 1 1 平均速度平均速度)()(trttrr 在在 时间内时间内,质点从点质点从点A 运动到点运动到点 B,其位移为其位移为tt时间内时间内,质点的平均速度质点的平均速度平均速度平均速度 与与 同方向同方向.rvjtyitxtrv平均速度大小平均速度大小22)()(tytxvjiyxvvv或或r)(ttrB)(trAxyos（反映质点位置变化快慢的物理量）（反映质点位置变化快慢的物理量）第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应xyz注意：注意：a）说到平均速度一定要明确是哪一段时间或说到平均速度一定要明确是哪一段时间或哪一段位移中的平均速度。哪一段位移中的平均速度。a（t）b（t+t）b）有时常用到平均速率的概念。有时常用到平均速率的概念。Svt Rm0v20Rvt S 第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应2 瞬时速度瞬时速度 当质点做曲线运动时当质点做曲线运动时,质点在某一点的速度方向质点在某一点的速度方向就是沿该点曲线的切线方向就是沿该点曲线的切线方向.当当 时平均速度的极限值叫做瞬时速度时平均速度的极限值叫做瞬时速度,简称速度简称速度0tjtyitxtt00limlimvtrtrtddlim0vsrdd当当 时时,0ttddets v第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应xyov222ddd()()()dddxyztttvv瞬时速率：速度瞬时速率：速度 的大小称为速率的大小称为速率vyvxvjiyxvvvjtyitxddddv 若质点在若质点在三维三维空间中运动空间中运动,其速度为其速度为ktzjtyitxddddddvddstvtddets v第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应平均速率平均速率tsvr)(ttrB)(trAxyosddstv瞬时速率瞬时速率讨论讨论 一运动质点在某瞬时位于矢径一运动质点在某瞬时位于矢径 的端点的端点处，其速度大小为处，其速度大小为),(yxrtrddtrdd（A）（B）（B）（B）trdd22)dd()dd(tytx（C）（D）第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应 例例 1 设质点的运动方程为设质点的运动方程为 其中其中（1）求）求 时的速度时的速度.（2）作出质点的运动轨迹图作出质点的运动轨迹图.()()(),r tx t iy t j1()(1m s)2m,x tt2214()(m s)2m.y tt3st 解解 （1）由题意可得速度分量分别为）由题意可得速度分量分别为12dd11m s,(m s)dd2xyxytttvv 11(1m s)(1.5m s)ijv3 st 时速度为时速度为速度速度 与与 轴之间的夹角轴之间的夹角vx3.5615.1arctan第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应（2）运动方程运动方程1()(1m s)2mx tt2214()(m s)2my tt由运动方程消去参数由运动方程消去参数 可得轨迹方程为可得轨迹方程为t/mx/my0轨迹图轨迹图246-6-4-22460ts2ts2ts4ts4tm3)m41(21-xxy第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应 例例2 如图所示如图所示,A、B 两物体由一长为两物体由一长为 的刚性的刚性细杆相连细杆相连,A、B 两物体可在光滑轨道上滑行两物体可在光滑轨道上滑行.如物体如物体A以恒定的速率以恒定的速率 向左滑行向左滑行,当当 时时,物体物体B的的速率为多少？速率为多少？lv60解解 建立坐标系如图建立坐标系如图,OAB为为一直角三角形，刚性细杆的长度一直角三角形，刚性细杆的长度 l 为一常量为一常量xyoABlv物体物体A 的速度的速度iitxixAvvvdd物体物体B 的速度的速度jtyiyBdd vv第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应y222x=lxyoABlv两边求导得两边求导得0dd2dd2tyytxx即即txyxtyddddjtxyxBddvyxtxtan,ddvjBtanvvBv沿沿 轴正向轴正向,当当 时时y1.73Bvv60第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应1 平均加速度平均加速度BvBAvBvv与与 同方向同方向.va（反映速度变化快慢的物理量）（反映速度变化快慢的物理量）xyOatv 单位时间内的速度增单位时间内的速度增量即平均加速度量即平均加速度2（瞬时）加速度（瞬时）加速度0dlimdtatt vv三三 加速度加速度AvA第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应xyzaa ia ja k222222ddddddddddddxxyyxattyattattzzvvvz加速度大小加速度大小222xyzaaaa22ddddrattv加速度加速度jtityxddddvv加速度大小加速度大小220limyxtaatav质点作三维运动时加速度为质点作三维运动时加速度为第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应 吗？吗？vv()()ttt vvvaccbv()tv()ttvvOabc讨论讨论)()(tttvvvoaoc 在在Ob上截取上截取有有cbv tnvv速度方向变化速度方向变化acnv速度大小变化速度大小变化cbtv第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应Oddaatv问问 吗？吗？dv()tv(d)ttv讨论讨论()(d)tttvv因为因为d0dtv所以所以0aa而而例例 匀速率圆周运动匀速率圆周运动所以所以taddv第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应)(ta)(tr求导求导求导求导积分积分积分积分()tv质点运动学两类基本问题质点运动学两类基本问题 一一 由质点的运动方程可以求得质点在任一由质点的运动方程可以求得质点在任一时刻的位矢、速度和加速度；时刻的位矢、速度和加速度；二二 已知质点的加速度以及初始速度和初始已知质点的加速度以及初始速度和初始位置位置,可求质点速度及其运动方程可求质点速度及其运动方程.第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应1d(1.0s)dat vv解：由加速度定义解：由加速度定义 例例3 有有 一个球体在某液体中竖直下落一个球体在某液体中竖直下落,其初速度其初速度为为 ,它的加速度为它的加速度为 问问 （1）经过多少时间后可以认为小球已停止运动）经过多少时间后可以认为小球已停止运动,10(10m s)jv1(1.0s)aj v0vyo,d)1s0.1(dt00tvvvvtty)s0.1(01eddvvtyttyded0)(-1.0s00-1 v（2）此球体在停止运动前经历的路程有多长？）此球体在停止运动前经历的路程有多长？t)s0.1(01e vvme1 10)s0.1(1ty第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应0/my/st10-1/m s v0v0/st9.2s,0,10mtyv 2.3 4.6 6.9 9.2 8.9974 9.8995 9.9899 9.9990 v0/10v/st/my0/100v0/1000v0/10000vt)s0.1(01e vvme1 10)0.1(1tsy第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应 一一 掌握掌握位置矢量、位移、加速度等描述质点位置矢量、位移、加速度等描述质点运动及运动变化的物理量运动及运动变化的物理量.理解理解这些物理量的矢量这些物理量的矢量性、瞬时性和相对性性、瞬时性和相对性.二二 理解理解运动方程的物理意义及作用运动方程的物理意义及作用.掌握掌握运运用运动方程确定质点的位置、位移、速度和加速用运动方程确定质点的位置、位移、速度和加速度的方法，以及已知质点运动的加速度和初始条度的方法，以及已知质点运动的加速度和初始条件求速度、运动方程的方法件求速度、运动方程的方法.作业作业:练习一练习一第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应 例例1 一质点沿一质点沿X X轴运动，加速度为轴运动，加速度为a aktkt1 1，已知初始条件：已知初始条件：t=tt=t0 0时，时，v=vv=v0 0,x=x,x=x0 0,求求v(tv(t)x(tx(t).).解解:dtktdvktdtdva11 两边同时积分两边同时积分001ln00ttkvvdtktdvttvv 即即00lnttkvv dtttkvdxttkvdtdxv)ln(ln0000 ttxxdtttkvdx00)ln(00(1)(1)(2)(2)两边同时积分两边同时积分可得可得00000)()ln(lntkvttkkvtktxx 第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应 例例2 2 一质点沿一质点沿X X轴正向运动，轴正向运动，t=0t=0时，时，x=xx=x0 0,已知已知v=-v=-kxkx，求求x(t)x(t)，a(t)a(t)。解解 (1)(1),dxvkxvdt 所以所以kdtxdxkxdtdxv 两边同时积分两边同时积分:000lnxtxdxxk dtktxx 得得ktexx 0(2)(2)由由0ktvkxkx e 得得ktktexkekkxdtdva 020)(第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应 例例3 3 一质点沿一质点沿X X轴正向运动，轴正向运动，t=0t=0时，时，x=xx=x0 0,v=v,v=v0 0。且运。且运动过程中满足动过程中满足a=-a=-kvkv，求求v(t)v(t)，x(t)x(t)，a(t)a(t)。解解 (1)(1)dvakvdt 有有00vtvdvdvkdtk dtvv 解得解得0lnvktv 0ktvv e(2)(2)0ktdxvv edt tktxxdtevdx000解得解得00(1)ktvxxek0ktakvkv e 第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应 例例4 4 一质点沿一质点沿X X轴正向运动，轴正向运动，t=0t=0时，时，x=xx=x0 0,v=v,v=v0 0，且运且运动过程中满足动过程中满足a=-a=-kxkx，求速度与位移之间的关系。求速度与位移之间的关系。解解.dvdv dxdvakxvdtdx dtdx 即即kxdxvdv 00vxvxvdvkxdx解得解得)(21)(21202202xxkvv 即即222200()vvk xx
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