线性代数难题讲解之一

线性代数疑难习题讲解 容杰华 叶宇鑫 梁志光 (20056)1题目 证明向量a ,a ,a线性无关的充要条件是a +a ,a +a ,a +a线性无1 2 3 1 2 2 3 1 3关。知识点 线性无关，向量的初等变换。解题步骤：方法一。必要性：设k (a +a ) + k(a+a) + k(a +a)二 01 1 2 2 2 3 3 1 3即(k + k )a + (k+ k)a+ (k+ k )a二 01 3 1 1 2 2 2 3 3a ,a ,a线性无关123有方程组k + k = 013 k + k = 012k + k = 023其系数矩阵的行列式：101110二2丰0011k1+ k 二 03: k + k = 012k + k = 023只有零解k 二 01即 (a +a ,a _ac _c12212321 c-23_(a +a ,a _a ,a )(a ,a ,a )12 31 1c + c2 3 123 rank(a +a ,a +a ,a +a ) _ rank(a ,a ,a )122313231故a ,a ,a线性无关的充要条件是a + a ,a + a ,a + a线性无关123122313方法总结：方法一是从定义出发进行证明，必要性比较容易想到，但充分性比较难，要 确定与其等价式子的系数，可通过求解方程组的方法来确定。方法二是利用了向量的初等变换求秩方法来解决问题。 相关例题：例 4.9（P67）2题目设A为n阶实矩阵，证明：若AAT = 0 ,则A二0。知识点：矩阵相乘、转置矩阵、零矩阵概念解题步骤：证明：设11121n*a2 + a2 +a2 + a2 hf a2*21 22AAt =*f a2*.*2na2f a2ff a2*31323na2 + a2 + n1 n 2I *=0其中*为省略表示的代数和f a2nn: a 2 + a 2 + f a 211 121n= a 2 f a 2 f f a 221 222n= a 2 f a 2 f f a 2 = 0n1n 2 nna11a12 aInalia21 anlA=a21a22 a2n，则 AT =a12a22 an21 an1an2 a 丿nni a1na2n a /nnT a为实数ij: a = a11 12= a = a = a1n21 22=a2n= a = an1n 2ann即a =0ij=0: A = C )j mxn常见错误及原因：混淆了零矩阵与行列式为零的概念，由 AAT = 0, det(AAT ) = det( A) det( AT ) = 0, det(A) = 0 得出 A = 0 。3设 A 为 n 阶矩阵，若 A2 = E ，试证的特征值是 -1 或 1. 知识点：特征值与特征向量解题步骤：方法一。设A的特征值为九，对应的特征向量为X，则有：AX 二九 X两边左乘矩阵A得：AAX 二 A X 或 A 2 X =X AX把A2二E和AX二九X代入上式得：EX = X 二九 2 X因为X为非零向量，所以九2 = 1九=1方法二。/ A 2 二 E A 2 - E 2 = 0 或 AA + EA - AE - E 2 = 0(A + E)(A - E)二 0det( A + E) det(A - E) = 0 det(A + E) = 0 或 det(A 一 E) = 0 A 的特征值为 -1或1方法三。设A的特征值为九，并设有多项式f (x) = x2 -1贝V方阵f (A) = A2 - E的特征值为f (九)二沁-1由 det(A) =Xii=1得 det( f ( A) =X2 -1 = 0即 X 2 = 1 X = 1相关例题：例 5.4(P89)4题目设A, X, B分别是mXn,nX1,mX1矩阵，BHO;是方程AX=B的一个解;对应的齐次方程AX=0的一个基础解系为g ,，, r二rank（A）.证12n-r明n , g , g , g ,g 线性无关。123n-r知识点：线性无关 基础解系解题步骤：方法一。（从定义出发）设存在 k, k, k , k , k ，使123n-rkn +k g +k g + +k g = 01 12 2n-r n-r在等式两边左乘A,有kA n +k Ag + k Ag + +k Ag =01122n-r n-rg，g ，g，g是齐次方程AX=0的一个基础解系，n是方程AX=B123n-r的一个解。k Ag + k Ag +k Ag =0， An =B1 12 2n-rn-r. kB=0/ BHO. k = 0. k g +k g + +k g =O 成立1 12 2n-r n-r/ g，g ，g，g 是齐次方程AX=O的一个基础解系。123n-r. g ， g ， g ， g 线性无关123n-r. k=k =k = =k =O1 2 3n-r. k= k= k = k = =k =O1 23n-r. n , g ， g ， g ， g 线性无关.123n-r方法二。（反证法）假设 n 可由 g ， g ， g ， g 线性表示，123n-r即 n = k gi=1/ g , g , g ,g 是齐次方程AX=O的一个基础解系。123n-r g , g , g ,g 线性无关123n-r/ n 是方程ax=b的一个解 A匸k g = 0 =B这与BHO矛盾iii=1 假设不成立， g 线性表示n-r2，g n 不能由 g ， g1 Rank( n ， g ，1， g )=n-r+1n-rng1g2，g，gn-r线性无关.方法三。证明：v g ,1g2gn-r是齐次方程 AX=0 的一个基础解系。g1， g 2g3，gn-r线性无关。Rank ( g ，1g ) = nrn-rv n是方程ax=b的一个解，BHOn 不能由 g ， g1g3， g 线性表示n-r Rank ( n ， g ，1g2g3，gn-r) = nr1n , g 1 ， g 2g 3 g线性无关.n-r方法总结 虽然向量组线性相关或无关的证明比较困难，但还是有多种方法可以解决。可从定义出发进行证明（方法一），可用反证法进行证明（方法二），还可以利用 性质或定理进行证明（方法三）。5 题目(1111 求矩阵 A=-1-1的特征值与特征向量。1 -1 -1 1则：det(A -九 E) = 0 特征值K = -2九二-2=九3二九4113-1-13-1-1故k1x1(k1时， 得二 2(31111 1，)(x )1(0 x02=x03丿x J0丿1 -1 -13丰0,为常数）是A的属于九=-2的全体特知识点 特征值 特征向量 解题步骤法：解：A的特征多项式为det （A-九E）=1-九1111-1-11-九11-九-1-1恒等变变、02-九02-九1-11-九-1002-九九-21-1-11-九0004-九2=-(2-九)3(2 + 九)征向量，九=2时,=(1(-11111( x 1x2(0 1-1-1-101-1-1-1x301-1-1-1丿 x 4 丿0丿得0,01x30k2%? + kgX3 + k4x4（k2,k2,k4主0,为常数）是A的属于二九3二九4二2的全体特征向量。常见错误(11111(11101解： A=11-1-1恒等变换0-20-21-11-100-2-2-1-11丿000-4丿则A的特征多项式为det（A-九E）1-九110_ 01-九0-2-001-九20001-九=_（4十九）（1九）（2十九）2得 特征值 打=4,九2 1,九3 =九4 = -2（因为特征值已经错误，后面的步骤省略）分析 在计算这类题时，大部份同学都会将矩阵化为对角矩阵或上、下三角矩阵， 但有些同学习惯于纯粹的数字矩阵的初等变换，而不习惯于有未知数的初等变 换，于是为了计算方便，便直接将矩阵A变换成对角矩阵或上、下三角矩阵，造 成错误。其实我们可以知道，当矩阵 A 初等变换成对角矩阵或上、下三角矩阵时， 矩阵A就不是原来的矩阵A,而是与矩阵A的秩相同的另一个矩阵了。相关例题(1)求矩阵A= 16 3、01的特征值与特征向量。(1求矩阵A= 4 711 1D =x1X2Xn=U ( x - x )ni j它有如X n-1X n212下结构特点:Xn-1n1 j i 1)线性无关，且p =a +a +. + a ，判断向量组12 m12mp -a ,p -a ,.,p -a 的线性相关性.12m知识点解题过程解法一 (从定义出发)设 k (p -a ) + k (p -a ) + .k (p -a )二 01122mm(k + k +. + k )a + (k + k +. + k )a +. + (k + k +. + k)a= 023m 113m 212m-1ma ,a，,a线性无关12mk + k +. + k = 023mk + k +. + k = 013mk + k +. + k = 012m -1解上面方程组，得 k = k = . = k = 012m所以p -a , p -a ,., p -a线性无关.12m解法二 (利用矩阵的秩)( p - a , p - a ,., p - a )12m=(a+a +. + a ,a +a +. + a，,a +a +. + a )23m 13m 12m -101.1、10.1=(a ,a ,.,a )1 2 m : : :、1 1 . 0 丿01.1、因为10.1满秩、11.0 丿rank (p -a , p -a ,., p -a ) = rank (a , a ,., a ) = m12m12m即 p -a ,p -a ,.,p -a 线性无关。12m常见错误(1) 线性相关性概念模糊，以致无从下手.(2) 不会利用系数行列式求解齐次线性方程组，以致无法利用矩阵的秩求解.