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第八章：自旋1在表象中，求的本征态 （解） 设泡利算符，的共同本征函数组是： 和 （1） 或者简单地记作和，因为这两个波函数并不是的本征函数，但它们构成一个完整系，所以任何自旋态都能用这两个本征函数的线性式表示（叠加原理），的本征函数可表示： (2)待定常数，又设的本征值，则的本征方程式是： (3)将（2）代入（3）： (4)根据本章问题6（P264），对表象基矢的运算法则是： 此外又假设的本征矢（2）是归一花的，将（5）代入（4）： 比较的系数（这二者线性不相关），再加的归一化条件，有： 前二式得，即，或当时，代入（6a）得,再代入(6c)，得： 是任意的相位因子。 当时，代入（6a）得代入(6c)，得： 最后得的本征函数： 对应本征值1 对应本征值-1以上是利用寻常的波函数表示法，但在共同表象中，采用作自变量时，既是坐标表象，同时又是角动量表象。可用矩阵表示算符和本征矢。 （7）的矩阵已证明是 因此的矩阵式本征方程式是： （8）其余步骤与坐标表象的方法相同，本征矢的矩阵形式是： 2在表象中，求的本征态，是方向的单位矢。 （解） 方法类似前题，设算符的本征矢是： (1)它的本征值是。又将题给的算符展开： (2)写出本征方程式： (3)根据问题（6）的结论，,对的共同本征矢，运算法则是 ， ， ， ， ， （4）将这些代入（3），集项后，对此两边，的系数： （5）或 （6）（6）具有非平凡解（平凡解 ，）条件是久期方程式为零，即 它的解 （7）时，代入（6）得： （8）（1） 的归一化条件是： 将（8）代入（9），得： 归一化本征函数是： （10）时，的关系是： 归一化本征函数是： （11）是任意的相位因子。本题用矩阵方程式求解：运用矩阵算符： ， ， （12） (13)本征方程式是： (14)的本征矢是： , (15)补白：本征矢包含一个不定的 相位因式，由于可以取任意值，因此的形式是多式多样的，但（15）这种表示法是有普遍意义的。 3在自旋态下，求和（解）是的均方偏差 是，的均方偏差 因此在态下，,对称，因而 4求在下列状态下和的可能测值。 （1） (1) （2） (2) （3） (3) （4） (4) （解） 依8.2总角动量理论，若电子的轨道运动的态用量子数表示，在考虑到自旋的情形下，若用共同表象，则电子的态可有四种；若，有以下二态： （5） （6）若，有以下的二态： （7） （8）将题给的态和一般公式对照，发现（1）（2）（3）式与（7）（5）（6）（8）式相当，总角动量平方算符，总角动量分量算符可能测值如下：状态 数值算符（1）（2）（3）（4）的量子数3/23/23/23/2的量子数3/21/2-1/2-3/2 5令 ， ，证明： （证明）本题的,是两个带有相加的常数分子的算符 根据总角动量理论内，前两算符可变形如下： 假设，试将（1）式运算于合成角动量的本征态（共同本征态），首先，对于有： （3）式中；。其次，可对于的本征态计算：又因为，所以 6 一个具有两个电子的原子，处于自旋单态（s=0）。证明自旋轨道耦合作用 。对能量无贡献。 解、整个原子的角动量看作每一个电子角动量矢量和，此外每一电子角动量又包括轨道运动和自旋。 (1) 整个体系的哈氏算符是： （此式中r是电子相对位矢）将自旋轨道相互作用算符用角动量算符表示，由于： (2)原子的状态可以用（）的共同本征函数表示，将算符（2），运算于这个本征函数，可以求的能量贡献（修正量） (3)但当原子处在自旋的单重态时， 总自旋量子数s=0，有从（1）式的关系看出 因此J=L，（3）式成为： 所以，轨道自旋的耦合作用对能量本征值没有影响，因不含 7设两个自旋为的粒子的相互作用为： 第一项为中心力，第二项为张量力的证明：（1） 宇称、总自旋、总角动量及总的z向分角动量均为守恒量，但和不是守恒量。（2） 在自旋单态下，张量力为零。 （解）题中张量力（本章中问题13.P283）如下： (1)但。（前一公式的来源不在本题中讨论）（1） （a）宇称：体系的哈密顿算符包括两粒子的能量和势能 (2)按53（P。176）一体系若具有空间反射不交性，
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