同步二进制加法计数器课件

第七章 数字电路基础第第7 7章章 数字电路基础数字电路基础概述7.1逻辑代数基础7.2编码器和译码器7.3双稳态触发器7.4时序逻辑电路7.5第七章 数字电路基础数字集成电路 教学目的要求l了解逻辑代数的基本运算法则和逻辑函数的化简掌握与门、或门、与非门、异或门的逻辑功能、符号和逻辑表达式。掌握简单组合逻辑电路的分析和设计。l了解编码器和译码器的工作原理，了解七段LED显示译码驱动器的功能。理解R-S触发器、掌握J-K触发器、D触发器的逻辑功能。理解二进制计数器和十进制计数器的工作原理。理解寄存器的工作原理。第七章 数字电路基础第一节第一节 概述概述数字电路的基本概念和特点 在社会环境中，有各种各样的信号，有的以电的形式出现，有的以声、光、磁、力等的形式出现。目前在信号处理方面以电信号的处理最为方便，技术上也最为成熟。研究电信号的产生与处理的技术就是电子技术。电子技术分为两大部分，模拟电子技术和数字电子技术。本章学习数字电子技术部分。电子技术研究的对象是载有信息的电信号，以下简称为信号。多种电信号，按其特点可以将这些信号分为两大类，即模拟信号与数字信号。第七章 数字电路基础 数字信号与模拟信号 模拟信号是指：物理量的变化在时间上和数值上都是连续的。把表示模拟量的信号称为模拟信号，并把工作在模拟信号下的电路称为模拟电路。声音、温度、速度等都是模拟量。图7-1就是模拟信号的例子。图7-1模拟信号第七章 数字电路基础 数字信号数字信号 物理量的变化在时间上和数值上都是不连续物理量的变化在时间上和数值上都是不连续（或称为离散）的。把表示数字量的信号称为数字信号，（或称为离散）的。把表示数字量的信号称为数字信号，并把工作在数字信号下的电路称为数字电路。十字路口并把工作在数字信号下的电路称为数字电路。十字路口的交通信号灯、数字式电子仪表、自动生产线上产品数的交通信号灯、数字式电子仪表、自动生产线上产品数量的统计等都是数字信号。量的统计等都是数字信号。图8-2 数字信号 数字信号的特点数字信号的特点是：突变和不连续。数字电路中的波形是：突变和不连续。数字电路中的波形都是这类不连续的波形，通常将这类波形又统称为脉冲。都是这类不连续的波形，通常将这类波形又统称为脉冲。第七章 数字电路基础 对于脉冲的波形而言，有脉冲的上升沿与脉冲的下降沿。脉冲波形由低电位跳变到高电位称为脉冲的上升沿；脉冲波形由高电位跳变到低电位称为脉冲的下降沿。对于脉冲的变化过程而言，有脉冲的正跳变与负跳变脉冲波形由低电位跳变到高电位的过程称为脉冲的正跳变；脉冲波形由高电位跳变到低电位的过程称为脉冲的负跳变。描述脉冲的几个名词脉冲的基本知识 第七章 数字电路基础u脉冲的前沿与脉冲的后沿：脉冲出现称为脉冲的前沿；脉冲消失称为脉冲的后沿。u对于脉冲的极性而言，有正脉冲与负脉冲。如果脉冲出现时的电位比脉冲出现前后的电位值高，这样的脉冲称为正脉冲。如果脉冲出现时的电位比脉冲出现前后的电位值低，这样的脉冲称为负脉冲。u电平：数字电路中电位的习惯叫法。高电位称为高电平，用UH表示；低电位称为低电平，用UL 表示。第七章 数字电路基础脉冲的波形 广义上，一切非正弦的带有突变特点的电压或电流统称为脉冲。脉冲有许多种，常见的几种脉冲波形如图8-3所示。图8-3 常见的几种脉冲波形 第七章 数字电路基础矩形脉冲的主要参数 在如图8-3（a）所示的波形中，脉冲的上升沿与下降沿都是陡直的，这样的脉冲称为理想的矩形脉冲。理想的矩形脉冲可以用三个参数来描述：（1）脉冲的幅度：脉冲的底部到脉冲的顶部之间的变化量称为脉冲的幅度，用Um表示。（2）脉冲的宽度：从脉冲出现到脉冲消失所用的时间称为脉冲的宽度，用t w表示。（3）脉冲的重复周期：在重复的周期信号中两个相邻脉冲对应点之间的时间间隔称为脉冲的重复周期，用T T表示。第七章 数字电路基础 实际的矩形脉冲往往与理想的矩形脉冲不同，即脉冲的前沿与脉冲的后沿都不是陡直的，如图8-5所示。图8-5实际矩形脉冲的主要参数 第七章 数字电路基础实际的矩形脉冲可以用如下的五个参数来描述 脉冲的幅度Um：脉冲的底部到脉冲的顶部之间的变化量。脉冲的宽度t w：从脉冲前沿的0.5Um到脉冲后沿的0.5Um两点之间的时间间隔称为脉冲的宽度，又可以称为脉冲的持续时间。脉冲的重复周期T：在重复的周期信号中两个相邻脉冲对应点之间的时间间隔称为脉冲的重复周期。脉冲的上升时间t r：指脉冲的上升沿从0.1Um上升到0.9Um所用的时间。脉冲的下降时间t f：指脉冲的下降沿从0.9Um下降到0.1Um所用的时间。第七章 数字电路基础数制及转换 计数制有许多种，如二进制、十进制、十六进制、六十进制等等。数字电路中经常使用的数是二进制数。常见的编码是8421BCD码。第七章 数字电路基础十进制数 十进制数是最经常、最广泛使用的一种计数制，它有如下的特点：有十个有效的数码：09。按照“逢十进一、借一当十”的规则计数。同一个数码在不同的位置时代表的数值不同，即位权不同。例如，十进制数666三个数码都是6，但是最右边的数码6是个位数，表示6；中间的数码6是十位数，表示60；最左边的数码6是百位数，表示600。十进制数的位权从低位到高位分别为个位（100）、十位（101）、百位（102）对于第n位十进制数，位权为10n1。第七章 数字电路基础二进制数 数字设备（例如计算机）中经常使用的是二进制数。二进制数有如下的特点：（1）有二个有效的数码：0、1。（2）按照“逢二进一、借一当二”的规则计数。（3）同一个数码在不同的位置时位权不同。例如，二进制数111三个数码都是1，但是最右边的数码1，表示1；中间的数码1，表示2；最左边的数码1，表示4。二进制数的位权从低位到高位分别为 1（20）、2（21）、4（22）对于第n位二进制数，位权为2 n1。第七章 数字电路基础二进制数与十进制数之间的转换 把十进制数转换成为二进制数 把十进制数转换成为二进制数分为整数部分和小数部分两部分进行。整数部分转换的方法是：除2取余。步骤为：把给定的十进制数用短除的方法除以2，取出余数（0或1），一直到商0为止。注意：读数的顺序，最先取出的余数为二进制数的最低位，最后取出的余数为二进制数的最高位。小数部分转换的方法是：乘2取整。把所给的小数乘以2，取出整数。第七章 数字电路基础【例7-1】把十进制数（13.25）10转换成为二进制数 解 整数部分 小数部分2 1 3 余数 0.25 整数 2 6 1 读 2 读 2 3 0 数 0.5 0 数 2 1 1 方 2 方 0 1 向 1.0 1 向 即 （13.25）10（1101.01）2 第七章 数字电路基础把二进制数转换成为十进制数 把二进制数转换成为十进制数的方法是：按权展开，然后把数值相加。【例7-2】把二进制数（101011）2转换成为十进制数解 首先把101011按权展开，然后相加即（101011）2 125024123022121120 32821（43）10第七章 数字电路基础常用的几种编码 不同的数码不仅可以表示数量的大小，而且可以表示不同的事务。表示不同的事务时，这些数码已经没有数量大小的含义，只是表示不同事务的代号而已，这些数码称为代码。为便于记忆和处理，编制代码时遵循的一定规则，称为码制。用4位二进制数码表示1位十进制数时，有多种码制。通常把这种用二进制数码表示十进制数的方法称为二十进制编码，简称BCD码。因为4位二进制数有16种状态，而十进制数只需要10种，从16种状态中选择10种，就有多种组合，这样就有多种编码，表8-1中列出了几种常见的BCD码。第七章 数字电路基础表7-1 几种常见的BCD码 十进制数842124215421余3码格雷码000000000000000110000100010001000101000001200100010001001010011300110011001101100010401000100010001110110501010101100010000111601100110100110010101701110111101010100100810001110101110111100910011111110011001000位 权842124215421无 权无 权编码种类第七章 数字电路基础 将十进制数转换成8421码的方法是：将每一位十进制数用四位二进制代码表示，按位转换。例如（65）10（0110 0101）8421BCD 把8421码转换成十进制数是：将8421码每四位分为一组，每一组对应一位十进制数。例如（10010010）8421BCD（92）10十进制数与8421码之间的互相转换第七章 数字电路基础 逻辑代数逻辑代数是一种描述客观事物逻辑关系的数学方是一种描述客观事物逻辑关系的数学方法，是英国数学家乔治法，是英国数学家乔治.布尔（布尔（George BooleGeorge Boole）于）于18471847年首先提出来的，所以又称年首先提出来的，所以又称布尔代数布尔代数。由于逻辑代数中的变量和常量都只有由于逻辑代数中的变量和常量都只有“0”0”和和“1”1”两个取值，又可以称为两个取值，又可以称为二值代数二值代数。逻辑代数是研究数字电路的数学工具，是分析和逻辑代数是研究数字电路的数学工具，是分析和设计逻辑电路的理论基础。设计逻辑电路的理论基础。逻辑代数研究的内容是逻辑函数与逻辑变量之间逻辑代数研究的内容是逻辑函数与逻辑变量之间的关系。的关系。第二节 逻辑代数基础第七章 数字电路基础逻辑代数中的几个问题 逻辑代数中的变量和常量 逻辑代数与普通代数相似，有变量也有常量。变量用大写英文字母A、B、C表示，称为逻辑变量。每个逻辑变量的取值只有“0”和“1”两种。逻辑代数中的常量，只有两个“0”和“1”。与普通代数不同的是这里的“0”和“1”不再表示数值的大小，而是代表两种不同的逻辑状态。例如可以用“1”和“0”表示开关的“闭合”与“断开”；信号的“有”和“无”；“高电平”与“低电平”；“是”与“非”等。究竟代表什么意义，要视具体情况而定。第七章 数字电路基础 脉冲信号的高、低电平可以用“1”和“0”来表示。规定：如果高电平用“1”表示，低电平用“0”表示，则称这种表示方法为正逻辑。如果高电平用“0”表示，低电平用“1”表示，则称这种表示方法为负逻辑。本书如果无特殊声明，均采用正逻辑 正逻辑和负逻辑的规定第七章 数字电路基础基本逻辑关系“与”逻辑 Y=AB或写成 YAB图7-6“与”逻辑 第七章 数字电路基础“或”逻辑 YAB 图7-7“或”逻辑 第七章 数字电路基础“非”逻辑 图7-8“非”逻辑 AY 第七章 数字电路基础 表7-2 三种基本逻辑关系真值表(a)“与”逻辑真值表(b)“或”逻辑真值表(c)“非”逻辑真值表 第七章 数字电路基础“与非”逻辑表达式可以写成：Y=“与非”逻辑的真值表（以二变量为例）如表7-3所示，A BY 0 01 0 11 1 01 1 10几种常用的逻辑运算表7-3图7-9“与非”逻辑的逻辑符号AB第七章 数字电路基础“或非”逻辑表达式可以写成：Y=三变量“或非”逻辑真值表 A B CY 0 0 01 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 10表7-4CBA图7-10“或非”逻辑符号第七章 数字电路基础“与或非”逻辑表达式Y=CDAB 图7-11“与或非”逻辑的逻辑符号 第七章 数字电路基础 四变量“与或非”逻辑真值表 A B C DY 0 0 0 01 0 0 0 11 0 0 1 01 0 0 1 1 0 0 1 0 01 0 1 0 11 0 1 1 01 0 1 1 10 1 0 0 01 1 0 0 11 1 0 1 01 1 0 1 10 1 1 0 00 1 1 0 10 1 1 1 00 1 1 1 10第七章 数字电路基础 “异或”逻辑的表达式可以写成：Y=A B 图7-12 “异或”逻辑的逻辑符号 BABA 在化简逻辑函数时，必须把“异或”逻辑表达式写成Y=才能进行化简。BABA Y=表7-6“异或”真值表“异或”逻辑第七章 数字电路基础“同或”表达式：Y=AB“同或”逻辑真值表图7-13“同或”逻辑符号ABBAY=同或是异或的反第七章 数字电路基础基本公式吸收律吸收律反演律反演律分配律分配律结合律结合律交换律交换律重叠律重叠律互补律互补律公公 式式 101律律对合律对合律名名 称称 公公 式式 2AA100 AAA011A0AA1 AAAAAAAAABBAABBACABBCA)()(CBACBA)()(ACABCBA)()()(CABABCABAABBABAABBAA)(BABAAAA ABAA)(AABA基本公式和常用定理第七章 数字电路基础用简单的公式证明略为复杂的公式A+AB=A证明：证明：A+AB=A(1+B)=A1=A应用举例：CDABFEDABCDAB)(被吸收公式证明第七章 数字电路基础BABAA证明：证明：BAABABAABAAABA)(应用举例：应用举例：DCBCADCBCAA 被吸收被吸收第七章 数字电路基础CAABBCCAAB证明：证明：BCAACAABBCCAAB)(CAABBCAABCCAAB1吸收吸收第七章 数字电路基础例例:反演定理反演定理BABABABA A B AB 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 BA ABBA 用真值表证明，即检验等式两边函数的真值表是否一致第七章 数字电路基础【例7-3】用真值表证明公式（18）=是否正确BABABAABABA BY1Y2=0 011110 101001 000101 10000 由真值表可见，每一组变量的取值下，Y1与Y2的真值表完全相同，所以等式成立。第七章 数字电路基础（2）A+BA+B证明：A+B（A+）（A+B）（分配律）1（A+B）（互补律）A+B 等式成立 AAA（3）AB+A A证明：AB+A A（B+）（分配律）A1 （互补律）A 等式成立 BBB第七章 数字电路基础（4）AB+CBCAB+C证明：AB+CBCAB+C(A+）BCAB+CABC+BC AB（1+C）+C（1+B）AB+C 等式成立AAAAAAAAA（5）证明：（A+）(+B)（反演律）A +AB+B（分配律）AB+（互补律）等式成立 ABBABABABABABABAA BAAA BBB第七章 数字电路基础逻辑代数中的基本规则 逻辑代数中有三个基本规则，充分应用这些规则，可以扩大公式的应用范围，还可以减少一些公式的证明。代入规则:任何一个含有变量A的等式，若将所有出现A的位置都用另一个逻辑等式代替，则该等式仍然成立，这个规则称为代入规则。因为变量A只有“0”和“1”两种取值，将A0和A=1代入等式，等式一定成立。而对于任何一个逻辑等式也和逻辑变量一样，也只有“0”和“1”两种取值，因此用它取代等式中的A时，等式自然会成立。因此代入规则不需证明，即可以认为是正确的。第七章 数字电路基础 对于任何一个逻辑表达式Y，如果将式中的所有“”换成“”，“”换成“”；“0”换成“1”，“1”换成“0”；“原变量”换成“反变量”，“反变量”换成“原变量”；就可以得到原逻辑式Y的“非”，即 ,这个规则称为反演规则。反演规则用于求一个已知逻辑表达式的“非”，即已知Y求 。注意：反演运算前后，函数式中运算的优先顺序（先“与”后“或”）应该保持不变。不是一个变量上的“非”号应该保持不变。YY反演规则第七章 数字电路基础【例7-4】已知逻辑表达式 Y=+CD 求 解 根据反演规则直接写出 （A+B）（+）注意：为了保证运算前后的优先顺序不变，可以在适当的地方加括号。A BYYCD【例7-5】已知Y=求CB0Y解 根据反演规则直接写出 =上面两个非号应保持不变。YCB1第七章 数字电路基础 对于任何一个逻辑表达式Y，如果把Y中的所有的“”换成“”，“”换成“”；“0”换成“1”，“1”换成“0”，就可以得到一个新的逻辑表达式Y。Y与Y互为对偶式。当某个逻辑恒等式成立时，则它的对偶式也成立，这个规则称为对偶规则。应用对偶规则可以减少公式的证明范围。在【例7-3】中我们证明了公式（18）是成立的，公式（8）就是公式（18）的对偶式，根据对偶规则公式（8）也成立。注意：对偶前后运算的优先顺序保持不变。原变量和反变量不互换，多个变量上的非号不变。【例7-6】已知YAB+BC 求其对偶式Y解 根据对偶规则直接写出Y（A+B）（B+C）对偶规则第七章 数字电路基础逻辑函数的概念 如果将逻辑变量作为输入，将运算结果作为输出，那么当输入变量的取值确定之后，输出的值便被惟一的确定下来。这种输出与输入之间的关系就称为逻辑函数关系，简称为逻辑函数。用公式表示为：Y=F(A，B，C，D)。这里的A、B、C、D为逻辑变量，Y为逻辑函数，F为某种对应的逻辑关系。逻辑函数化简第七章 数字电路基础 任何一件具有因果关系的事情都可以用一个逻辑函数来表示。例如：在举重比赛中有三个裁判员，规定只要两个或两个以上的裁判员认为成功，试举成功；否则试举失败。将三个裁判员作为三个输入变量，分别用A、B、C来表示，并且“1”表示该裁判员认为成功，“0”表示该裁判员认为不成功。Y作为输出的逻辑函数，Y=1表示试举成功，Y=0表示试举失败。则Y与A、B、C之间的逻辑关系式就可以表示为 Y=F(A、B、C)。第七章 数字电路基础逻辑函数的表示方法 任何一个逻辑函数都可以有真值表、逻辑函数式、逻辑图和卡诺图四种表示方法。真值表是一个表格，是表示逻辑函数的一种方法。对于一个确定的逻辑函数，它的真值表是惟一的。具体方法是：将输入变量所有的取值组合列在表的左边，分别求出对应的输出的值（即函数值），填在对应的位置上就可以得到该逻辑关系的真值表。第七章 数字电路基础设A、B、C为输入变量，F为输出变量。将输入、输出的所有可能状态一一对应地列出第七章 数字电路基础 将“举重裁判”的逻辑关系列出真值表。如表7-10所示。表7-10“举重裁判”逻辑关系真值表 A B CY 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 11 1 0 00 1 0 11 1 1 01 1 1 11第七章 数字电路基础 用真值表表示逻辑函数的优点是：可以直观、明了地反映出函数值与变量取值之间的对应关系；由实际问题抽象出真值表比较容易。用真值表表示逻辑函数缺点是：由于一个变量有二种取值，二个变量有224种取值组合，n个变量有2 n种取值组合。因此变量多时真值表太庞大，麻烦。一般情况下多于四变量时不用真值表表示逻辑函数；不能直接用于化简。第七章 数字电路基础 逻辑函数式是将逻辑变量用与、或、非等运算符号按一定规则组合起来表示逻辑函数的一种方法。简称为表达式。例如前面讲的三种基本逻辑关系的表达式。再例如“举重裁判”函数关系可以表示为：Y=BC+A C+AB +ABC ABC 上式：每一项中变量之间为逻辑乘，所以每一项称为一个乘积项。而表达式四项之间为“或”的逻辑关系，上式称为“与或”表达式。逻辑函数的表示方法第七章 数字电路基础 逻辑函数式表示法的优点是：简单、容易记忆；不受变量个数的限制；可以直接用公式法化简逻辑函数。逻辑函数式表示法的缺点是：不能直观地反映出输出函数与输入变量之间的一一对应的逻辑关系。第七章 数字电路基础 逻辑图是用逻辑符号表示逻辑函数的一种方法。每一个逻辑符号就是一个最简单的逻辑图。为了画出表示“举重裁判”的逻辑图只要用逻辑符号来代替式（8-1）中的运算符号既可以得到如图7-14所示的逻辑图。图7-14“举重裁判”逻辑图 逻辑图表示法第七章 数字电路基础用逻辑图表示逻辑函数的优点是：最接近工程实际，图中每一个逻辑符号通常都有相应的门电路与之对应。它的缺点是：不能用于化简；不能直观的反映出输出函数与输入变量之间的对应关系。每一种表示方法都有其优点和缺点。表示逻辑函数时应该视具体情况而定。要扬长避短。第七章 数字电路基础逻辑函数的标准形式 用逻辑函数式表示逻辑函数时，逻辑函数有两种标准形式，其一为最小项之和的形式；其二为最大项之积的形式。最小项与最小项之和的形式 在n n个变量的逻辑函数中，如果m m是包含n n个变量的乘积项，而且这n n个变量均以原变量或反变量的形式在m m中出现且仅出现一次，则称m m为该组变量的最小项。例如：Y(A，B，C)C BC中，第二项为最小项，第一项中由于没有出现变量A，所以不是最小项 BA，而n个变量有2 n个最小项。在逻辑函数的真值表中，输入变量的每一组取值组合都是一个最小项。第七章 数字电路基础 为了使用方便，需要将最小项进行编号，记作m i。方法是：将变量取值组合对应的十进制数作为最小项的编号。二变量的最小项为m 0 m 3；三变量为m 0 m 7；四变量为m 0 m 15。最小项有如下性质：在输入变量的任何取值组合下，必有一个且仅有一个最小项的值为1。全体最小项之和为1。任意两个最小项的乘积为0。具有相邻性的两个最小项之和，可以合并成一个乘积项，合并后可以消去一个取值互补的变量。留下取值不变的变量第七章 数字电路基础 如果一个逻辑函数式的每一项都是最小项，则这个逻辑函数式称为最小项表达式，否则不是最小项表达式。任何一个逻辑函数都可以表示成最小项之和的标准形式。【例7-10】把逻辑函数 Y=A +BC+ABC 展开成最小项表达式解 利用基本公式A+=1；A1=A及A+A=A可以将任意逻辑函数式展开成最小项表达式。Y=A(B+)+(A+)BC+ABC =AB +A +ABC+BC+ABC =ABC+AB +A +BC=m 7+m 6+m 4+m 3=m(7,6,4,3)CABCAAABBCCCC第七章 数字电路基础逻辑函数的公式化简法 对于同一个逻辑函数，可以有多个不同的逻辑表达式，即逻辑函数的表达式不是唯一的。例如逻辑式 Y1=BC+ABC+BC，Y2=BC这两个表达式就是同一个逻辑函数。A 逻辑函数化简的方法有两种。一种是公式化简法，另一种是卡诺图化简法。首先讨论第一种化简的方法公式化简法。第七章 数字电路基础 第二个表达式就是第一个表达式通过化简得到的。因此为了得到最简单的逻辑电路，就需要对逻辑函数式进行化简。这是使用小规模集成电路（如门电路）设计组合逻辑电路所必需的步骤之一。逻辑函数化简的方法有两种。一种是公式化简法，另一种是卡诺图化简法。首先讨论第一种化简的方法公式化简法。第七章 数字电路基础最简单“与或”表达式应该同时满足两点要求：乘积项的个数最少。在乘积项的个数最少的前提下，每一个乘积项中变量的个数最少【例7-11】把Y=A B+B C 变换成“与非与非”表达式 解 根据“非非”律，对“与或”表达式两次取“非”，还是原来的表达式，然后对除了最外层“非号”以外的部分应用反演律，可以得到“与非与非”表达式Y=YBCABBCAB第七章 数字电路基础 利用基本公式和常用公式，消去逻辑函数表达式中多余的乘积项和多余的变量，就可以得到最简单的“与或”表达式，这个过程称为逻辑函数的公式化简法。公式化简法没有固定的步骤。不仅要有对公式的熟练、灵活的运用，而且还要有一定的运算技巧。这里归纳的仅仅是几种常用的方法。第七章 数字电路基础逻辑函数的化简方法l逻辑函数的最简的标准 l 用逻辑代数法化简BAAB 并项法运用公式 将两项合并为一项，消去一个变量。1 AA)CBCB(A)CBBC(AY例：例：CBACABCBAABC )()(CCBACCAB ABBA )(与项最少，即表达式中“+”号最少。每个与项中的变量数最少，即表达式中“”号最少。第七章 数字电路基础吸收法消去法运用吸收律 A+AB=A，消去多余的与项。)(DECBABAL 例：EBABAL 例：BA 运用吸收律 消去多余因子。BABAA EBBA EBA 先通过乘以 或加上 ，增加必要的乘积项，再用以上方法化简。)(AA )(AABCDCAABL 例：)(AABCDCAAB BCDAABCDCAAB CAAB 配项法第七章 数字电路基础例:EFBEFBABDCAABDAADY 解：解：EFBEFBABDCAABAY（利用（利用 ）1 AAEFBBDCAA （利用（利用A+AB=A）EFBBDCA （利用（利用 ）BABAA 在化简逻辑函数时，要灵活运用上述方法，才能将逻辑函数化为最简。第七章 数字电路基础例：ABAC)BC(A)BCB(AABCBA)CC(ABCBAABCCABCBAY反变量吸收反变量吸收提出提出AB=1提出提出A第七章 数字电路基础例：例：CBBCBAABY)(CBBCBAAB）（反演反演CBAABCCCBAAB)()(配项配项CBBCAABCCBACBAAB被吸收被吸收被吸收被吸收CBBBCAAB)(CBCAAB第七章 数字电路基础 利用公式A B+A A 把两项合并成一项，合并的过程中消去一个取值互补的变量。B【例7-12】化简逻辑函数 Y1=B C+B Y2=B +A +解 Y1=B C+B =BY2=B +A +=B +（A+）=B +=ACBAAAAAACCCCCCCCCCBBBAAACC合并项法第七章 数字电路基础吸收法 利用公式A+A B=A 和 A B+CB C A B+C 消去多余的乘积项。AA【例7-13】化简逻辑函数 Y1=C+A CD Y2=BC+A D+BCDE解 Y1=C+A CD=C Y2=BC+A D+BCDE=BC+A DBABBBBAA第七章 数字电路基础消变量法 利用公式A+BA+B消去乘积项中多余的变量 A【例7-14】化简逻辑函数 Y=B+A +解 Y=B+A +=B+(A+)=B+=B+CAAAAABBBCCCCBACC第七章 数字电路基础利用公式A+=1，在适当的项中乘1（1A+），拆成两项后分别与其它项合并，进行化简；利用A+A=A在表达式中重复写入某一项，然后同其它项合并进行化简。AA配项法第七章 数字电路基础 化简逻辑函数时往往需要综合应用以上各种方法，才能得到最简单的“与或”表达式。【例7-16】化简逻辑函数 Y=ABC +ABD+BC +ABC+B D+B DDC解 Y=(A B C +A B C)（A B D+B D）+B C +B =A B C+B D+B C +B 吸收法 =(A B C+B )+(B D+B C )=A B+B +B D+B C 消去法 =A B+(B +B C)+B D=A B+B+B D 并项法 =B 吸收法 DDCDCCDCC第七章 数字电路基础【例7-17】用公式法求证等式 A +BD+CDE+D=A +D成立用公式法求证等式就是（利用基本公式或常用公式）从等式的一边推出等式的另一边证明 A +BD+CDE+DA +（BD+D）+CDE A +D+CDE A +D 等式成立 BBBBBBBBB应用公式法还可以证明等式是否成立第七章 数字电路基础 逻辑函数有四种表示方法，分别是真值表、逻辑函数式、逻辑图和卡诺图。前三种方法已经讲过，此处首先介绍逻辑函数的第四种表示方法卡诺图表示法。逻辑函数的卡诺图化简法第七章 数字电路基础三变量卡诺图 BABABAAB A Bm0m1m3m2 AB 00 01 11 10m0m1m3m2m4m5m7m6CBACBABCACBACBACBAABCCAB A B Cm0m1m3m2m4m5m7m6 BC 00 01 11 10 A 01空白卡诺图 一个小方格代表一个最小项，然后将这些最小项按照一定规律排列起来 二变量卡诺图第七章 数字电路基础ABCD000111100001110110100 01110 011110四变量卡诺图四变量卡诺图单元编号单元编号0010，对，对应于最小应于最小项：项：DCBAABCD=0100时函时函数取值数取值函数取函数取0、1均可。均可。只有只有一项一项不同不同第七章 数字电路基础从真值表到卡诺图 解：解：该函数为三变量，先画出三变量卡诺图，然后该函数为三变量，先画出三变量卡诺图，然后根据真值表将根据真值表将8 8个最小项个最小项L L的取值的取值0 0或者或者1 1填入卡诺图中对应填入卡诺图中对应的的8 8个小方格中即可。个小方格中即可。0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1A B C00010111L 真值表真值表ABC0000111110 A B C11110000第七章 数字电路基础 【例7-18】已知逻辑函数 Y=+AB+BC画出表示该函数的卡诺图解 逻辑函数的真值表如表7-14所示。根据对应编号直接填好卡诺图，如图7-18所示 ABCA表7-14 例7-18真值表 A B CY 0 0 01 0 0 10 0 1 00 0 1 11 1 0 00 1 0 10 1 1 01 1 1 11 图7-18 例7-18卡诺图 第七章 数字电路基础l如果表达式为最小项表达式，则可直接填入卡诺图。ABCCABBCACBAF 例 用卡诺图表示逻辑函数F BC 00 01 11 10 A 0111110000l如不是最小项表达式，应先将其先化成最小项表达式，再填入卡诺图。从逻辑表达式到卡诺图第七章 数字电路基础 由逻辑函数表达式填卡诺图 首先把逻辑函数表达式展开成最小项表达式，然后在每一个最小项对应的小方格内填“1”，其余的小方格内填“0”就可以得到该逻辑函数的卡诺图。待熟练以后可以应用观察法填卡诺图（与由逻辑表达式填真值表的方法相同）。仍然以例7-18中的逻辑函数为例Y=+A B(C+)+BC =+A BC+A B +BC=m 7+m 6+m 3+m 0在小方格m7、m6、m3、m0中填“1”，其余小方格中填“0”，仍然 可以得到如图7-18所示的卡诺图。ABCCAABCCA第七章 数字电路基础 如果已知逻辑函数的卡诺图，写出该函数的逻辑表达式。其方法与由真值表写表达式的方法相同，即把逻辑函数值为“1”的那些小方格代表的最小项写出，然后“或”运算，就可以得到与之对应的逻辑表达式。由于卡诺图与真值表一一对应，所以用卡诺图表示逻辑函数不仅具有用真值表表示逻辑函数的优点，而且还可以直接用来化简逻辑函数。但是也有缺点：变量多时使用起来麻烦，所以多余四变量时一般不用卡诺图表示。第七章 数字电路基础用卡诺图化简逻辑函数 l化简的依据：基本公式A+=1；常用公式AB+A =A 因为卡诺图中最小项的排列符合相邻性规则，因此可以直接的在卡诺图上合并最小项。因而达到化简逻辑函数的目的。ABl 合并最小项的规则 如果相邻的两个小方格同时为“1”，可以合并一个两格组（用圈圈起来），合并后可以消去一个取值互补的变量，留下的是取值不变的变量。相邻的情况举例如图7-19所示。第七章 数字电路基础图7-19 合并两格组第七章 数字电路基础 如果相邻的四个小方格同时为“1”，可以合并一个四格组，合并后可以消去二个取值互补的变量，留下的是取值不变的变量。相邻的情况举例如图8-20所示。图7-20 合并四格组 第七章 数字电路基础 如果相邻的八个小方格同时为“1”，可以合并一个八格组，合并后可以消去三个取值互补的变量，留下的是取值不变的变量。相邻的情况举例如图7-21所示。图7-21 合并八格组 第七章 数字电路基础l画圈的原则是：所有的“1”都要被圈到。圈要尽可能的大。圈的个数要尽可能的少。l用卡诺图化简逻辑函数的步骤：把给定的逻辑函数表达式填到卡诺图中 找出可以合并的最小项（画圈，一个圈代表一个乘积项）写出合并后的乘积项，并写成“与或”表达式 第七章 数字电路基础l化简逻辑函数时应该注意的问题：合并最小项的个数只能为2 n(n=0,1,2,3)如果卡诺图中填满了“1”则Y=1函数值为“1”的格可以重复使用，但是每一个圈中至少有一个“1”未被其它的圈使用过，否则得出的不是最简单的表达式。第七章 数字电路基础 C A B D11CBA11ABD111DCBDBA C A B D1111BC11DC11DB 逻辑函数的卡诺图化简法卡诺图化简逻辑函数的原理 2个相邻的最小项可以合并，消去1个取值不同的变量。4个相邻的最小项可以合并，消去2个取值不同的变量。第七章 数字电路基础8个相邻的最小项可以合并，消去3个取值不同的变量总之，2n个相邻的最小项可以合并，消去n个取值不同的变量。C A B D11111111C1111B第七章 数字电路基础相临单元的个数是2N个，并组成矩形时，可以合并ABCD0001 11 1000010 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1110AD用卡诺图合并最小项的原则第七章 数字电路基础ABCD0001 11 1000010 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1110不是矩形第七章 数字电路基础先找面积尽量大的组合进行化简，可以减少更多的因子。各最小项可以重复使用。注意利用无所谓状态，可以使结果大大简化。所有的1都被圈过后，化简结束。化简后的逻辑式是各化简项的逻辑和。第七章 数字电路基础画出逻辑函数的卡诺图。合并相邻的最小项，即根据前述原则画圈。写出化简后的表达式。每一个圈写一个最简与项，规则是取值为l的变量用原变量表示，取值为0的变量用反变量表示，将这些变量相与。然后将所有与项进行逻辑加，即得最简与或表达式。用卡诺图化简逻辑函数的步骤用卡诺图化简逻辑函数的步骤第七章 数字电路基础ABC00011110010 0 1 0 0 0 1 1 1 ABBCF=AB+BC利用卡诺图化简利用卡诺图化简第七章 数字电路基础例：例：ABCD0001 11 1000011 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1110ABDABDF 第七章 数字电路基础例：ABCD0001 11 1000011 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1110ADCCBDBDCBDCBDBCBDCAF第七章 数字电路基础例 已知真值表如图，用卡诺图化简A B C F 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 101状态未给出，即是无所谓状态。第七章 数字电路基础ABC00011110010 0 0 0 1 1 1 1 化简时可以将无所谓状态当作1或0，目的是得到最简结果。认为是认为是1AF=A第七章 数字电路基础ACBCBACBALACBCCALACBACALA A0 01 1BCBC010100001111 10101 10 01 11 10 01 11 10 0结论：逻辑函数最简与或式不是唯一的（但最小项表达式唯一）例例:第七章 数字电路基础【例7-19】用卡诺图化简逻辑函数Y=A +AC+BC+AB解 首先画出逻辑函数Y的卡诺图，如图8-22所示。由图8-22可以看出，可以合并一个四格组和一个二格组，合并后为Y=A+BC B 图7-22 例7-19卡诺图 第七章 数字电路基础【例7-20】化简逻辑函数Y(A，B，C，D)=m(0,2,4,7,8,9,10,11)解 此题是逻辑函数的最小项表示法，表达式中出现的最小项对应的小方格填“1”，其余的小方格填“0”。得到逻辑函数的卡诺图如图7-23所示。合并二个四格组、一个二格组和一个孤立的“1”。合并后为Y=+A +BCD 图7-23 例7-20卡诺图 BDBACDA第七章 数字电路基础具有任意项的逻辑函数的化简 n变量有2 n 种取值组合。实际应用中常常会遇到这样的情况，有一些变量组合实际上不可能出现。例如用二进制代码表示十进制数的时候，需用四位二进制代码表示一位十进制数，而四位二进制代码有2416种状态，只用其中十种组合表示十个数字，其余六种组合根本不使用。这些根本不可能出现的变量组合称为约束项，或称为任意项。用“”表示。“任意项”意思是说：“”可以看作“0”，也可以看作“1”。由于“”的取值对函数值没有影响，所以可以利用任意项化简逻辑函数,得到最简单的逻辑函数表达式。第七章 数字电路基础A C +A CD+AB +AB D+ABC +ABCD=0。BDBCDCD 由于每一组变量的取值组合都会使唯一的一个最小项的值为“1”，当某些变量的取值组合不可能出现时（即任意项），我们可以用这些最小项等于“0”来表示。这仅仅是一种表示方法。例如8421码中用四个变量ABCD的取值组合表示十进制数时，仅使用00001001这十种变量取值组合，而10101111不可能出现。这六种变量取值组合就是任意项。可以表示为：第七章 数字电路基础【例7-22】化简逻辑函数Y=m（1，2，7，8）任意项为m0+m3+m4+m5+m6+m10+m11+m15=0解 画出逻辑函数Y的卡诺图如图8-25所示。由图8-25可以看出，如果不利用任意项该逻辑函数不能化简；如果利用任意项则可以得到最简单的表达式Y=。AB D 图7-25 例7-22卡诺图 注意：利用的任意项如m0、m3、m4、m5、m6、m10要看成“1”；未利用的任意项如m11、m15要看成“0”。第七章 数字电路基础三种表示方法之间的转换 l由真值表写出逻辑函数式 找出使逻辑函数Y1的行，每一行用一个乘积项表示。其中变量取值为“1”时用原变量表示；变量取值为“0”时用反变量表示。将所有的乘积项或运算，既可以得到Y的逻辑函数式。例如：由表8-10“举重裁判”真值表写表达式。表中输入变量为以下四种情况时Y为“1”：A=0 B=1 C=1（会使乘积项 BC=1）；A=1 B=0 C=1（会使乘积项A C=1）；A=1 B=1 C=0（会使乘积项AB =1）；A=1 B=1 C=1（会使乘积项ABC=1）。因此Y的逻辑函数式应当等于四个乘积项的“或”运算，即 Y BCA CAB ABC ABCABC第七章 数字电路基础l由逻辑函数式列出真值表 真值表左边变量的取值组合是固定的，把真值表左边每一种变量的取值组合代入逻辑函数式中，求出函数值，填在对应的位置上。列成表格即得到该函数的真值表。第七章 数字电路基础【例7-23】已知逻辑函数Y=AB+求真值表 AB 表7-11 例7-23真值表 解 该逻辑函数由二个变量组成，所以用两个变量的真值表。二变量有224种变量取值组合，分别代入逻辑函数式中求出函数值，填在对应的位置上，可以得到如表8-11所示的真值表。A BY 0 01 0 10 1 00 1 11第七章 数字电路基础l由逻辑函数式画出逻辑图 把逻辑函数式中的每一种逻辑关系用相对应的逻辑符号表示出来即可以得到该逻辑函数的逻辑图。第七章 数字电路基础【例7-24】已知逻辑函数式 Y=A +B 画出逻辑图解 由表达式可以知道，把 、分别用“非”的逻辑符号表示，然后把 和B；A和 用“与”的逻辑符号表示，最后用“或”的逻辑符号表示A 和 B的或运算。得到如图7-15所示的逻辑图。BAABABBA 图7-25 例7-24逻辑图 第七章 数字电路基础l由逻辑图写出逻辑函数式 由逻辑图写逻辑函数式是从输入端到输出端逐级写出每一个逻辑符号所对应的逻辑函数式。第七章 数字电路基础【例7-9】逻辑图如图8-16所示，写出该逻辑函数的逻辑函数式。图7-26 例7-25逻辑图 解 从输入端开始，逐个写出。设门1的输出为Y1，Y1 ，门2的输出为Y2，Y2 ，门3的输出为Y3，Y3 ，门4的输出为Y4，Y4 ，门5的输出为Y5，Y5Y3Y4 BCCBACBCBCBA第七章 数字电路基础 补充:组合逻辑电路知识 根据电路的逻辑功能和结构的不同，数字电路分为组合逻辑电路和时序逻辑电路两大类。本章介绍的是组合逻辑电路。简称组合电路。第七章 数字电路基础组合逻辑电路的基本概念 在逻辑电路中，任意时刻的输出状态只取决于该时刻的输入状态，而与输入信号作用之前电路的状态无关，这种电路称为组合逻辑电路。组合逻辑电路的框图如图7-3-1所示。图7-3-1组合逻辑电路框图 第七章 数字电路基础 组合逻辑电路由各类门电路组成，也有具有一定逻辑功能的集成电路。常用的集成组合逻辑电路有：编码器、译码器、加法器、数值比较器、数据选择器和数据分配器等。第七章 数字电路基础组合逻辑电路的分析方法 组合逻辑电路分析的目的：对组合逻辑电路的分析是指根据给定的逻辑图，找出或验证电路的逻辑功能。组合逻辑电路分析的思路：由逻辑图开始表达式真值表。因为真值表最能体现逻辑函数与逻辑变量之间的关系，所以由真值表可以总结出所给逻辑图的逻辑功能。第七章 数字电路基础 从输入到输出逐级写出给定的组合逻辑电路的逻辑表达式。化简或变换逻辑表达式。做出最简单的逻辑函数的真值表。根据真值表确定（或验证）所给电路的逻辑功能。组合逻辑电路分析的一般步骤电路 结构输入输出之间的逻辑关系第七章 数字电路基础 【例7-3-1】分析如图7-3-2（a）所示电路的逻辑功能，并用“与非”门实现该逻辑电路。图7-3-2 例7-3-1的逻辑图 第七章 数字电路基础解 逐级写出逻辑表达式：Y1AB，Y2=BC，Y3=AC所以 Y=Y1+Y2+Y3=AB+BC+AC 化简或变换逻辑表达式：由于表达式为最简单的，所以不需要化简。根据题中的要求，需要把表达式变换成“与非与非”表达式：Y=AB+BC+AC 根据表达式列出真值表如表10-1所示ACBCABACBCAB第七章 数字电路基础表7-3-1 例7-3-1的真值表 A B CY 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 11 1 0 00 1 0 11 1 1 01 1 1 11 确定电路的逻辑功能.由表7-3-1可以看出，当输入变量A、B、C中有两个及两个以上的变量取值为“1”时，电路输出Y=1；否则电路输出Y=0。所以该电路的逻辑功能是：“多数表决电路”。根据变换后的表达式作出用“与非”门实现的逻辑图，如图7-3-2（b）所示。第七章 数字电路基础例：分析下图的逻辑功能&ABFBAABABBABBAABABBAABAFBBAABA）（）（BABA第七章 数字电路基础A B F 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 真值表真值表相同为相同为“0”不同为不同为“1”异或门异或门=1BAF第七章 数字电路基础例：分析下图的逻辑功能&ABFABABBABABABABAFBABABABA第七章 数字电路基础A B F 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 真值表相同为“1”不同为“0”同或门同或门=1BAF第七章 数字电路基础任务任务要求要求最简单的最简单的逻辑电路逻辑电路指定实际问题的逻辑含义，列出真值表，进而写出逻辑表达式。用逻辑代数或卡诺图对逻辑表达式进行化简。列出输入输出状态表并画出逻辑电路图。设计步骤：组合逻辑电路的设计第七章 数字电路基础 例：设计三人表决电路（A、B、C）。每人一个按键，如果同意则按下，不同意则不按。结果用指示灯表示，多数同意时指示灯亮，否则不亮。首先指明逻辑符号取“0”、“1”的含义。三个按键A、B、C按下时为“1”，不按时为“0”。输出量为 F，多数赞成时是“1”，否则是“0”。根据题意列出逻辑状态表。第七章 数字电路基础A B C F 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 逻辑状态表列逻辑表达式并化简CABCABF第七章 数字电路基础根据逻辑表达式画出逻辑图CABCABF&1&AB BCF第七章 数字电路基础&ABCFCABCABCABCABCABCABF若用与非门实现第七章 数字电路基础第三节 编码器和译码器 在日常生活中，要实现的逻辑问题有许多种，为实现这些逻辑问题而设计的逻辑电路也千变万化。但是在实践中，人们发现有许多逻辑电路经常被大量、重复使用。所以就把这些经常大量、重复使用而且具有一定逻辑功能的电路，制作成中规模的集成电路产品，供大家直接选用。第七章 数字电路基础编码器 例如例如TTLTTL型有标准的型有标准的74/5474/54系列；系列；CMOSCMOS有有40004000系列、系列、74HC74HC系列等。这些集成电路产品具有通用性强、兼容性好、功率系列等。这些集成电路产品具有通用性强、兼容性好、功率损耗小、工作稳定可靠，成本低等优点损耗小、工作稳定可靠，成本低等优点.用一组二进制代码表示某种信息的过程称为编码，完成编码功能的逻辑电路称为编码器。按照输出代码不同分类：二进制编码器、二十进制编码器按照输出代码不同分类：二进制编码器、二十进制编码器按照工作方式不同分类：普通编码器和优先编码器。按照工作方式不同分类：普通编码器和优先编码器。第七章 数字电路基础8421(8421(二二-十进制十进制)编码器编码器:用四位二进制代码表示一位用四位二进制代码表示一位十进制数（也可以是十种其它信息），称为二十进制编码。十进制数（也可以是十种其它信息），称为二十进制编码。完成二十进制编码的电路称为二十进制编码器。完成二十进制编码的电路称为二十进制编码器。二十进制编码器能将二十进制编码器能将I I 0 0I I 9 9（对应着（对应着0 09 9）1010个有个有效的输入信号编成效的输入信号编成8421BCD8421BCD码。码。十个输入十个输入需要几位输出？需要几位输出？四位四位输入输入:I I0 0 I I9 9。输出：。输出：F F3 3 F F0 0 列出状态表如下：列出状态表如下：普通编码器 普通型编码器，某一时刻只允许一个输入端为有效的普通型编码器，某一时刻只允许一个输入端为有效的输入信号。否则输出的编码有可能出错。输入信号。否则输出的编码有可能出错。第七章 数字电路基础输入 F3 F2 F1 F0 I0 0 0 0 0 I1 0 0 0 1 I2 0 0 1 0 I3 0 0 1 1 I4 0 1 0 0 I5 0 1 0 1 I6 0 1 1 0 I7 0 1 1 1 I8 1 0 0 0 I9 1 0 0 1 状态表第七章 数字电路基础输入 F3 F2 F1 F0 I0 0 0 0 0 I1 0 0 0 1 I2 0 0 1 0 I3 0 0 1 1 I4 0 1 0 0 I5 0 1 0 1 I6 0 1 1 0 I7 0 1 1 1 I8 1 0 0 0 I9 1 0 0 1 98983IIIIF76542IIIIF 76321IIIIF 975310IIIIIF 逻辑图课本P154第七章 数字电路基础二进制编码器 二进制编码器的逻辑功能是：根据产生了有效电平（可能是高电平，也可能是低电平，视具体情况而定）的输入端的序号，在输出端产生一组对应的二进制编码。3位二进制普通编码器 3位二进制编码器的逻辑图，如下图示。图中的 0 7（0是隐含的）为输入信号，“非号”表示低电平为有效的输入电平，Y2Y0为输出。III第七章 数字电路基础 图7-3-3 3位二进制编码器逻辑图 第七章 数字电路基础 根据组合逻辑电路分析的步骤，首先写出逻辑函数表达式：45672IIIIY23671IIIIY13570IIIIY 式中输入变量上的“非号”代表低电平是有效的输入电平，与图中输入变量上的非号相对应。根据表达式可以得到如表7-3-2所示的真值表第七章 数字电路基础 7 6 5 4 3 2 1 0 2 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 IIYYYIIIIII表7-3-2 3位二进制编码器真值表第七章 数字电路基础 由表7-3-2可以看出，当任何一个输入端为有效电平（本例为低电平有效）时，三个输出端的取值组成对应的3位二进制代码，例如当 50时，输出的代码为“101”，当 10时，输出的代码为“001”