自然常数e的证明

e在微积分里常常出现，但却不是随著微积分诞生的。那么是在怎样的状况下导致它出现的呢？一个很可能的解释是，这个数和计算利息有关。我们都知道复利计息是怎么回事，就是利息也可以并进本金再生利息。假定有一家银行，年利率为100%，允许以任意周期进行复利计息。很显然，我们存入1块钱，一年后的本利和为2块钱。有个聪明人想：我每半年存取一次，一年存取两次，我的本利和为多少呢？也很容易计算：，这样比一次存一年要多哦；他继续想：我每季度存取一次，一年存取四次，我的本利和是多少呢？，比一年存取两次又多了一些；人总是贪婪的，他想：我每月存取一次，一年存取十二次，本利和为，果然又增加了一些。如果计息周期无限制地缩短，比如说每分钟计息一次，甚至每秒，或者每一瞬间（理论上来说），会发生什么状况？本利和会无限制地加大吗？答案是不会的，它的值会趋近于一极限值，e这个数就现身在该极限值当中（当然那时候还没给这个数取名字叫e）。极值等于2.718281828.。当然，实际生活中，银行的利息没有这么高，如果利率只有5%，那么1块存一年最多可以拿到多少钱呢？在100%利率的情况下，当n=1000所得到的数值非常接近e：。为了便于思考，取n=50,：。因此，5%利率相当于e的20分之一次方：注意：20分之一正好等于利率5%，所以公式可以写成：，式中rate就是利率。这说明只要是持续不断的复合式增长，e可以用于任何增长率的计算。再考虑时间因素，如果把钱在银行里存t年，最多可以得到多少钱呢？，此式为计算本利和的万能公式，可以适用于任何时间，任何利率。进一步思考，如果银行利率是5%的复利，请问1元存款翻倍需要多少时间？求解需要多少时间等价于解方程：，结果是13.86年。上式最后一个等号，表明用72除以利率，可以得到翻倍的大致时间，这就是经济学上著名的72法则。e在自然科学中有着重要的地位和作用，比如在原子物理中放射性物质的衰变，生物增殖问题，地质科学中考察地球年龄，用齐奥尔科夫斯基公式计算火箭速度，物体的冷却等等讲了这么多，e是一个特殊的重要极限，在高等数学及其应用领域中起着奠基般的举足轻重的作用。但如此重要的极限，在一般的教科书中对它的存在性的证明却叙述得较少，甚至不证明，只让去死记硬背一个十分难记难懂的结论。下面我尝试证明极限e的存在，并且确定它的值。一、极限e存在性的证明为了证明极限 首先给出关于极限存在的两个基本准则。I 夹逼准则：如果函数且，那么。II 单调有界数列必有极限。这个函数既不是幂函数也不是指数函数，我们称之为幂指数函数。只有当时这个函数才有定义，故只对与来证明。1、当时，首先让x取正整数，即x=n，n=1,2,3若而有伯努利不等式，这个不等式可由二项式定理推出，并且对时不等式仍然成立，可由由数学归纳法证明。因此，对伯努利不等式将x换成，便有或者故对有说明是随n的增加而增加的，即是单调增加数列，另一方面由二项定理知说明是单调增加有界数列，根据准则II，的极限存在，以e表示之，即 （1a）其次，对任意，必存在两个相邻的整数m与m+1，使得，因而从而或者当时，并且，由准则I知 （1b）2、当时，当时，所以 （1c）综合1a，1b，1c对于与，极限得到了证明。二、极限e的确定与求法由二项定理及极限1可得到e的表达式或者由此可知e是个无理数，整数部分是2，小数部分是个无限不循环小数。数e的近似值可以通过的泰勒展开式： 其中，当x=1时有 （）如取n=9，可得=2.718279由此计算方法可见，若要求精度越高，则n取的越大，且计算每一项的精确度比要求的精度要高，当n10时高一位，n100时高二位，