第4讲 转化与化归思想

专题八 数学思想方法第 4讲 转化与化归思想思 想 方 法 概 述热 点 分 类 突 破真 题 与 押 题思想方法概述转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法一般总是将复杂的问题通过变换到解决的一种方法一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题决的问题转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位，数学转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决，总离不开转化与化归，如未知向已知的问题的解决，总离不开转化与化归，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题的转化等各种变换、具体解题方法都是转数学问题的转化等各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中容和解题过程中1.转化与化归的指导思想转化与化归的指导思想(1)把什么问题进行转化，即化归对象把什么问题进行转化，即化归对象.(2)化归到何处去，即化归目标化归到何处去，即化归目标.(3)如何进行化归，即化归方法如何进行化归，即化归方法.化归与转化思想是一切数学思想方法的核心化归与转化思想是一切数学思想方法的核心.2.常见的转化与化归的方法常见的转化与化归的方法转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式功的思维方式.常见的转化方法有：常见的转化方法有：(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题基本公式或基本图形问题.(2)换元法：运用换元法：运用“换元换元”把式子转化为有理式或把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题题转化为易于解决的基本问题.(3)数形结合法：研究原问题中数量关系数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式解析式)与与空间形式空间形式(图形图形)关系，通过互相变换获得转化途径关系，通过互相变换获得转化途径.(4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的价命题，达到化归的目的.(5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题、结论适合原问题并证明特殊化后的问题、结论适合原问题.(6)构造法：构造法：“构造构造”一个合适的数学模型，把问题一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题变为易于解决的问题.(7)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径问题是转化方法的一个重要途径.(8)类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定于确定.(9)参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的形参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的形式进行解决式进行解决.(10)补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题的结果看做集合问题的结果看做集合A，而把包含该问题的整体问，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集题的结果类比为全集U，通过解决全集，通过解决全集U及补集及补集 UA获得原问题的解决，体现了正难则反的原则获得原问题的解决，体现了正难则反的原则.热点一 特殊与一般的转化 热点二 函数、方程、不等式之间的转化 热点三 正难则反的转化热点分类突破热点一 特殊与一般的转化解析找特殊情况，当找特殊情况，当ABy轴时，轴时，AB的方程为的方程为y1，则，则A(2，1)，B(2,1)，过点过点A的切线方程为的切线方程为y1(x2)，即，即xy10.同理，过点同理，过点B的切线方程为的切线方程为xy10，则则l1，l2的交点为的交点为(0，1).答案A解析由于直接求解较困难，可探求一般规律，由于直接求解较困难，可探求一般规律，一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单.特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果效果.思维升华变式训练1(1)在在ABC中，角中，角A、B、C所对的边分别为所对的边分别为a、b、c，若若a、b、c成等差数列，则成等差数列，则 _.解析根据题意，所求数值是一个定值，根据题意，所求数值是一个定值，故可利用满足条件的直角三角形进行计算故可利用满足条件的直角三角形进行计算.令令a3，b4，c5，则，则ABC为直角三角形，为直角三角形，(2)已知函数已知函数f(x)是定义在实数集是定义在实数集R上的不恒为零的上的不恒为零的偶函数，且对任意实数偶函数，且对任意实数x都有都有xf(x1)(1x)f(x)，则则 _.解析因为因为xf(x1)(1x)f(x)，使使f(x)特殊化，可设特殊化，可设f(x)xg(x)，其中其中g(x)是周期为是周期为1的奇函数，再将的奇函数，再将g(x)特殊化，特殊化，可设可设g(x)sin 2x，则，则f(x)xsin 2x，答案0热点二 函数、方程、不等式之间的转化解析1,2是方程是方程ax2bx20的两实根，的两实根，由由(3 1)x3x2x20，答案D(2)已知函数已知函数f(x)3e|x|.若存在实数若存在实数t1，)，使得对任意的使得对任意的x1，m，mZ且且m1，都有，都有f(xt)3ex，则，则m的最大值为的最大值为_.解析因为当因为当t1，)且且x1，m时，时，xt0，所以所以f(xt)3exextext1ln xx.所以原命题等价转化为：存在实数所以原命题等价转化为：存在实数t1，)，使得不等式使得不等式t1ln xx对任意对任意x1，m恒成立恒成立.令令h(x)1ln xx(x1).因为因为h(x)10，所以函数所以函数h(x)在在1，)上为减函数，上为减函数，又又x1，m，所以，所以h(x)minh(m)1ln mm.所以要使得对所以要使得对x1，m，t值恒存在，值恒存在，只须只须1ln mm1.且函数且函数h(x)在在1，)上为减函数，上为减函数，所以满足条件的最大整数所以满足条件的最大整数m的值为的值为3.答案3函数、方程与不等式就像函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟一胞三兄弟”，解，解决方程、不等式的问题需要函数的帮助，解决决方程、不等式的问题需要函数的帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值值(值域值域)问题，从而求出参变量的范围问题，从而求出参变量的范围.思维升华变式训练2(1)若关于若关于x的方程的方程9x(4a)3x40有解，则实有解，则实数数a的取值范围是的取值范围是_.解析设设t3x，则原命题等价于关于，则原命题等价于关于t的方程的方程t2(4a)t40有正解，有正解，a8，即实数，即实数a的取值范围是的取值范围是(，8.答案(，8(2)设设f(x)是定义在是定义在R上的单调增函数，若上的单调增函数，若f(1axx2)f(2a)对任意对任意a1,1恒成立，则恒成立，则x的取值的取值范围为范围为_.解析f(x)在在R上是增函数，上是增函数，由由f(1axx2)f(2a)，可得可得1axx22a，a1,1，a(x1)x210，对对a1,1恒成立恒成立.令令g(a)(x1)ax21，则当且仅当则当且仅当g(1)x2x20，g(1)x2x0恒成立，恒成立，解之，得解之，得x0或或x1.故实数故实数x的取值范围为的取值范围为x1或或x0.答案(，10，)热点三 正难则反的转化例3若对于任意若对于任意t1,2，函数，函数g(x)x3 x22x在区间在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数上总不为单调函数，则实数m的取的取值范围是值范围是_.解析g(x)3x2(m4)x2，若若g(x)在区间在区间(t,3)上总为单调函数，上总为单调函数，则则g(x)0在在(t,3)上恒成立，或上恒成立，或g(x)0在在(t,3)上恒成立上恒成立.由由得得3x2(m4)x20，即即m4 3x在在x(t,3)上恒成立，上恒成立，所以所以m4 3t恒成立，则恒成立，则m41，即即m5；由由得得m4 3x在在x(t,3)上恒成立，上恒成立，否定性命题，常要利用正反的相互转化，先从否定性命题，常要利用正反的相互转化，先从正面求解，再取正面答案的补集即可正面求解，再取正面答案的补集即可.一般地，一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单相对很少，从反面考虑较简单.因此，间接法多因此，间接法多用于含有用于含有“至多至多”、“至少至少”及否定性命题情及否定性命题情形的问题中形的问题中.思维升华变式训练3若二次函数若二次函数f(x)4x22(p2)x2p2p1在区间在区间1,1内至少存在一个值内至少存在一个值c，使得，使得f(c)0，求实数，求实数p的取值范围的取值范围.解如果在如果在1,1内没有值满足内没有值满足f(c)0，将问题进行化归与转化时，一般应遵循以下几种原则将问题进行化归与转化时，一般应遵循以下几种原则(1)熟悉化原则：将陌生的问题转化为我们熟悉的问题熟悉化原则：将陌生的问题转化为我们熟悉的问题.(2)简单化原则：将复杂的问题通过变换转化为简单的简单化原则：将复杂的问题通过变换转化为简单的问题问题.(3)直观化原则：将较抽象的问题转化为比较直观的问直观化原则：将较抽象的问题转化为比较直观的问题题(如数形结合思想，立体几何问题向平面几何问题如数形结合思想，立体几何问题向平面几何问题转化转化).本讲规律总结(4)正难则反原则：若问题直接求解困难时，可考虑正难则反原则：若问题直接求解困难时，可考虑运用反证法或补集法或用逆否命题间接地解决问题运用反证法或补集法或用逆否命题间接地解决问题.真题感悟 押题精练真题与押题12真题感悟1.(2014山东山东)设集合设集合Ax|x1|2，By|y2x，x0,2，则，则AB等于等于()A.0,2 B.(1,3)C.1,3)D.(1,4)34解析由由|x1|2，解得，解得1x3，由由y2x，x0,2，解得，解得1y4，所以所以AB(1,3)1,41,3).C12真题感悟34解析f(x)f(x)sin x，f(x2)f(x)sin x.f(x2)f(x)sin xsin xf(x).f(x)是以是以2为周期的周期函数为周期的周期函数.12真题感悟3412真题感悟34答案A3.(2014陕西陕西)若圆若圆C的半径为的半径为1，其圆心与点，其圆心与点(1,0)关关于直线于直线yx对称，则圆对称，则圆C的标准方程为的标准方程为_.12真题感悟34解析圆圆C的圆心为的圆心为(0,1)，半径为，半径为1，标准方程为标准方程为x2(y1)21.x2(y1)214.(2014山东山东)已知实数已知实数x，y满足满足axay(0aln(y21)C.sin xsin yD.x3y312真题感悟34解析因为因为0a1，axy.采用赋值法判断，采用赋值法判断，12真题感悟34A中，当中，当x1，y0时，时，1，A不成立不成立.B中，当中，当x0，y1时，时，ln 10，所以函数所以函数f(x)在区间在区间0,1上单调递增，排除上单调递增，排除A，D；取取a1，则函数，则函数f(x)ex ，押题精练123456所以函数所以函数f(x)在区间在区间0,1上单调递增，排除上单调递增，排除B，故选故选C.答案C押题精练123456A押题精练123456押题精练123456答案C押题精练123456解析令令tf(x)，则该函数的零点即，则该函数的零点即f(t)10的解的解.先解方程先解方程f(t)1.当当t0时，方程为时，方程为2t1，解得，解得t0；当当t0时，方程为时，方程为log2t1，解得，解得t2；所以方程所以方程f(t)1的解为的解为0或或2.再解方程再解方程f(x)0和和f(x)2.当当x0时，因为时，因为2x0，故由，故由2x2，得，得x1；当当x0时，由时，由log2x0，得，得x1；由；由log2x2，得得x4；故函数故函数yf(f(x)1的零点为的零点为1,4，共，共2个个.答案2押题精练123456押题精练123456押题精练123456故第故第组是区间组是区间1,1上的正交函数；上的正交函数；故第故第组不是区间组不是区间1,1上的正交函数；上的正交函数；故第故第组是区间组是区间1,1上的正交函数上的正交函数.综上，满足条件的共有两组综上，满足条件的共有两组.答案C押题精练123456押题精练123456解f(x)在在R上为奇函数上为奇函数,又在又在0，)上是增函数，上是增函数，f(x)在在R上为增函数，且上为增函数，且f(0)0.由题设条件可得，由题设条件可得，f(cos 23)f(4m2mcos)0.又由又由f(x)为奇函数，可得为奇函数，可得f(cos 23)f(2mcos 4m).f(x)在在R上为增函数，上为增函数，cos 232mcos 4m，即即cos2mcos 2m20.押题精练123456押题精练123456令令cos t，0 ，0t1.于是问题转化为对一切于是问题转化为对一切0t1，不等式不等式t2mt2m20恒成立恒成立.t22m(t2)，即，即m 恒成立恒成立.存在实数存在实数m满足题设的条件，即满足题设的条件，即m42 .