516理论力学CAI版权所有, 2000 (c) 上海交通大学工程力学系

理论力学CAI版权所有,2000(c)上海交通大学工程力学系2022年11月26日理论力学CAI 矢量动力学基础22022年11月26日理论力学CAI 矢量动力学基础3 动力学的任务动力学的任务建立质点、质点系与刚体所受的力与它们运动的关系建立质点、质点系与刚体所受的力与它们运动的关系建立描述此关系的数学模型：运动微分方程建立描述此关系的数学模型：运动微分方程 动力学的基本问题动力学的基本问题正问题正问题 已知力求运动已知力求运动 数学问题：对运动微分方程进行积分运算数学问题：对运动微分方程进行积分运算逆问题逆问题 已知运动求力已知运动求力 数学问题：对运动微分方程进行微分运算数学问题：对运动微分方程进行微分运算 静力学问题是特殊的动力学逆问题静力学问题是特殊的动力学逆问题矢量动力学基础/前言2022年11月26日理论力学CAI 矢量动力学基础4矢量动力学基础/前言 矢量力学的基础矢量力学的基础 奠基人：伽利略，牛顿奠基人：伽利略，牛顿 牛顿定律牛顿定律 第一定律第一定律 惯性定律惯性定律 质点不受力的作用，则永远保持静止，或作匀速直线运动质点不受力的作用，则永远保持静止，或作匀速直线运动 第二定律力与加速度关系定律第二定律力与加速度关系定律 质点受一力作用而产生加速度，其方向与作用力相同，其大质点受一力作用而产生加速度，其方向与作用力相同，其大小与力的大小成正比小与力的大小成正比 第三定律第三定律 作用与反作用定律作用与反作用定律 有一个作用力必存在另一个反作用力，其大小与作用力相等，有一个作用力必存在另一个反作用力，其大小与作用力相等，方向与作用力相反方向与作用力相反 作用力与反作用力加在不同的物体上作用力与反作用力加在不同的物体上 2022年11月26日理论力学CAI 矢量动力学基础5矢量动力学基础/前言 本章的任务本章的任务 建立适用于解决质点系、刚体与刚体系的动建立适用于解决质点系、刚体与刚体系的动力学的基本原理力学的基本原理2022年11月26日理论力学CAI 矢量动力学基础6矢量动力学基础/惯量2022年11月26日理论力学CAI 矢量动力学基础7转动惯量转动惯量 质量质量 转动惯量转动惯量矢量动力学基础/惯量/转动惯量2022年11月26日理论力学CAI 矢量动力学基础8质量质量 质点的质量质点的质量 质点惯性的度量质点惯性的度量矢量动力学基础/惯量/转动惯量amFaFm/质点系的质量质点系的质量mmiin1质点系质点系NP,PP21,各个质点的质量各个质点的质量Nimi,2,12022年11月26日理论力学CAI 矢量动力学基础9转动惯量转动惯量 质量是质点或质点系质量是质点或质点系平动平动惯性的度量惯性的度量矢量动力学基础/惯量/转动惯量21mm 21MM2121 转动惯量是质点系（刚体）转动惯量是质点系（刚体）转动转动惯性的度量惯性的度量2022年11月26日理论力学CAI 矢量动力学基础10kr矢量动力学基础/惯量/转动惯量 刚体转动惯量的定义刚体转动惯量的定义kPzyxOkykzkx在刚体的在刚体的给定点给定点O建立建立连体基连体基eO刚体任意质点刚体任意质点Pk的质量的质量 mk质点质点Pk的矢径的矢径krTkkkkzyxr:eO常值阵常值阵defOzJkkkkyxm22刚体关于刚体关于Oz轴的转动惯量轴的转动惯量kkkkOxzymJ22defkkkkOyxzmJ22def刚体关于刚体关于Ox轴的转动惯量轴的转动惯量刚体关于刚体关于Oy轴的转动惯量轴的转动惯量2mkg单位单位转动惯量恒正转动惯量恒正2022年11月26日理论力学CAI 矢量动力学基础11kr矢量动力学基础/惯量/转动惯量 刚体转动惯量的另一种表达刚体转动惯量的另一种表达kPzyxOkykzkx刚体关于刚体关于Oz轴的转动惯量等于轴的转动惯量等于所有质点的所有质点的质量与其到质量与其到Oz轴距离的平方乘积的代数和轴距离的平方乘积的代数和kkkxkkkkOxmzymJ222kkkykkkkOymxzmJ222kzkkkkOzyxmJ22kkzkm22defzOzmJ令令m为刚体的质量为刚体的质量 刚体对刚体对Oz轴的回转半径轴的回转半径 z2defym2defxm刚体对刚体对Ox轴的回转半径轴的回转半径 x刚体对刚体对Oy轴的回转半径轴的回转半径 ykzkkzkzmm222022年11月26日理论力学CAI 矢量动力学基础12矢量动力学基础/惯量/转动惯量 常见的均质几何体的转动惯量常见的均质几何体的转动惯量0CxJ241mrJJCyCx)45(2122rRmJJCyCx252mrJJJCzCyCxyxCl细直杆细直杆2121mlJJCzCyy圆形薄板圆形薄板Cxr221mrJCz圆环圆环CxyrR)43(22rRmJCzxz球体球体CyrRr 2mRJCz221mRJJCyCx2022年11月26日理论力学CAI 矢量动力学基础13kr矢量动力学基础/惯量/转动惯量 刚体惯量积的定义刚体惯量积的定义kPzyxOkykzkx在刚体的在刚体的给定点给定点O建立建立连体基连体基eO刚体任意质点刚体任意质点Pk的质量的质量 mk质点质点Pk的矢径的矢径krTkkkkzyxr:eO常值阵常值阵defOyxOxyJJkkkkyxm刚体关于刚体关于Oxy平面的惯性积平面的惯性积kkkkOzyOyzzymJJdefkkkkOxzOzxxzmJJdef刚体关于刚体关于Oyz平面的惯性积平面的惯性积刚体关于刚体关于Ozx平面的惯性积平面的惯性积2mkg单位单位惯性积可正可负惯性积可正可负2022年11月26日理论力学CAI 矢量动力学基础14矢量动力学基础/惯量/转动惯量 刚体的惯量主轴刚体的惯量主轴krkPzyxOkykzkx称称Oz轴为刚体的轴为刚体的惯量主轴惯量主轴 0OyzJ0OxzJ称称Ox轴为刚体的惯量主轴轴为刚体的惯量主轴 0OxzJ0OxyJ0OyzJ0OxyJ称称Oy轴为刚体的惯量主轴轴为刚体的惯量主轴 2022年11月26日理论力学CAI 矢量动力学基础15xzyOP矢量动力学基础/惯量/转动惯量Oz轴为刚体的轴为刚体的旋转对称轴旋转对称轴 Oz轴为刚体的轴为刚体的惯量主轴惯量主轴 P),(kkkzyxP),(kkkzyxP0kkkkkkzxmzxm0kkkkkkzymzym0OyzJ0OxzJxzyOPPOxy为刚体的为刚体的对称面对称面 Oz轴为垂直于该面的任意轴轴为垂直于该面的任意轴),(kkkzyxP),(kkkzyxP0kkkkkkzxmzxm0kkkkkkzymzym0OyzJ0OxzJOz轴为刚体的轴为刚体的惯量主轴惯量主轴 2022年11月26日理论力学CAI 矢量动力学基础16矢量动力学基础/惯量/转动惯量zyx转动惯量和惯性积与连体基的转动惯量和惯性积与连体基的基点位基点位置置和连体基和连体基基矢量的方位基矢量的方位有关有关 过点过点O至少存在一个连体基至少存在一个连体基，该基的，该基的三根轴同时为刚体的主轴三根轴同时为刚体的主轴 iziyixiOeeOiiiOzOyOxJJJ,iiiiiixOzzOyyOxJJJ,主轴连体基主轴连体基同一个基点同一个基点O，不同连体基的刚体转动不同连体基的刚体转动惯量与惯性积不同，但存在关系惯量与惯性积不同，但存在关系OzOyOxJJJ,0OzxOyzOxyJJJOeO刚体关于点刚体关于点O的主轴连体基的主轴连体基2022年11月26日理论力学CAI 矢量动力学基础17矢量动力学基础/惯量/转动惯量zyxO刚体对不同基点的连体基的转动惯量刚体对不同基点的连体基的转动惯量与惯量积不同，但存在关系与惯量积不同，但存在关系 刚体关于刚体关于质心质心C的惯量的惯量主轴连体基主轴连体基称为称为中心惯量主轴连体基中心惯量主轴连体基 eCzCyCxCJJJ,刚体的中心主转动惯量刚体的中心主转动惯量xyz 中心主轴连体基中心主轴连体基0 xzCzyCyxCJJJC2022年11月26日理论力学CAI 矢量动力学基础18矢量动力学基础/惯量/转动惯量/例zxxzC例例均质圆盘的转子，质心为均质圆盘的转子，质心为C。转子的转轴转子的转轴C 与圆盘中心轴与圆盘中心轴C 有如图所示一小偏角有如图所示一小偏角 zz试计算惯性积试计算惯性积JCzx 2022年11月26日理论力学CAI 矢量动力学基础19矢量动力学基础/惯量/转动惯量/解zxxzC解解cos0sin010sin0cosAee相对于相对于方向余弦阵方向余弦阵圆盘上质点圆盘上质点Pk的矢径的矢径TkkkkzyxreCeCTkkkkzyx rkkrArcossinsincoskkkkkkkkzxzyyzxxkkkkCxzzxmJ)sin(coscossin)(22 zCxCxCzJJJ)sin(coscossin)(2222kkkkkkkkzxmzxm22kkyykrkPkr2022年11月26日理论力学CAI 矢量动力学基础20矢量动力学基础/惯量/转动惯量/解对于均质圆盘的转子对于均质圆盘的转子zxxzCkP)sin(coscossin)(22 zCxCxCzCxzJJJJ中心惯量主轴连体基中心惯量主轴连体基 eC0 zCxJ241mrJxC221mrJzCcossin4cossin)(2 mrJJJCxCzCxz显然显然 eC非中心惯量主轴连体基非中心惯量主轴连体基 2022年11月26日理论力学CAI 矢量动力学基础21转动惯量的平行轴定理转动惯量的平行轴定理 刚体对不同基点连体基刚体对不同基点连体基的转动惯量与惯量积不的转动惯量与惯量积不同，但存在关系同，但存在关系 讨论刚体对讨论刚体对不同基点不同基点相相互平行互平行两两连体基的惯量连体基的惯量特性间的关系特性间的关系矢量动力学基础/惯量/平行轴定理zyxOxyzC2022年11月26日理论力学CAI 矢量动力学基础22矢量动力学基础/惯量/平行轴定理 定理描述定理描述IA ee相对于相对于方向余弦阵方向余弦阵同一刚体两个连体基相互平行同一刚体两个连体基相互平行eOeCkrzyxOxyzCC为质心为质心质点质点Pk的矢径的矢径CrkCrkPkkrkCkrrkCk Arr:ekC rkkkkOzyxmJ22kkkCkkkCkkCCkkkkxmyymxmyxyxm22)()(2222kkCkCkyyxxm22)()(kkkCCCkkkzyxzyxzyx2022年11月26日理论力学CAI 矢量动力学基础23矢量动力学基础/惯量/平行轴定理刚体对任意轴的转动惯量等于它对刚体对任意轴的转动惯量等于它对过质心的平行轴转动惯量加上刚体过质心的平行轴转动惯量加上刚体的质量与两轴垂直距离平方的乘积的质量与两轴垂直距离平方的乘积 C为质心为质心zyxOxyzCkCrkPkr2zhkkkCkkkCkkCCkkkkOzxmyymxmyxyxmJ22)()(2222Ckkkmm0kkkxm0kkkym0kkkzmzCJzhmJJmhOzCzz22xCxOxmhJJ2yCyOymhJJ02022年11月26日理论力学CAI 矢量动力学基础24kkkCkkkCkkCCkkkkxmyymxmyxyxm矢量动力学基础/惯量/平行轴定理yxCJzyxOxyzCkCrkPkrmJJmx yOxyCxyCCkkkkOxyyxmJkkCkCkyyxxm)(CCCyzOyzzmyJJCCCzxOzxxmzJJkkkCCCkkkzyxzyxzyx2022年11月26日理论力学CAI 矢量动力学基础25矢量动力学基础/惯量/平行轴定理/例zx例例图示一摆由长为图示一摆由长为 l 均质杆与一半均质杆与一半径为径为 r 的均质圆球刚连而成。的均质圆球刚连而成。质量分别为质量分别为 m1 与与 m2试计算该摆对过试计算该摆对过O且垂直杆的且垂直杆的z轴的转动惯量轴的转动惯量yO2022年11月26日理论力学CAI 矢量动力学基础26矢量动力学基础/惯量/平行轴定理/解zx1C解解过均质杆质心过均质杆质心 C1建连体基建连体基y1x1z1y2x2z2y2CO11eC过均质球质心过均质球质心 C2建连体基建连体基e平行于平行于22eCe平行于平行于2111211lmJzC222522rmJzC均质杆均质杆均质球均质球2121113121lmlmJJzCOz22222222522rlmrmrlmJJzCOz22222121)(5231rlmrmlmJJJOzOzOz系统系统