空间两直线的位置关系

2 空间两直线的位置关系空间两直线的位置关系BB1AA1DD1CC1在同一平面内在同一平面内:相交相交 有且只有一个公共点有且只有一个公共点平行平行没有公共点没有公共点异面：异面：没有公共点没有公共点公理公理4(平行公理平行公理)：平行于同一条直线的两：平行于同一条直线的两 条直线互相平行条直线互相平行 符号表示：符号表示：ab，cb ac异面直线：不同在任何一个平面内的两条异面直线：不同在任何一个平面内的两条 直线直线例例1：如图，在长方体：如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，中，E，F分别是棱分别是棱AB，BC的中点的中点 求证：求证：EFA1C1BB1AA1DD1CC1EF练习：已知空间四边形练习：已知空间四边形ABCD，E、F分别是分别是 边边AB、AD的中点，的中点，G、H分别是边分别是边 CD、BC上的点，且上的点，且 四边形四边形EFGH是什么图形？是什么图形？32CBCHCDCGDABCEFGHEFGHCBCHCDCGCD、BC上的中点，上的中点，*BDACM例例 已知已知BAC和和BAC的边的边 ABAB，ACAC，且方向相同，且方向相同 BACBAC空间等角定理：空间等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别如果一个角的两边和另一个角的两边分别 平行并且方向相同，那么这两个角相等平行并且方向相同，那么这两个角相等在平面中，在平面中，BACBACDEDE 求证：求证：例例2：在正方体：在正方体ABCDA1B1C1D1中中，E，E1 分别是棱分别是棱AD，A1D1的中点的中点 求证：求证：CEBC1E1B1DBB1AA1D1CC1EE1平行公理和空间等角定理平行公理和空间等角定理 保证了空间的线段和角在经过平移后，长保证了空间的线段和角在经过平移后，长 度和大小都保持不变度和大小都保持不变思考：过直线外一点，思考：过直线外一点，有几条直线和这条直线平行？有几条直线和这条直线平行？练习练习1.若两直线若两直线a和和b没有公共点，没有公共点，则则a与与b的位置关系的位置关系_2.直线直线a和和b分别是长方体的两个相邻的面分别是长方体的两个相邻的面 的对角线所在直线，则的对角线所在直线，则a和和b的位置关系的位置关系 是是_3.判断正误：判断正误：若若a 、b ，则，则a、b为异面直线为异面直线.若若ab，bc，则，则ac.若若a、b为异面直线，为异面直线，b、c为异面直线，为异面直线，则则a、c也为异面直线也为异面直线.若若a、b共面，共面，b、c共面，则共面，则a、c也共面也共面.一条直线和两条异面直线中的一条平行，一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行则它和另一条直线不可能平行.异面直线的判定：异面直线的判定：利用定义；利用定义；判定定理：过平面外一点和平面内一点的判定定理：过平面外一点和平面内一点的 直线，与平面内不经过该点的直线，与平面内不经过该点的 直线是异面直线直线是异面直线 符号表示：若符号表示：若A ，B，B l，l ，则直线则直线AB与与l是异面直线是异面直线 两点一线一面两点一线一面 常用方法：反证法常用方法：反证法例：求证过平面外一点和平面内一点的直例：求证过平面外一点和平面内一点的直 线，与平面内不经过该点的直线是异面线，与平面内不经过该点的直线是异面 直线直线 已知：已知：A ，B ，B l，l 求证：直线求证：直线AB 和和l是异面直线是异面直线 ABl例：求证空间四边形例：求证空间四边形ABCD的一组对角线的一组对角线 AC、BD是异面直线是异面直线 在空间四边形中，各边所在直线异面的共在空间四边形中，各边所在直线异面的共 有几对？有几对？DABC例：已知不共面的三直线例：已知不共面的三直线a、b、c相交于点相交于点 O，M、P是是a上两点，上两点，N、Q分别在分别在 b、c上上 求证：求证：MN、PQ异面异面.acbOPMQN定量定量空间内空间内O点点“任取任取”，即角的大小与点即角的大小与点O的位置选取无关，只由的位置选取无关，只由 两直线的相对位置所确定；两直线的相对位置所确定；a、b相交，相交，转化为平面内两相交直线所成的角进行度转化为平面内两相交直线所成的角进行度 量，立体问题平面化；量，立体问题平面化；0 90异面直线所成的异面直线所成的角角特别地：特别地：90时，称两条异面直线互相时，称两条异面直线互相 垂直垂直 记作：记作：ab *空间两直线互相垂直，不一定有垂足空间两直线互相垂直，不一定有垂足 异面直线互相垂直一定没有垂足异面直线互相垂直一定没有垂足AA1BB1CC1DD1例求异面直线所成的角例求异面直线所成的角OMEFMNL*中位线中位线主要步骤：主要步骤：构造平面角；构造平面角；证明；证明；求角计算求角计算转化为平面角转化为平面角定量定量异面直线的异面直线的距离距离 和两条异面直线都垂直、相交的直线，和两条异面直线都垂直、相交的直线，叫做两条异面直线的公垂线叫做两条异面直线的公垂线公垂线段的长度公垂线段的长度