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三、计算题与证明题1.(19871,11)问”,6为何值时，线性方程组X+工2+七,+ Z =0， x2+2x3+2x4=1,x2+(a 3)x32x4= b,3X1+2x,+ ax4=-1有唯一解，无解，有无穷多组解?并求出有无穷多组解时的通解.【考点】非齐次线性方程组解的理论的应用.解 方法一：B =I11100122100u 10b + 000CI 10B = A:/?01b + 10(1)当R(A)=4。a H 1时，方程组有惟一解;当a =1时，方程组无解或无穷多解，此时111122000000当b =-1时.R(A)= R(B)=24，方程组有无穷多解;此时方程组的通解为1=当b H 1时.R(A)=2, R(B)=3,方程组无解.综上可得：当a丰1时，方程组有惟一解;(2)当a =,b =1时,方程组有无穷多解;(3)当a =,b-1时,方程组无解.方法二:方程组的系数行列式a=(a 1)2.当|川=(a -1)? a H 1时，方程组有惟一解；(2)以下同方法一.【注意】含有参数的线性方程组的解的讨论都是用方法一或方法二解决.但方法一具有普遍性,即这类问题都可用方法一求解;方法二具有特殊性,其适用范围是：方程的个数等了未知数的个数；方程组的系数行列式含参数.(2)求解这类问题的关键点是先讨论方程组有惟一解的情形，再讨论无解或无穷多解.切记切记.2.(1987II;1990IV)设A为阶矩阵,4和%是A的两个不同的特征值;Xt,X2是分别属于和%的特征向量,试证明X,+*2不是A的特征向量.【考点】特征值的定义，性质及向量组线性相(无)关的定义.解反证法:假设士+工2是A的特征向量，则存在数A，使得A(X+x2)=+%),则(A 4)%|+4)工2二0因为4。4，所以网,工2线性无关厕%4 = o4=。=为矛盾.【注】矩阵的不同的特征值所对应的特征向量线性无关.3.(1987N, V)设矩阵A和B满足关系式AB = A + 28 ,其中A = 11 0，求矩阵8.-12 3【考点】解矩阵方程.解由 8 = A + 2B = B = (A -2E)-A4.(1987IV, V)解线性方程组2%|一占+4七一314=4,X)+ x3 x4=-3,3xt + x2+ x3=1,7x)+7x33x4=3.【考点】求解依齐次线性方程组.2-14-3:-41010:3101-1:-3r01-20:-8解 B =(Ab)=3110:10001:6707-3:30000:0Xj =x2+3由R(A)= R(B)=3A = PBP-I =2006-1-1A5= PB5P-=PBP= A.【注意】若 A = PBP Ak = PBkP；一般地，设9(x)=+ qx +/,则方阵 A 的多项式9( A)= cimAm +,+ ciE = P(p(B) P00201ljB =01 X027.(1988I, H)已知矩阵 A =0000y 0相似:0-1求x与y ；(2)求一个满足PAP = B的可逆矩阵P.【考点】相似矩阵的性质及一般矩阵的对角化方法.解方法一：A与6相似厕一之同=怛-2|,BP(2 A)(A xA 1)=(2 A)(A+(1 y)A y),比较系数，得f-x = l - y x =0.l-i =-y y = i方法二:B的特征值为2, y,-l.由A与8相似,则A的特征值为2, y,-l .故2+ y +(-l)=2+0+ x J 尤=02-y-(-l)=|A|=-2y =1【注意】方法一具有一般性;方法二具有特殊性(为什么?)如果利用方法二得到的不是惟一解，则方法二失效.但方法二比较简单.建议:做填空题与选择题时用方法二.做解答题时用方法一.分别求出A的对应于特征值4=2,4=1,4=一1的线性无关的特征向量为令可逆矩阵MP-AP = B.8.(1988-IV)设3阶方阵A的伴随矩阵为A*,且|川=；，求|(3A)-1-2A*.【考点】矩阵运算的性质.12解(3A)-,-2A*=- A-2|A| Al = A)所以|(3A)T2A*|=-A-=(-)3|A-,|=-7=-.1133271Al27(3A)-12A= A 12A*=2/4*则33|A|3|（3A）T-2A*卜=（一料与卜一泉4|I3-1 =_2127【注意】求解此类问题，一般是将行列式中的式子先化简，再求行列式.此处用到矩阵的如下性质:*=|吐什卜#1=.IA（kAY=-A,k0-,A-=r-7；A k|A|9.（1988IV, V）设向量组%,%，4（522）线性无关，且=a,+a2,p2= ez2+ iz3, A-i =,-i +s，A =-讨论向量组川，夕2，氏的线性相关性【考点】向量组的线性相关性的判别方法.解方法一:设XP+尤222+ XsPs =0，即（演+儿）%+（石+%2）%+一+（4一1+%）%=0因为。卜。2, 一，线性无关，则为+&=0M + x =0-，其系数行列式4|+凡=0同=当s为奇数,同=2/0,方程组只有零解,则向量组4,夕2,血线性无关;当s为偶数，同=0,方程组有非零解，则向量组几/2,，氏线性相关方法二:显然（%,外 ，氏）=（%,%,区）1、00因为四,。2,a$线性无关，则R（尸”夕2,四）W min/?（a”a2,，a）R（K）= R（K）（1）R（K）=5|=1+（-!）|0=5为奇数时，/?（夕,夕,，氏）=s，则向量组才，/2,，氏线性无关;K(K) s为偶数时，R(/3血,血) s ,则向量组A，夕2,，氏线性相关【注意】已知夕i，夕2,，夕可由线性表示的具体发达式，且四，。2,线性无关时,用方法二求解一般较简便.若B可逆，则R(AB)= R(A).一般地R(AB)厕当上2 w 1时,R(A)=3H R(B)=4,方程组无解;当2=1时，R( A)= R(B)=34，方程组有无穷多解，且1000-8r0I203Bf0001200000则通解(一般解)为综上:当改 w 2时，方程组有惟一解;当尤=2且2201时,方程组无解;当氏1=2且&=1时,方程组有无穷多解,且一般解为*式.方法二：（特殊情形）方程组的系数行列式同=6（2占）.当=6（2匕）w 0= k尸2时，方程组有惟一解似下同方法一.11 .（1988-V）已知阶方阵A满足矩阵方程A2342=0.证明A可逆，并求出其逆矩阵【考点】抽象矩阵是求逆.A _ CA _ F解由 A2-3A-2E =0n AJ = E = A 可逆，且 Ai =-.2212 .（198%一1,11）问之为何值时，线性方程组xl+x3=2,4a?+ x,+2x、=4+2,6%j +x2+4x3=22+3有解，并求出解的一般形式.【考点】含参数的非齐次线性方程组解的讨论及非齐次线性方程组的求解.10 1；20 1 -2 ； -32 + 20 0 0: -2 + 1-101；2解 B =Atb=412:2+24614:22+3线性方程组有解。R（A）= R（B）一/1+1=0=71=1,其通解为-11x - k 2+1,k为任意常数.1 j 113.（1989-1, II）假设4为阶可逆矩阵A的一个特征值，证明:1 .A*（1）一为AT的特征值；（2）为A的伴随矩阵4的特征值. AA【考点】特征值的概念.证（1）设A对应于特征值几的特征向量为x,则A#01Ax = Ax = AAx）= A（Ax）= AAx = x= Ax = x.A*a(2)Ax = Ax= A (Ax)= A (Ax)= AA x =|A|x = A x =x.14.(198IV, V)已知 X = AX + 8 ,其中 A =0-1( -n1 ,B= 2。-1J(503，求矩阵X .【考点】解矩阵方程.0-3022-1-10-3-10115. (1989IV)设 a1=(1,1,1), a2=(1,2,3), a?=(1,3,0.（1）问当t为何值时,向量组线性无关?问当t为何值时,向量组ax,a2,线性相关?(3)当向量组a,a2,出线性相关时，将a3表示为ax和a2的线性组合.【考点】含参数的向量组线性相关性的讨论及求向量由向量组线性表示的具体表示式. 解方法一：（一般情形）A = (a：, a, a；)12t-5（1）当.力5时,7?（，02，。3）= /?（公，域，。；）=3=4,72，03线性无关；上=5 时,7?(。,。2，&3)= R(a ,a,a ) = 2 线性相关;T1a3 =-a.方法二：（特殊情形）a,a2, a3线性无关A = a,a2,a3 = 11当/=5时,%,a2，ai 线性相关;令3=+ x2a2 n 4=a+2a2-【注意】方法:只有在向量组所含向量的个数等于向量的维数时才适用.-122、16.(1989IV,丫)设 A =2-1-2、22-1,(1)试求矩阵A的特征值；(2)利用(1)的结果，求矩阵E +的特征值，其中是二阶单位矩阵.【考点】特征值的计算及特征值的性质.解|4-/1目=一(1一1)2(5+/1)厕4的特征值为1,1,一5.(2)设2为可逆矩阵A的特征值,x为对应的特征向量，则Ax = Ax = Ax =2-lx =(f + Al )x =(1+2-1)x.,4即1+/1T为E +的特征值.所以E + A的特征值为2,2,-.17.(1989-V)讨论向量组q=(1,1,0),a2=(L3,1),。3=(5,3,f)的线性相关性.【考点】含参数的向量组线性相关性的讨论.解参考15.(1989-1V).答案：当f 1时线性无关;当t =1时线性相关18.(1990 I ,H)设四阶矩阵1-100-213401-100213B =,c =001-1002100010002且矩阵A满足关系式A(E-C-B)TCT = E,其中E为四阶单位矩阵,表示C的逆矩阵,表示C的转置矩阵,将上述关系式化简并求矩阵A.【考点】解矩阵方程及矩阵的运算.解 A(E B)TCT = E ACl(C - B)YCT = E A(C - B)T(C)TCT = E=A(C - B)t (CC-)t = E=A(C-B)t = E10T , -1 1 a=(c-b)ty=，1 -A010 O-0010,-21【注意】在解矩阵方程时，如果矩阵方程中含有已知矩阵A的逆矩阵A或伴随矩阵A*,利用AA”= A“A = E 或 AA*= A* A = E化掉A7或A*.19.(19901,n)求一个正交变换化二次型f = x：+4x；+4x；-4xtx2+4无8-8x2x3成标准形.【考点】利用正交变换化二次型为标准形的方法.-1-22解(1)写出二次型的矩阵:4=-24-4.2-44(2)求A的特征值：|A 义同=万(9一1)= A的特征值为九=，4=9.求A的两两正交且单位化的特征向量:对应于特征值42=0的线性无关的特征向量为，正交化得z/i =，单位化得P1=22忑3亚14忑,。2 =37505_ 3亚I31对应于特征值4 2 =0的线性无关的特征向量为= -2，单位化得。3 =22323(4)构造正交变换:令正交矩阵P =Pl，P2, P3=-22忑3#)314_2忑3630523753，则所求正交变换为2_2_1753753、,114_2忑充一3 y,052 L%331(5)写出二次型的标准形:二次型的标准形为f=9yj.【注意】利用正交变换化二次型为标准形的步骤：写出二次型的矩阵；求A的特征值；求A的两两正交且单位化的特征向量；(4)构造正交变换；(5)写出二次型的标准形.20.(1990IV, V)已知线性方程组Xj + x2+ x3+ x4+ x5= a3x+2x,+ x4-3x5=0x2+2x3+2x4+6x5= b5X1+4x2+3x3+3x4-x5=21000-1200-1200-56002300.方程组的解(Da、b为何值时,方程组有解？(2)方程组有解时，求出方程组的导出组的一个基础解系；(3)方程组有解时，求出方程组的全部解.【考点】含参数的线性方程组解的讨论.解参考1O.(1988-IV, V),此题只能用方法一(一般情形)(为什么?请读者自己考虑).11111: a11111: a3211-3:0r01226:3aB =(A 1/?)=01226:/j00000: b-3a5433-1:2_00000；2-2a_b 3a=0(a =(1)方程组有解 R(A)=|2|=1.(xTx =国丰0)【注】注意本题的4是正交矩阵，由此有如下结论:实对称正交矩阵的特征值必为士1.24 .(1991 I)已知%=(1,0,2,3),4=(1,1,3,5),%=(1，1，。+2,1),%=(1,2,4, a +8)及夕=(1,1/+3,5).(1)为何值时,夕不能表示成,%，%，%的线性组合？(2)。,/?为何值时,万有%，%，%，%的唯的线性表示式?并写出该表示式.【考点】含有参数的向量可由向量组线性表示的讨论.解可由4,%,%，%线性表示 O 线性方程组须。1+/2%+ X3a3+ X4a4=夕仃解I111I 一01-12I23a+24b +3351a +851111A 01-12f 00a +10000a+111b0当a =-l,b h 0时，线性方程组无解,0不能由apa2,a +0010:hQ +10001;02hcZ4-/?4-lb0,所以人J人,人，。+1,1，人3Q +1i，a +1X4一a + l。+。+1a.-a +a2b+a +%+0%.当a #1时，线性方程组有惟解.尸可由%，4,%,惟.地线性表示.此时25.(1991 I/1)设4是”阶正定矩阵,E是阶单位矩阵，证明A + E的行列式大于1.【考点】正定矩阵的性质，特征值的性质,实对称矩阵的对角化理论.证方法一:A为阶正定矩阵厕A的特征值40,40,，40.而A + E的特征值分别为4+11,4+11,。,4+1 L则|a+=(4+ D(4+1)，(4i +i)i.方法二:A为阶正定矩阵，则存在正交矩阵U，使得U-AU =由ag(4,4,，儿),即A = UAU-.其中4,否，,&为a的特征值，且4o,4o,0.则A + E=u AU-+UEU=u(+ E)U-=u-+=|A + E|=+1)(4+1)(4+1)1.26.(1991IV, V)设有三维列向量。+/1(1、%=1=1+4、J11,1、1 ，夕=、1+乙飞、2问2取何值时:(1),可由a1，a”出线性表示，且表达式惟一;（2）/可由%,%,由线性表示，且表达式不惟一；（3），不能由四，。”。？线性表示.【考点】含参数的向量可由向量组线性表示的讨论，等价于含有参数的线性方程组解的讨论.解方法一：（一般情形）r1+211；0（aa2,a3: J3）=11+21:211+4:4,（111+2；22、402-A-2（1-2）.、00-2（3+2）:2（1-22-22）?2*020（1）当/?（,2,3）=/?（/,a2,a3,/?）=3+时,可由 a,a2, a3惟一地线性表示;当2=0时，/?（4,%,%）=夫（%,。,，,小）=11=-3时,3（6,）=2 W /?（四,。2,。3,夕）=3,夕不能由,%,线性表示.1+211方法二：11+ A1=，（3+之）.111+2当 * 0=202-3时.7?（。1,，。3）= 3，1可由，。2，惟一地线性表示;（2）当4=0时,oj （0 01 : 0、0 : 00 : 0,111（,，,3：/?）=111J 11/?（4,。2,）= R（%，%，夕）=1线性表示 xtat + x2a2+/%,=有解。（名，。2,，）=尸有解。Ax =用有解，其中A =（at,a2,am）夫（q,。2,我（四,。2,，本题实质I：等价为(1+4)X+%+%3=0X ,+(1+ A)x2+x3=A有惟一解，无解，有无穷多解.XI +2+(l +/l)Xj = A.27.(1991IV)考虑二次型/=龙；+ x；+ x；+2Ax,x2-2xtx3+4x2x3问义取何值时，/为正定二次型？【考点】判别二次型正定的霍尔维茨定理.1 a -r解二次型的矩阵4=242.则C 24，A,=101 2,/为正定二次型。4,=4-202 24A3=|A|=4(12)(2+2)028.（1991IV）试证明n维列向量外,。2，a“线性无关的充分必要条件是aa2a；a“D=a2ai a2a2H0a：% a；%其中a：表示列向量生的转置,i =1,2,.【考点】线性无关的判别定理，分块矩阵的运算,矩阵的性质.证维列向量。1,。2，“，。“线性无关0|A|=J H。又a(Tax ala：%T,冈aAl =T a2(apa2,-T a、aa；4 a； aKJaa；%,T* a a n则=|A1,即 OhOo|a| o.297991-V）设阶矩阵A和8满足条件A + B = AB.1-30证明A-E为可逆矩阵；(2)已知8=210，求矩阵A.002_【考点】证明抽象矩阵可逆及解矩阵方程.证(1)由 A + B = AB (A E)B (A E)= E =(A E)(B - E)= E,则 A E 可逆.1由得,A =(B E)+ E =1-02-103002I)-213O.(1991-V)已知向量a =(l,k,l)T是矩阵A=121的逆矩阵4的特征向最，试求常数112k的值.【考点】特征值与特征向量的概念.解设尤为对应于a的A的特征值，则A-a =Aa= AAa = a .解方程组得k =1或一2.【注意】(1)已知含参数的矩阵A的特征值，求参数时，方法是运用特征值的性质或特征多项式求解：(2)已知含参数的矩阵A的特征向量，求参数时，方法是运用特征值与特征向量的定义，得线性方程组再解之.31.(1992 I ,11)设向量组4,。2，03线性相关，向量组。2，。3，。4线性无关，问：(1)%能否由线性表出?证明你的结论.(2)能否由线性表出?证明你的结论.【考点】向量组线性相关的性质.解(1)1|能由a”。线性表出.事实上,a线性无关，则a,a?线性无关，乂必，a,a彳线性相关，所以必能由。2，。3线性表出.(2)=4不能由a1，a2，23线性表出.方法一：/?(6,%，a31a4)N /?(%,%，)=3/?(%,%)=.方法二:假设a4能由,。2，%线性表出由(1)知a能由，。3线性表出厕能由。2，火线性表出，与。2，。3，。4线性无关矛盾32.(1992- I ,11)设三阶矩阵A的特征值为4= I,%=2,4=3,对应的特征向量依次为(1)将一用媪,刍,专线性表出;(2)求A/(为自然数).【考点】向量的线性表示,特征值与特征向量的概念.X解(1)解方程组+X2g2+七43=夕。(刍，自2，43)%2=/得夕=2刍一2与+务XiJ2-2n+1+3n、(2) Anfl =2A?2A4+ A笺3=-24%+44=2-2n+2+3B+l .2-2n+3+3n+2/33.(1992II)设A,8为3阶矩阵，/为三阶单位矩阵，满足AB +/=+8.又知1 o rA=020,-101求矩阵B.34 .(1992IV)设矩阵A与B相似,其中【考点】已知矩阵的特征值求知阵含参数;相似矩阵的性质;矩阵的相似对角化.解方法一：4与5相似,则,_/1目=忸_/1可,即(2+2)(22-(X +1)2+(X -2)=(1+2)(2- A)(y -2),解得 x =0, y =-2.方法二:显然B的特征值为一1,2,y ； A有特征值一2. A与8相似,则A与3有相同的特征值，故 y =-2.又（-1）+2+ y =（-2+x + l = x = OA的时应于特征值-1,2,-2的特征向量分别为Pi =，令可逆矩阵 P =(P”P2，P3)，则尸一以=8.【注意】(-1)+2+,=(-21)- x 4-1(1)对(1)求解时，若由.、/-，得苍y有无穷多解，此时这种方法失效.(-1)-2-y =|A|=-2(x-2),(2)在的解法中，方法二非常简便,它综合运用了特征值的性质，避免了烦琐的计算.读者不觉得好好玩味一下吗？35 .(1992IV)已知三阶矩阵BHO，且B的每一个列向量都是以下方程组的解：x+2x2-2x3=0, x2+ Ax3=0,3x(+ x2- x3=0.求4的值；证明忸1=0.【考点】线性方程组解的理论的应用.解(1)由题意知，齐次线性方程组有非零解，则方程组的系数行列式12-2A=2-12=5(2-l)=0=A = l.31-1(2)由题意，得AB =0.若固X 0=。=0,矛盾，所以冏=若或由=0= R(A)+ R(B)43;又 A x0= R(A)1,则 R(B)|B|=0.【注意】(1)若=0,则有下面两个常用的结论:R(A)+ R(8)4 s .若8 N ，则齐次线性方程组Amxsx =0有非零解.(2)|A“*“|= R(A)0,/5)，20,故T 7)A。、O B,= xrAx+yBy0,A O即C =是正定矩阵.O B, A A,E O ,.方法二:用特征值证明.|cte|=从一义斗忸一力同,即c的特征值由O B AEA, B的特征值的全部.而A, B的特征值全大于零，则C的特征值全大于零，即C是正定矩阵.【注意】讨论抽象矩阵的正定性，一般用上面两种方法.10137 .(1992-V)设矩阵A=020,矩阵X满足4*+/=42+乂，其中/为三阶单位矩阵.101试求出矩阵X .【考点】解矩阵方程.解由 AX +/= A2+ x =(A-/)X =(A-/)(A +/).又|4-/|=一1#0,则201、X = A +1=030.J 02,【注意】此题也可由X =(A-/y(A2一)求解，但计算烦琐.在矩阵的运算时，应尽量应用矩阵的性质先化简.38 .(1992V)设线性方程组X+2工22七=0,2xj -x2+ Ax3=0,3xj + x2=0的系数矩阵为A，三阶矩阵8 w。,且AB =。.试求2的值.参考35.(1992IV)的(1).39 .(1992-V)已知实矩阵A =满足条件：)%=4( i, j =1,2,3),其中4是%的代数余子式;(2)X 0.计算行列式A.【考点】伴随矩阵及其性质;行列式按行(列)展开定理.解由%= A”, n A，= A*= AAt = AA*=|A| E =|A=0或=1.又=+ai2Al2+43A3= a1+a0n=1.40.(19931,11)已知二次型f =2xf +3x；+3石4-2a 2x3 x(a 0,通过正交变换化为标准形f = y；+2y；+5y；,求参数a及所用的正交变换矩阵.【考点】二次型理论;用正交变换化：次型为标准形的方法.200、解二次型的矩阵A=03a，则A的特征值为4=1,4=2,4=5.由、0 a 3,a0|A-Z|=(2-l)(l2-62+9-a2)=(l-2)(2-A)(5-A)=a =2.a0或由=444=9a2=5=a =2.对应于特征值4 = 1的特征向量刍-1，单位化，得Pl =科对应于特征值4=2的特征向量42，单位化，得p2对应于特征值4=5的特征向量刍=，单位化，得3= 自0 1Pl正 、。1正1总则所求的正交变换矩阵尸=(P” P2,03)=1P_L&Lx41.(1993 I, II)设A是 xm矩阵,5是m x 矩阵淇中(AB)x =0=/x =0= x =0,则8的列向量组线性无关.方法二:用矩阵的秩证明.n R(B) R(AB)=/?(/)= R(B)= n，则B的列向量组线性无关.42.(1993II)已知R的两个基为求由基4,4, a?到基丹，夕2，夕3的过渡矩阵P【考点】过渡矩阵的概念;矩阵的运算.解(夕l，A，夕3)= (%。2，。3)尸= 尸=(%，。2，。3尸3，夕2，63)=20-13-I04、 0 -1.【注意】由基a”%,，到基自，夕2,，4的过渡矩阵定义为(川,夕2,，4)=(。1。2，、火)尸，即P是向量组/，42,，4由4,CT2,，巴线性表示的系数矩阵.43.(1993IV) k为何值时，线性方程组X+*2+ kxy =4,-xt + kx2+x3=k2,%1 x2+2K34,有唯一解.无解，有无穷多组解?在有解情况下，求出其全部解.【考点】含参数的线性方程组解的讨论.解方法一：(一般情形)11 kB = (A-b)= -1 k 1 ,1-12方程组有惟一解o R(A) = R(B) = 3kh-1202k-2d)(l + k)248k(k-4)(4-k)(l + k)2今丰k 1且Zh4,此时k2+2kk +k2+2k+4k +2kk2 + 2k则解为X=,工2k+k2 + 2k+4Z + l 32kk + l(2)当 k =-1时,R(A)=2 H R(8)=3，方程组无解.当k=4时,R(A)= R(B)=2 k W -1且上W 4时，方程组有惟一解，由Crammer法则得解为11一141-12-4、当k =-1时,B =(A力)=-1-1I1r02-38、1-12-4、0005k2+2kk2+2k +4x.=, x2=k+12k+R(A)=2 w R(8)=3,方程组无解.114；4、1-12；-4、(3)当 k =4吐8=(A %)=-141；1022：81I 1-12 i-4)、000；0)R(A)= R(B)=2011；4000；0；，解为，丁=工2=,则通解x3+4（0（-3、为x=4+c 1,其中c为任意常数. loJ44.（1993IV）设二次型/= X；+ X：+ x；+2axl+2夕七+2xr经正交变换x=Py化成/=$+2y；,其中x =（X,x“）,和y =都是三维列向量,P是三阶正交矩阵.试求常数a,（3.【考点】二次型理论.a =0.（这里为什么不能用特殊方法,请读者自己思考）.1111为，试求其伴随矩阵A*的逆矩阵.346.（1993V）设A是加x 矩阵8是 xm矩阵,E是阶单位矩阵（mn ），已知BA = E .试判断A的列向量组是否线性相关?为什么？参考（1993 I ,11）.%+%,=0,47.（19941,11）设四元齐次线性方程组（1）为彳_又已知某齐次线性方程组（II）的通-X4=。解为匕(0,1,1,0+-1,2,2,1)；（1）求线性方程组（I ）的基础解系；（2）问线性方程组（I ）和（11）是否有非零公共解?若有，则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由.【考点】齐次线性方程组的基础解系;两个线性方程组的公共解.X|=一4解（i）线性方程组（i）的解为Xj 一 .取七=七，得所求基础解系。=(o,o,1,0)4=(-1,1,0,1).优+ k =0（2）将方程组（II）的通解代入方程组（I ）,得42=匕=一心.当匕=一22#0时，方4+女2=0程组（I ）和（II ）有非零公共解，且为X =一玲（0,1，1，0）+ k2（-1,2,2,1）=&（T，1,1）= k（T,1,1，1）其中女为不为零的任意常数.【注意】求两个线性方程组Ax =仇和Bx = b2的公共解的方法.心=b若已知两个方程组Ax = A和8x =,则求它们的公共解就是求.一的解;Bx = bJ若已知一个方程组Ax = U和另一个方程组Bx = b2的通解（方程组Ar = b2未知），则求它们的公共解的方法是:将Bx=b2的通解代入到已知方程组Ax =中，解出Bx = b2的通解中任意常数的条件（如果任意常数无解，则无公共解）,再代入Bx = b2的通解中，从而得到方程组Ax =和Bx =4的公共解；若已知两个方程组Ax =4和= b2的通解（两个方程组未知），则求它们的公共解的方法是:令两个方程组的通解相等，只要解出一个方程组（不妨设为Ax =仇）的通解中的任意常数的条件（如果任意常数无解，则无公共解）,再代入Ax =4的通解中，从而得到方程组Ax =4和Bx = b2的公共解.（4）对于两个齐次线性方程组，由于它们总有公共的零解，因此关于它们公共解的讨论为它们是否有公共的非零解.本题是第二种情形.为了让读者了解两个方程组公共解的求法,下而举两例说明第一和第三种情形.（它们是本题的变形）%+ x,=0 X.+=0例1求线性方程组和的公共的非零解.x2-x4=0x2- x,=0X1+%=X x Q解这是第一种情形.所求公共的非零解即为方程组27一的非零解，可求得为X,4- x4=0x2 x3=0X =1,1,1)，其中k为不为零的任意常数.例2已知齐次线性方程组(I )的通解为x =6(0,0,1,0)+4(-LLO),又已知某齐次线性方程组(II)的通解为占(0,1,1,0)+&(1,2,2,1).求线性方程组(I )和(II)的非零公共解.解令人(0,1,1,0)+&(-1,2,2,1)=0,0,1,0)+4(-LL0,1)，解得=-k2.当%=-k2#0时，方程组(1)和(II)的非零公共解为x =-fc2(0,1,1,0)+&2(-1,2,2,1)=*2(-1,1,1,1)=*(-1,1,1,1)其中2为不为零的任意常数.请读者比较本题与例1和例2的解题思路，条件不同，解题方法也不同,虽然目的是一样的.48 .(1994- I, H)设A为阶非零矩阵,A*是A的伴随矩阵,是A的转置矩阵.当A*= Ar时，证明|4卜0.【考点】矩阵的乘法;伴随矩阵的性质.证由A*=4,=44,=44*=同及假设M =0=4=。.考虑A47的主对角线上的元素，令 AAr - B =(/)，则儿=q： Hba：=0= aa = a/2= ajn =0,即 A 的第 i行的元素全为零，由i的任意性，得4的元素全为零，即A = O,矛盾.49 .(1994- H)设A是阶方阵，2,4,，2是A的个特征值，/是阶单位阵.计算行列式,-3”的值.【考点】特征值的性质或矩阵的对角化.解方法一:由特征值的定义，马上得至U：若之为4的特征值厕义一3为A-3/的特征值(为什么?).所以A-3/的特征值为一1,1,3,，2一3,故|-3Z|=(-l)xlx3x-x(2n-3)=-(2n-3)!.方法二:4有个不同的特征值，则A能对角化，即存在可逆矩阵P，使得PAP = A = diag(2,4,2)=A = PAP，|A-3Z|=|PAP-3/|=|P(A-3Z)P-,|=|A-3/|=-(2n-3)!.50.(1994IV)设线性方程组23X+。工2+。|工3= aX + Q X 一323%!+a3x2+43X3= a23再+a4x2+。4工3=%(1)证明:若I,%，的，4两两不相等，则此线性方程组无解;(2)设q =%=%,。2=%=.k(k工0),且已知4，42是该方程组的两个解淇中【考点】非齐次线性方程组有解的判别定理;非齐次线性方程组解的性质及结构;范德蒙行列式.证(1)R(A)3(更进一步R(A)=3,为什么?)，而，范氏行列式忸I =n( l ji4-a”0nR(8) = 4因为R(A) H R(B)，所以线性方程组无解.(2)经计算得R(A)= R(B)=2【考点】特征值与特征向量.解 A -尤同=-(1-2)2(1+2)=4,2=1，4=一1对于二重特征值4,2=1应有两个线性无关的特征向量，则/?(A-E)=1=x+y =0.【注意】(1)此类问题的理论根据是:重特征值有重数个线性无关的特征向量，即设4为阶矩阵A的r重特征值，则A有属于之的r个线性无关的特征向量。R(A-AE)=- r.关键是考虑重特征值情形,最后转化为含参数的矩阵的秩的讨论.(2)矩阵A能对角化(与对角矩阵相似)。A的重特征值有重数个线性无关的特征向量.001、(3)本题的等价问题是:设A = x 1 y能对角化(与对角矩阵相似)，求x和y应满足的条件.J 052.(1994V)设是齐次线性方程组Ax =0的一个基础解系.证明at +a2,a2+ ai,ai+al也是该方程组的一个基础解系.【考点】基础解系的概念.证显然Ax =0的基础解系含三个线性无关的解向量.由齐次线性方程组解的性质，知 a,+a2,a2+ai,ai+ai 为 Ax =0的解.只须证明 at +a2,a2+ai,a3+al 线性无关.rl 01、(4+%。2+03。3+aj =(%,%9)110=(a1；a2,a3)、01 b而 R(K)=3=/?(%+a2,a2+a3,a3+at)= R(al,a2,ai)=3,即 ai +a2,a2+a3,a3+a,线性无关.【注意】要证明四，a2，。，为齐次线性方程组Ax =0的基础解系，必须说明：(1)。1，。2，一，。是4尤=0的解；(2)r =齐次线性方程组Ax =0的未知数的个数一 R(A)；?乌，,明线性无关53.(1995 I ,11)设三阶实对称矩阵A的特征值为4=-1，4=4=1,对应于4的特征向量为【考点】实对称矩阵对角化理论.解设时应于特征值4=4=1的特征向量为x,则。与x正交，即g；x =0,其基础解系为3叩2=归3= T .令可逆矩阵 P =(O44)，则 pTAP = A = diag -，4)及 E U100、A = PAP=00-1.、0-10,【注意】此类问题为已知矩阵A的特征值和特征向量，求矩阵4.问题的关键是利用矩阵与对角矩阵相应包括两种情形：(1)已知矩阵A的全部特征值和全部线性无关的特征向量.求矩阵A .这时A不定是对称矩阵,只能由P AP = A求A ；(见本题解法)知矩阵A的仝部特征值和部分线性无关的特征向邕求矩阵A .这时A 一定是对称矩阵.在求出 A的全部线性无关的特征向量后(利用实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量正交)，可以两种方法处理：同(1).由P AP = A求A.(此时需求逆矩阵)求出A的全部两两正交且单位化的特征向量.构造正交矩阵U .由C/TAU =UAU = A得A = UAU.(此时不需要求逆矩阵,但多了向量组的正交单位化过程)建议读者用方法，以便统一处理这类问题.54 .(1995- I ,11)设A是阶矩阵，满足AA，=/(/是阶单位矩阵，4,是A的转置矩阵川川0,求|A +/|.【考点】矩阵的运算性质.解 k +/|=|A + A41=|A(/+ Ar)|= kH(A + T)=|AHA +/|A|(i-|a|)|7i +/|= o=|a+/|= o.55 .(1995
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