极值点偏移问题

极值点偏移问题总结一、判定方法1、极值点偏移的定义对于函数yf(x)在区间(a,b)内只有一个极值点x，方程f(x)0的解分别为x、x，且axxb，1212(1) 若士H,x，则称函数yf(x)在区间q,x)上极值点x偏移；20120(2) 若Hix,则函数yf(x)在区间(x,x)上极值点x左偏，简称极值点x201200左偏；(3) 若=2x，则函数yf(x)在区间(x,x)上极值点x右偏，简称极值点x201200右偏。2、极值点偏移的判定定理判定定理1对于可导函数yf(x)，在区间(a,b)上只有一个极大(小)值点x，方程f(x)0的解分别为x、x，且axxb，1212(1) 若f()0，则工2()x，即函数yf(x)在区间(xx2)上极大(小)值点x右(左)偏；0(2) 0若广(口2)0，则=2()x，即函数yf(x)在区间(x,x)上极大220i2(小)值点x左(右)偏。0证明：(1)因为可导函数yf(x)，在区间(a,b)上只有一个极大(小)值点x0，则函数yf(x)的单调递增(减)区间为(a,x0)，单调递减(增)区间为(x,b)，又axxb，有二2(a,b)由于f(二Z)0，故二2(a,x)，所以1222207二2()x，即函数极大(小)值点x右(左)偏。200判定定理2对于可导函数yf(x)，在区间(a,b)上只有一个极大(小)值点x0，方程f(x)0的解分别为x、x，且axxb,1212(1) 若f(x)f(2x一x)，则xix)x即函数yf(x)在区间(x,x)上极1022012大(小)值点x右(左)偏；0(2) 若f(x)f(2x一x)，则xix()x即函数yf(x)在区间(x,x)上极1022012大(小)值点x左(右)偏。0证明：(1)因为对于可导函数yf(x)，在区间(a,b)上只有一个极大(小)值点x，则函数yf(x)的单调递增(减)区间为(a,x)，单调递减(增)区间为(x,b)，又axxb，有xx，且2x一xx，又f(x)f(2x一x)，故x)2x一x，1210020102102所以=2)x，即函数极大(小)值点x右(左)偏.200结论(2)证明略。二、运用判定定理判定极值点偏移的方法1. 方法概述：(1) 求出函数f(x)的极值点；(2) 构造一兀差函数F(x)f(xx)-f(x-x)00(3) 确定函数F(x)的单调性；(4) 结合F(0)0，判断F(x)的符号，从而确定f(xx),f(xx)的大小关系。002. 抽化模型答题模板：若已知函数f(x)满足f(x)f(x)，x为f(x)的极值点，求证：xx2x120120(1) 讨论函数f(x)的单调性并求出f(x)的极值点x；假设此处f(x)在(-,x)上单调递减，在(x,+8)上单调递增。00(2) 构造F(x)f(x+x)一f(x一x)；00注：此处根据题意需要还可以构造成F(x)f(x)-f(2x-x)0(3) 通过求导F(x)谈论F(x)的单调性，判断处F(x)在某段区间上的正负，并得出f(x,x)与f(x-x)的大小关系;00假设此处F(x)在(0,+)上单调递增，那么我们便可以得出F(x)F(0)f(x)-f(x)0，从而得到：xx时，f(x,x)f(x-x)00000(4)不妨设xxx，通过f(x)的单调性，f(x)f(x)，f(x,x)与f(x-x)的大小1021200关系得出结论;接上述情况：由于xx日寸,f(x,x)f(x-x)且xxx，f(x)f(x)故00010212f(x)f(x)fx+(x-xfx-(x-x)=f(2x-x)，又因为xx，2x-xx且120200200210020f(x)在(,x0上单调递减，从而得到xi2x0-x2,从而xi+x22x0得证;(5) 若要证明f(宁)0还需进一步讨论宁与x的大小，得出宁所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证;此处只需继续证明：因为x,x2x故xi+x2x，由于f(x)在(-,x上单调递减,120200故f(4乙)02说明：(1) 此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心;(2)此类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求f(x)的单调性、极值点，证明f(x,x)与f(x-x)或f(x)与f(2x-x)的大小关系；若试题难度较大，贝V直接000给出形如x,x2x或者0日寸，g(x)g(0)=0即f(1+x)f(1-x)xx,不妨设xx,由(1)知x1,121212fp)=f(x)=f1+(x-1)f11-(x-1)=f(2-x)12222x1.2-x2-x，即x+x21212【法二】欲证x+x2，即证x2-x1221由法一知0x1，故2-x1121又因为f(x)在(1,+8)上是单调递减的，只需证f(x)f(2-x),21又因为f(x)=f(x)，故也即证f(x)f(2-x)，1211构造函数h(x)=f(x)-f(2-x)，xe(0,1)由h(x)=f(x)-f(2-x)=xG-e2x-2)exh(x)在(0,1)上单调递增，h(x)h(1)，0故原不等式xx2成立12【法三】由f(x)，f(x)得，xe-x，xe-x2，化简得ex2=，Z12112x1不妨设xx，由法一知0x1e212例3：已知X1,x2是函数f(x),ex-ax的两个零点，且X1x2(1)求证：x+x2122)xx112例4：已知函数f(x)若存在x,x(xx)，使f(x)，f(x)，0,求证:121212xiaex2变式训练：1.设函数f(x)，exax+a(agR)的图像与x轴父于A(x,0),B(x,0)(xx)两点,1212(1)证明：fQxx)0(2)求证：xxx+x12122.设函数f(x)，aInx-bx2,其图像在点P(2,f(2)处切线的斜率为-3,当a，2时，令g(x)，f(x)kx,设x,x(xx)是方程g(x)，0的两个根，x是x,x的等差中1212012项,求证：g(x)003.已知函数f(x)，alnx(agR)x(1)若a，2,求函数f(x)在G,e2)上的零点个数;(2)若f(x)有两零点x,x(xx),求证：2x+x3ea-111212124.已知函数f(x)，-x2+(1a)xalnx2(1)讨论f(x)的单调性；(2) 设a0,证明：0xa时，f(a+x)f(ax)(三) 含对数式的极值点偏移问题根据f(x)，f(x)建立等式，通过消参、恒等变形转化为对数平均，捆绑构造函数,12利用对数平均不等式链求解。对数平均不等式的介绍与证明两个整数a和b的对数平均定义:L(a,b)=L(a,b)0，证明：当0xf(1x);aaa(3) 若函数y=f(x)的图像与x轴交于A,B两点，线段AB中点的横坐标为x，证明：f(x)00(四) 含指数式的极值点偏移问题指数不等式：emen在对数平均的定义中，设a=em,b=en，贝JE(a,b)=m-n工根据对数平均em(m=n)不等式有如下关系mtne2E(a,b)emtenT例1(全国1卷2016理21)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点x,x?,证明：x+x2121212例3.设函数f(x)=ex-ax+a(agR)的图像与x轴父于A(x,0),B(x,0)(xx)两点，证1212明：fQX%2)0变式训练：已知函数f(x)二ax2-ex(aeR)在0,+a)上有两个零点x,xxx1212(1) 求实数a的取值范围；(2) 求证：x+x4；12