人教A版高中数学必修一充分条件、必要条件、全称量词、存在量词(知识精讲)

充分条件、必要条件、全称量词、存在量词 知识精讲一 知识结构图内 容充分条件、必要条件、 全称量词、存在量词考点充分条件、必要条件 充要条件含有一个量词的命题的否定关注点谁是条件，谁是结论 充分性与必要性的证明方向量词改变，结论否定二.学法指导1.定义法判断充分条件、必要条件1 确定谁是条件，谁是结论；2 尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件； 3 尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件。2. 充要条件的证明策略1 要证明一个条件 p 是否是 q 的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两 个命题“若 p，则 q”为真且“若 q，则 p”为真.2 在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明 p 与 q 的解集是相同的，证明前必 须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论.1 利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围1 化简 p，q 两命题；2 根据 p 与 q 的关系 充分、必要、充要条件 转化为集合间的关系；3 利用集合间的关系建立不等式；4 求解参数范围.4.全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法：1 要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合 M 中的每个元素 x 证明 p x 成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合 M 中的一个 x，使得 p 通常所说的“举出一个反例” .x 不成立即可 这就是2 要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合 M 中，能找到一个 x 使 p x 成立 即可；否则，这个存在量词命题就是假命题.5.含有一个量词的命题的否定的方法(1) 一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词 命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词， 同时否定结论(2) 对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定 三.知识点贯通知识点 1充分条件、必要条件的判断1. 若 pq，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件。2.若 pq，但 q 3.若 qp，但 p 4、若 p q，且 qp ，则称 p 是 q 的充分不必要条件q ，则称 p 是 q 的必要不充分条件p，则称 p 是 q 的既不充分也不必要条件例 1.指出下列各题中 p 是 q 的什么条件 (1)p：x30，q：(x2)(x3)0.(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等 (3)p：ab，q：acbc.知识点二充分条件、必要条件、充要条件的应用1. 记集合 Ax|p(x)，Bx|q(x)，若 p 是 q 的充分不必要条件，则 A B，若 p 是 q 的必要不充 分条件，则 B A.2. 记集合 Mx|p(x)，Nx|q(x)，若 MN，则 p 是 q 的充分条件，若 NM，则 p 是 q 的必要条 件，若 MN，则 p 是 q 的充要条件例题 2：已知 p：2x10，q：1mx1m(m0)，若 p 是 q 的充分不必要条件，则实数 m 的取 值范围为_知识点三充要条件的证明1.一般地，如果既有 pq，又有 qp，就记作 pq.此时，我们说，p 是 q 的充分必要条件，简称充 要条件概括地 说，如果 pq，那么 p 与 q 互为充要条件例题 3 .求证：关于 x 的方程 ax2bxc0 有一个根是 1 的充要条件是 abc0.知识点四 全称量词命题和存在量词命题的判断 1.全称量词与全称量词命题22n2 n2 n2 n2 n*2*2*2*2*22(1) 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示(2) 含有全称量词的命题叫做全称量词命题，通常将含有变量 x 的语句用 p(x)，q(x)，r(x)，表 示，变量 x 的取值范围用 M 表示，那么全称量词命题“对 M 中任意一个 x，p(x)成立”可用符号简记 为xM，p(x)2存在量词与存在量词命题(1) 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示(2) 含有存在量词的命题，叫做存在量词命题，存在量词命题“存在 M 中的元素 x，使 p(x)成立”， 可用符号简记为“xM，p(x)”例题 4指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假(1)xN,2x1 是奇数；1(2)存在一个 xR，使 0；x1(3)对任意实数 a，|a|0；1(4)有一个角 ，使 sin .知识点五含有一个量词的命题的否定一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论：全称量词命题 p：xM，p(x)，它的否定p：xM，p(x)；存在量词命题 p：xM，p(x)，它的否定p：xM，p(x)全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题例 5.(1)设命题 p：nN，n AnN，n 2CnN，n 22，则命题 p 的否定为( )BnN，n 2DnN，n 2(2)命题“xR，nN，使得 nx”的否定形式是( )AxR，nN ，使得 nx BxR，nN ，使得 nxCxR，nN，使得 nxDxR，nN ，使得 nx五 易错点分析易错一 充要条件的证明例题 6.试证：一元二次方程 ax bxc0 有一正根和一负根的充要条件是 ac0.