圆的一般方程[1]

圆的一般方程圆的一般方程教学目标教学目标 1 1、掌握圆的一般方程及一般方程的特点、掌握圆的一般方程及一般方程的特点 2 2、能将圆的一般方程化为圆的标准方程、能将圆的一般方程化为圆的标准方程 3 3、能用待定系数法由已知条件导出圆的方程、能用待定系数法由已知条件导出圆的方程 4 4、培养学生数形结合思想、培养学生数形结合思想,方程思想方程思想,提高学提高学 生分析问题及解决问题的能力生分析问题及解决问题的能力.重点重点:圆的一般方程及一般方程的特点圆的一般方程及一般方程的特点 难点难点:圆的一般方程的特点及用待定系数法求圆的一般方程的特点及用待定系数法求 圆的方程圆的方程.rbyax2)(2)(2ba,圆的标准方程的形式是怎样的？从中可以看出圆心和半径各是什么？r【课前练习】1.1.圆心在（圆心在（-1,2-1,2），与），与 y 轴相切的圆的方程轴相切的圆的方程.(x+1)2+(y-2)2=12.2.已知圆经过已知圆经过P(5,1),(5,1),圆心在圆心在C(8,3),(8,3),求圆方程求圆方程(x-8)2+(y-3)2=133.3.已知两点已知两点A(4,9)(4,9)、B(6,3),(6,3),以以AB为直径为直径的圆的方程是的圆的方程是(x-5)2+(y-6)2=10(x-2)2+(y-2)2=4 或或 (x+2)2+(y+2)2=4202C(2,2)C(-2,-2)xy-2-2y=x4.4.求圆心在直线求圆心在直线y=x上上,与两轴同时相切与两轴同时相切,半径为半径为2 2的圆的方程的圆的方程.小结小结:利用圆的标准方程解题需要确定圆的圆心和半径利用圆的标准方程解题需要确定圆的圆心和半径.二、导入新课 1、同学们想一想，若把圆的标准方程、同学们想一想，若把圆的标准方程展开后，会得出怎样的形式？展开后，会得出怎样的形式？rbyax2)(2)(202222222rbabyaxyx2、那么我们能否将以上形式写得更简单一点呢？、那么我们能否将以上形式写得更简单一点呢？022FEyDxyx3、反过来想一想，形如上式方程的曲线就一定是圆吗？、反过来想一想，形如上式方程的曲线就一定是圆吗？022FEyDxyx4422)2(2)2(2FEDEyDx2,2ED4、将、将左边配方，得左边配方，得（1）当）当时时,可以看出它表示以可以看出它表示以为圆心为圆心,以以为半径的圆为半径的圆;D2+E2-4F02422FEDr(2)当当D2E24F0时，方程表示一个时，方程表示一个点点 ；)2,2(ED (3)当当D2E24F0时，方程无时，方程无实数解实数解,不表示任何图形不表示任何图形观察：圆的标准方程与圆的一般 方程在形式上的异同点.圆的标准方程圆的一般方程)04(02222FEDFEyDxyxrbyax2)(2)(222222212610(2)26100(3)26130 xyxyxyxyxyxy 判断以下方程是不是圆的方程?（）是是不是不是不是不是例例1：下列方程各表示什么图形下列方程各表示什么图形?若是圆则若是圆则求出圆心、半径求出圆心、半径.0112422)1(22yxyx22(2)20(0)xyaxa22222(2)20)0 xyaxxaya由得（22(1)224121 0 xyxy 解：由2212602xyxy得22211)(3)2xy即：（13故它表示以（，）为圆心,422为半径的圆.a,0a故它表示以（）为圆心，为半径的圆例例2：_,4),3,2(0)1(22FEDFEyDxyx则半径为的圆心为已知圆巩固：巩固：4-6-3_,02)2(22的取值范围是则表示圆aayaxyx21,aRa_,024)3(222bxbbyxyx则切轴相与圆2或或-2(1)圆的一般方程与圆的标准方程的联系:一般方程配方展开标准方程小结一:FEDED421),2,2(22半径圆心例例3：求过三点：求过三点A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)的圆的方程的圆的方程圆心：两条弦的中垂线的交点圆心：两条弦的中垂线的交点半径：圆心到圆上一点半径：圆心到圆上一点xyOEA(5,1)B(7,-,-3)C(2,-,-8)几何方法几何方法方法一：方法二：待定系数法方法二：待定系数法待定系数法待定系数法解：设所求解：设所求圆的方程为圆的方程为：222()()(0)x ay br r因为因为A(5,1),B(7,-3),C(2,8)都在圆上都在圆上222222222(5)(1)(7)(3)(2)(8)abrabrabr 235abr 22(2)(3)25xy所求所求圆的方程为圆的方程为例例3：求过三点：求过三点A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)的圆的方程的圆的方程方法三：待定系数法方法三：待定系数法解：设所求解：设所求圆的方程为圆的方程为：因为因为A(5,1),B(7,-3),C(2,8)都在圆上都在圆上22222251507(1)7028280DEFDEFDEF 4612DEF 22(2)(3)25xy即所求所求圆的方程为圆的方程为22220(40)xyDx Ey FDEF2246120 xyxy例例3：求过三点：求过三点A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)的圆的方程的圆的方程注意:求圆的方程时,要学会根据题目条件,恰当选择圆的方程形式:若知道或涉及圆心和半径若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用我们一般采用 圆的标准方程圆的标准方程较简单较简单.若已知三点求圆的方程若已知三点求圆的方程,我们常常采用我们常常采用 圆的一般方程圆的一般方程用待定系数法求解用待定系数法求解.小结二:(特殊情况时特殊情况时,可借助图象求解更简单可借助图象求解更简单)练习：求过三点O（0,0），的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。)2,4(),1,1(21MM 例4：已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆 上运动，求线段AB的中点M的轨迹 方程。4)1(22yx 练习：已知点P在圆C：上运动，求线段OP的中点M的 轨迹方程。0216822yxyx综合检测：自点综合检测：自点A(-3，3)发射的光线发射的光线l 射到射到x轴上，被轴上，被x轴轴 反射，反射，其反射光线所在的直线与圆其反射光线所在的直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0 相切，相切，求反射光线所在直线的方程求反射光线所在直线的方程.B(-3，-3)A(-3，3)C(2,2)小结小结1.圆的一般方程圆的一般方程:X X2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0(+Dx+Ey+F=0(其中其中D D2 2+E+E2 2-4F0).-4F0).2.2.圆的一般方程与圆的标准方程的关系圆的一般方程与圆的标准方程的关系:(1)(1)(2)(2)圆的标准方程的优点在于它明确指出了圆的圆心及半径圆的标准方程的优点在于它明确指出了圆的圆心及半径,而而一般方程突出了方程形式上的特点一般方程突出了方程形式上的特点.3.3.圆的标准方程与二元二次方程圆的标准方程与二元二次方程AxAx2 2+Bxy+Cy+Bxy+Cy2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0的关的关系系:(1)(1)A=CA=C0,(2)B=0,(3)D D2 2+E+E2 2-4AF0-4AF0时时,二元二次方程才表示圆的二元二次方程才表示圆的一般方程一般方程.4.4.圆的一般方程的特点圆的一般方程的特点:(1)(1)x x2 2和和y y2 2的系数相同且不等于的系数相同且不等于0.0.(2)(2)没有没有xyxy这样的二次项这样的二次项,因此只要求出了因此只要求出了D,E,FD,E,F就求出了圆的就求出了圆的一般方程一般方程.,D DE Ea ab br rD DE EF F 2212224课堂检测：课堂检测：1.已知圆过点已知圆过点P(4，3)，圆心在直线圆心在直线 2xy10上，且半径为上，且半径为5，求这个，求这个 圆的方程圆的方程变式变式1 求满足下列条件的各圆求满足下列条件的各圆C的方程：的方程：(1)和直线和直线4x3y50相切，圆心在直相切，圆心在直线线xy1=0上，半径为上，半径为4；(2)经过两点经过两点A(1，0)，B(3，2)，圆心圆心 在直线在直线x2y0上上的内部，求实数的内部，求实数a 的取值范围的取值范围变式变式2 若点若点(1，)在圆在圆x2y22ax2 ay0(a0)的外部，求实数的外部，求实数a的取值范围的取值范围3.画出方程画出方程x1 表示的曲线表示的曲线.变式变式3 画出方程画出方程y3 表示的曲线表示的曲线.3321y 24xx 2.若点若点(1，1)在圆在圆(xa)2(ya)24本节小结：本节小结：圆的标准方程和一般方程；圆的标准方程和一般方程；用待定系数法求方程中的基本量用待定系数法求方程中的基本量课后作业：课后作业：必做：必做：P124：2、3 选做：选做：P144：7、8