《现代控制理论》第3版课后知识题目解析

现代控制理论参考答案第一章答案1-1 试求图1-27 系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。图1-27系统方块结构图解：系统的模拟结构图如下：图1-30双输入-双输出系统模拟结构图系统的状态方程如下：x = x12Kx = bx2 J 32KK1K x=Px x+x + Px3J3J4J 5 J61111 x=x43 x= K x+ K X51316KKK x=1x i x+4 U6K1 K 6Kppp令0 (s) = y，则 y = xi所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为10x1x2x3x4x5x6000KK2-P1Kp0- K100nJ0100001J0000KpJ01KK1-iKpx1x2x3 +x4x5x6y=1 0000x3x400000KiKp1-2有电路如图1-28所示。以电压u (t)为输入量,求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程和以电阻R 2 上的电压作为输出量的输出方程。解：由图，令i = x ,i = x ,u = x，输出量y = R x1 1 2 2 c 3 2 2R11x=i x 一x +u1L iL 3LRx+ L x + x = u111111 1 3R1有电路原理可知：L x+ R x = x既得x=2 xL 2+ xL 322 2 2 322x=x + x=1 x +1x1233C 1C 2y= R2x2写成矢量矩阵形式为：x1x2x3R1L1R2L2L11x1x201y=b r2x1x2x31-4两输入ui，u 2，两输出yi，y 2的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。x-0100 _x-00 _11x-a-a0-axb02=2162+1x1001x0033x0-a-aax0b41543412解：系统的状态空间表达式如下所示：ux1 x200 _0a6s1aa43-1s + a1 0a5100 -1-00 -s + a0ab01610s100aaa0b5432s100 -1-00 _-as + a0a0010-21610s100aaa0b154312saW (s) = (sI - A) -i B =2ux 10W (s) = C(si A) -1B = 1 uy(2) y + 5 y + 7 y + 3 y = u + 3 u + 2u13+.TTTuX2X1X36( s +1)5A 237列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。y ，则有_ 010 _X1X2001+0_ 3_7_ 5X31相应的模拟结构图如下：1-6 (2)已知系统传递函数W(s)=，试求出系统的约旦标准型的实现，并画出相应的模拟结构图_ 10 16( s +1)_ 4333解：W (s) =+一亠 + 2s( s + 2)( s + 3)2(s + 3)2 s + 3 s + 2 sX- 3100_XO11X0_300X12=2+X00_20X133X0000X1411411x010x11x=-2-30x22x-11-3x3_ (s + 3)1-s( s + 3)(2s + 1)(s + 3)3xy =0 1-1x2x+3画出其模拟结构图1)0122)求系统的传递函数解：(2) W(s) = (sI-A) = 2 s + 30|sI - A = s( s + 3)2 + 2( s + 3) = (s + 3)( s + 2)( s +1)(si - A)-i =1(s + 3)( s + 2)( s +1)(s + 3-2( s + 3)-s-5s + 3s( s + 3)s-100(s +1)( s + 2)1r(s+3s+30 _OW (s) - (si - A) -1B -2(s+3)s(s +3)01ux(s + 3)( s + 2)( s +1)-s - 5s -1(s + 1)(s + 2)21(s + 3)( s + 2)( s +1)(s + 3)s (s + 3)(2s +1)( s + 3)W (s) = C (si - A) -1B = lo 0 uy1(s + 3)(s + 2)(s +1)(2s +1)(s + 2)(s +1)1-8 求下列矩阵的特征矢量-010(3) A -302-12-7-6（或令p =-111，得P)p11Tp21=-1p1Q 1 1-1P1_九-10 -解：A的特征方程|Xl a| =-3九-2=兀 + 62 +11九 + 6 = 0127九+ 6解之得：九=-1,九=12-2,九=_33当九=-1时，-010 _p11p11302p=p12121-12-7-6p31p31解得：p = p =一 p 令 p = 121 31 11 11P2（或令p =1，得P =12 21222p321-212_ 010 _pp1212302p=-2p2222-12-7-6p32p32当九广-2时，解得：p = -2 p , p = p22 12 32 2 120 _p13p132p23=-3p23-6p33p330 1当九1 = -3时，30-12 - 7解得：p23 一3p13, p33 二 3p13令 p13 - 1 得2)x1x=2x3411y110-12y 0 1201u解：A的特征方程祝-4 -1 |Xl A| = 1九-112-2=(九一1)( X- 3)2 = 0九一3X = 3, X = 11,2341-2_p11p11102p21=3p211-13p31p31二 p11当X1 = 3时，解之得p = p2131令 P = 1P1-2_pp丁11112p=3p+121213p31p31110-14当X =3时，12P2当X -时，41-2_p13p13102p=p323231-13p33p33解之得p = p +1, p = p12222232令 p12 = 1解之得 p13 = 0, p23 = 2p33 令 P33 = 1 得1 1 00 -1 2=1 0 2T-1 =1 1 - 21 0 10 1 -11201200-12 _38-T-1B =11-227=-5201-153-343 1 08x =0 3 0x +-50 0 1-3约旦标准型-12 u4x1-10已知两系统的传递函数分别为WJs）和W2（s）1 s + 40试求两子系统串联联结和并联连接时，系统的传递函数阵，并讨论所得结果 解：（1）串联联结11 11 s + 31s + 40s +10s + 2s +1_ s + 1s + 2 _W (s) = W (s )W (s)=211(s +1)( s + 3)1(s + 1)2s 2 + 5s + 7(s + 2)( s + 3)( s + 4)1(s +1)( s + 2)2）并联联结_ 1 1 -1 1 _s +1 s + 2+s + 3 s + 4s +11八00_s + 2 _ s +1_W (s) = W (s) 土 W (s)=111-11W (s)1第 3 版教材）已知如图1-22 所示的系统，其中子系统1、2 的传递函数阵分别为W(s)=2求系统的闭环传递函数解：101I+WW (s)W1 21s + 3s + 2s +11s+3tl + W (s)W (s)li =12s+1s+3s+2s+2s+2s(s + 3)s+21 _ 1 1ss + 2s +1s1s + 1 _s+2s+3s + 3 s + 20s +1s + 31 -1s +1s + 1(s + 2)( s +1)ss + 2s (s + 3)s + 30101s + 1_s + 3W(s) = 1/ + W (s)W (s)liW (s) =121 s +31-11（第 2 版教材） 已知如图1-22 所示的系统，其中子系统1、2 的传递函数阵分别为_ 1W(s)=1W(s)=2s1s + 2求系统的闭环传递函数 解：W(s)W(s)=11_ 1s1s + 210I + W(s)W(s)=1101b + W(s)W(s)li = s(s +111s 2 + 5s + 2s + 3s + 221ss + 2s +1W(s) = h + W (s)W (s)liW (s) = s(s +111s 2 + 5s + 2s + 221ss + 2s +1_ 1s1s + 2s + 32s( s + D(s + 2)2ss 2 + 5s + 222( s + 2)+s + 2 s +1s+31+s(s + 2) s(s + 2)21一一 +s s +1(s + 1)2(3s + 8)(s + 2)2( s 2 + 5s + 2)s3 +6s2 +6s(s + 2)(s2 + 5s + 2)s +1s 2 + 5s + 2s + 2s 2 + 5s + 21-12 已知差分方程为y(k +2)+3y(k +1)+2y(k)=2u(k +1)+3u(k)试将其用离散状态空间表达式表示，并使驱动函数u的系数b（即控制列阵）为1)b=解法 1：2 z + 3z 2 + 3z + 211+ z+1 z+2一 1x(k+1) = 0一2x(k) +1u( k)1y (k) = E 11x (k)解法 2：x (k +1) = x (k)12x (k +1) = -2x (k) - 3x (k) + u2 1 2y(k) = 3x (k) + 2x (k)12x( k +1)=0-21-3x (k) +01 u( k)y (k) = b 2 lx (k)求T使得T-1B =得T-1 = 1 1 所以101 _1 - 40 _0 1-2-30 1-5 -1T-1AT =CT = b 21 0 -11=b -11所以，状态空间表达式为11 u(k)-40z( k +1) =51 z( k) +5 1y (k) = b - 1z( k)第二章习题答案2- 4用三种方法计算以下矩阵指数函数eAt。(2) A= 1 114 1丿解：第一种方法：令 卜1 - A = 0则=0，即(九一 1)2 4 = 0。-4 九-1求解得到九=3 ，九=-112当九=3时，特征矢量p1 =21由 Ap1” 1 p1，得113p213p21p + p = 3 p11 21 114 p + p = 3 p11 21 21，可令p二1当当2一1时，特征矢量p：由 Ap21pp121241p22p2221p12“22二九2 p2，得，可令 p2p12+ p22一 p124 p + p1222=-p2222T11eAt =211 -1111 _一一e3t + ete3t et0242244et1111一e3t + ete3t +_ 24 _2224第二种方法，即拉氏反变换法：s 11si A =4s 1si Al1 2 =1(s - 3)(s +1)1s 1s 11(s 3)(s +1)(s 3)(s +1)4s 1(s 3)(s +1)(s 3)(s +1)+、s 3 s +1 丿(1 1 )+i | 寸 i I e+总寸Jr葺rri+寸0、訂+1寸 寸J9 T2pI寸ulsg归狂川T2 总T2 + 总三第3丄H忌20H-寸 寸1+ T2 E I&E + T20H-3-e;E Ie 0OH-rl +巾2寸T2Z + 1 寸A2e + T2+ T2eOH-3-e; + T2e (寸) 00 x =x+001uy = (1,0 )x初始状态x(0)=，输入u (t)时单位阶跃函数。解： A =sI - A =-1(sI - A A 二s21(t )= eAt = L-1(sI - A A1t01因为B =u(t)= I(t)x(t)=)x(0)+Jt(t-x)Bu(x)dx0+J t1t-x 00_ 01 _1dx1t01+J t0t-x1dx1-t 22t112 +1 +12t + 1y = b 0x=212+1+12-9有系统如图2.2所示，试求离散化的状态空间表达式。设采样周期分别为T=0.1s和1s，而u和u为分段常数。12图 2.2 系统结构图解：将此图化成模拟结构图列出状态方程x = ku 一 x1 i ix = x 一 u2 1 2y = x + 2 x21-10_k0 一ux=x+1100-1u1112y = 2 1叫x2则离散时间状态空间表达式为x (k +1)= G(T ) x (k )+ H(T )u (k )(k) = cx (k)+ Du(k)由 G(T)= eAt和 H(T)= J TeAtdtB 得：0-10_k0 -_ 2_A=B =CT =100-11e At = L-1r(si - a )-1:=L-1 v_ s +10_ =e-T0一 一-1 s1 - e-t1H = fT eAtdt = fTe -10dtk0 一=1 一 e-t0k0 _001 一 e-T1_ 0-1T 一 1 + e-TT_ 0-1k Gk 1 - e-t一 1 + e-T0-T当 T=1 时x ( k + 1) =e-10x(k)+_ k(1-e-1)01 一 e-11 _ke-1-1u (k )y (k +1)=【2 1!x (k )当 T=0.1 时()e-0.ixk +1 丿=1 - e -0.1x (k)+k 1 - e-0.1k(e-0.1 -0.9)0-0.1u(k)y (k +1)=【2 1!x (k )第三章习题3- 1判断下列系统的状态能控性和能观测性。系统中a,b,c,d的取值对能控性和能观性是否有关，若有关，其取值条件如何？（1）系统如图 3.16 所示：x图3.16 系统模拟结构图解：由图可得：x = -ax + u11状态空间表达式为：x1x2=x3x4-y=00-a000 _x1丁0-b00x02+11-c0x03001-dx40uox1 = -bx22 = -cx + x + x = x + x - cx3321123x = x- dx434y=x3由于、f、与u无关，因而状态不能完全能控，为不能控系统。由于y只与x3有关，因而系统为不完全2343能观的，为不能观系统。3）系统如下式：解：如状态方程与输出方程所示，A为约旦标准形。要使系统能控，控制矩阵b中相对于约旦块的最后一行x-110 _x-211x=0-10x+a022x00-2xb033uy=xd0c0兀素不能为0,故有a丰0, b丰0。要使系统能观，则C中对应于约旦块的第一列元素不全为0,故有c H 0, d丰0。3-2 时不变系统y=1-1- 31 -jX +1-311u试用两种方法判别其能控性和能观性。解：方法一：rankM = 1 ooHoo1Ho+ SII+ 39 + ;II1 o1o119 + s 二00ossiiiiMfi6-m9 + SII ZS9 ；0 HSM fial9IHg-(v ISW)Mo+ X9ooH119解：W (s) = S 2 + 6 S + 8 = 1 +2s-s 2 + 4s + 3s 2 + 4 s + 3系统的能控标准I型为-01 -0 _x =x +-3-41uy =(5 2L + u能观标准II型为0 -35 _x =x +1 -42uy =Io 11c + u3-10 给定列状态空间方程，试判别其是否变换为能控和能观标准型。M= b AbA 2 bL系统为不能控系统，不能变换为能控标准型。c -001 _N=CA=-1-1-3CA 21-79rankM = 2 3,rankN = 3，系统为能观系统，可以变换为能观标准型。-3711010 -0x =-2-30x +1-11-32y=I0 01xu010 -0A=-2-30，b =1-11-32解：C = t) 0 13-11 试将下列系统按能控性进行分解12-010,b=00-4311)A=,C = 1 -1解：-103-409rankM=23，系统不是完全能控的。O-1 0构造奇异变换阵R : R = b =0，R = Ab =0，R =1c123130即R =c，其中 R 是任意的，只要满足 R 满秩。3c0-10301001得 R -1 =-100130c0100-32_1_A = R -1 AR =14-2b = R-1b =0cc001c0试将下列系统按能观性进行结构分解3-12c = cR = 1 2 -1c1 2-1 0（1） A =0 10,b=0,C =0 - 43112-1 0解: 由已知得 A =010,b=00 -431,C = 1 -1-111C 1 - 1 1CA=2 - 3 2CA 24 - 7 4则有N =rank N=23，该系统不能观构造非奇异变换矩阵R -1，有R-100-1-30-1-10-101y=cRoX=b 0 0x0 1 01-2 3 0X +2-7 3 21ux = R-1 AR X + R-1bu =0 0 03-13 试将下列系统按能控性和能观性进行结构分解-1 0 0_丁（1）A=22 3,b=22 0 12,C =:AAb Ab22解：由已知得 M =12262rank M=3 ,则系统能控c-112 _N=cA=125cA27411rank N=3 ,则系统能观所以此系统为能控并且能观系统31226则 T 1 =3c2c2230 0 2 -1 0 5， B = T 1b =0c20 140则A =/ c = cT23c23-14求下列传递函数阵的最小实现。1）解：a= 1 ， B =11，A =0011c1011-B=，C =，D =c01c11cs +1 1 11010000系统能控不能观取 R 1 =1 1，则R =1 100 100 1R1 AR =10 -，B = R-1B =100010c01所以A =1 010 01C = CR =，DD =c01 00 0所以最小实现为A = 1，B =1 1，C =11，DD =0 01m m m1m0 011二 w(s )11验证：C (siA丄Bm m m3-15设Z和Z是两个能控且能观的系统12Z : A =011, b =01113411，E :2b = 1,2C = 12A = 2,2c =b i1(1 )试分析由z和z所组成的串联系统的能控性和能观性，并写出其传递函数;12(2)试分析由Z和Z所组成的并联系统的能控性和能观性，并写出其传递函数。12解：(1)三和为2串联当 Z 的输出 y 是 Z 的输入 u 时， X = 2 x + 2 x + x1 1 2 23312010101X =340X +12120uAbA2bM =by = o 0 1!x44134则rank M=23 ,所以系统不完全能控。W (s) = C (sI A) -1B =(s + 2)( s + 3)( s + 4)s 2 + 7 s +12当Z得输出y是Z的输入u时2 2 1 1011101X =341X +00021011u , y = 2 1 ox因为 M =b Ab A2b624rank M=3 则系统能控c-210_因为N =cA=321cA2654rank N=23 则系统不能观W (s) = C (sI A) -i B =s 2 + 7 s +12(2) 丫和丫并联12-010 -0_x =340x+10021M=:AAbAb 2u，y = b 1 ix14-24134因为rank M=3，所以系统完全能控c211 _N=cA=322cA2654因为rank N=3，所以系统完全能观w (s )= C (sI A )-1B =s + 2 亘2(s + 1)(s + 2 )(s + 3)2 Is + 2+ 2现代控制理论第四章习题答案4- 1判断下列二次型函数的符号性质：(1)Q(x)=x2 3x2 11x2 +2x x x x 2x x123122 313(2) v(x)= x2 +4x2 +x2 2x x 6x x 2x x123122 313解：(1)由已知得KEKKEK寸 + K KI KI XJ H (H)O二寸OVN-oah二H 0v7n Hvs二ml呂骰岀眠K-K&mB0V9IHE寸H V、oahH 0A7 E 7 寸II I|X I A| 二11a2112九一a22=九2 (a + a )九 + a a a a11 22 11 22 12 21有解，且解具有负实部。即：a + a a a11 22 11 22 12 21方法（2）：系统的原点平衡状态x = 0为大范围渐近稳定，等价于AtP + PA = -Q。e取Q二I，令p =2aiia1202a21a + a11 222a12P11P12p12p22a212a22则带入AtP + PA = -Q=4( a得到2a112a210 一-p -ii-aa +aaP二01211 22211202a2ap1-122222- -:+ a )(a a a a )主 011 22 11 22 12 21则此方程组有唯一解。即2( a + a11 22)|A _-(aIAI + a 2 + a 21 1 21 22 a +a a ) 12 22 21 11(a a + a a )12 22 21 11IaI + a2 + a211 12其中 det A = |A| = a a a11 22 :a12 21要求p正定，则要求IaI + a 2 + a 222A = P =2122 0i ii 2(a + a ) A11 22 1 1(a+ a22)2 + (知。21)20=H2212 -4( a + a )11 22因此 a + a 011 224-3 试用 lyapunov 第二法确定下列系统原点的稳定性1)1 1x =x232)解：（）系统唯一的平衡状态是x = 0。选取Lyapunov函数为V（x） = x2 + x2 0，则OAUKKZ(K+IVH-K-94 。骰軀s抿B-K白砸疤也席能K。8 T (3丄血 8 T S。呂骰Em(34Z Io V吴小吴zHZ I Z Z I I(KI X KZ + ( K+ XZ Z 二KKZ+ 吕占丄340 A ZH+ ZH ounde1 宙垠aOH (CN)o YKz( KI 37 HE EZ Z I IZK9 KK9 + 吴 zHZ I Z Z I I(KT Kz) KZ + ( KZ+ K) z z IIKKZ+ 卞乂小(乂)4o YA吴+I)UZH Z Z I z z I (Kz(K+I)bK)Kz+KKZ H z z - IKKZ+ 吕乂小(乂)43 + 3 H 3?;deV（x）是负定的。|XI fg，有V（x） fg。即系统在原点处大范围渐近稳定。4-9 设非线性方程：X x1 2X - X3 - X 2 1 2试用克拉索夫斯基法确定系统原点的稳定性。解：（1）采用克拉索夫斯基法，依题意有：Xf (X) 2-X3 - X12J(X)吋(X)Qxt0-3X211-1V (X)fT (X) f (X)L X212LX+ 2-X 3 - X12X2 + (-X3 - X )22 1 2|x| f g ，有 V (X) f g。-Q ( x ) Jt ( x) + J ( x )-3X21-1L0+-3 x 211-101-3X211-3X2-21则Q( x) 0-1 + 3 X2,根据希尔维斯特判据，有:-1 + 3 x 221A 0, A120-1 + 3 x 2i（3x2 1）2 0 ， Q（x）的符号无法判断。1（2 ）李雅普诺夫方法：选取Lyapunov函数为v（x） 3x4 + 3x2 0，则4 12 2V (x) 3x3 X + 3x X1 12 23x3 X + 3x (-X3 一 X )1 2 2 1 2-3x2 02V(X)是负定的。”X| f g，有V(x) f g。即系统在原点处大范围渐近稳定。4- 12 试用变量梯度法构造下列系统的李雅普诺夫函数X = - x + 2 x 2 x 1 1 1 2x = - xV 2 2解：假设V (x)的梯度为：计算V (x)的导数为：(a x + a x VV =11 112 2(a x + a x 丿21 1 22 2(VV )1VV 丿2V(x) = (VV)tx = (a x + a x a x + a x )11 1 12 2 21 1 22 2(-x + 2x2 x1 1 2 -x2=-a x2 -(a + a )xx 一a x2 + 2a x2x2 + 2a x3x11 1 12 21 1 2 22 2 12 1 2 11 1 2选择参数，试选a = a = 1, a = a = 0，于是得：11 22 12 21VV = fx1 ,显然满足旋度方程斗=孚也,即齐=字=0，表明上述选择的参数是允许的。则有: (x 丿OxOxOxOx2 2 1 2 1V(x) = -(1- 2x x )x2 - x2x1x2 0或2，则卩(x)是负定的，因此，计算得到V (x)为：x1(x2=0)x2 (x1=x1)V (x) = J xdx + J x dx1 1 2 200=-(x 2 + x 2)2 1 JV(x)是正定的，因此在I-2丫2 。即平严1范围内，xe = 0是渐进稳定的。现代控制理论第五章习题答案5- 1 已知系统状态方程为：1 -10 -x =0 1 1x +01 0 11u试设计一状态反馈阵使闭环系统极点配置为-1，-2，-3。解：依题意有：1-11101A=011,b=01011rankM = 3 , 系统能控。0 1 1M =b Ab A2b = 0 1 21 1 2系统工=（A, b, C）的特征多项式为：0|X I - A| =（九1）3 -（九1）+1 = X 3 - 3 九 2 + 2X +10 1则将系统写成能控标准I型，则有X = 00-1 -