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正多边形和圆 A B C D E 正多边形： 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。 正 n边形： 如果一个正多边形有 n条边， 那么这个正多边形叫做 正 n边形。 三条边相等，三个角也相等 （ 60度）。 四条边都相等，四个角也相 等（ 90度）。 想一想： 菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？为什么？ 弦相等（多边形的边相等） 弧相等 圆周角相等（多边形的角相等） 多边形是正多边形 A B C D 1 2 3 A B C D E 证明： AB=BC=CD=DE=EA AB=BC=CD=DE=EA BCE=CDA=3AB 1= 2 同理 2= 3= 4= 5 又 顶点 A、 B、 C、 D、 E都在 O上， 五边形 ABCDE是 O的内接五边形 . 4 5 E F C D . . O 中心角 半径 R 边心距 r 正多边形的中心 :一个正多边形的外接圆的圆心 . 正多边形的半径 : 外接圆的半径 正多边形的中心角 : 正多边形的每一条 边所对的圆心角 . 正多边形的边心距： 中心到正多边形的一边 的距离 . E F C D . O 中心角 n 360 中心角 nB O GA O G 180A B G 边心距把 AOB分成 2个 全等的直角三角形 设正多边形的边长为 a,半径为 R,它的周长为 L=na. R a ）边心距（）边心距（面积 ，边心距 ）（ rnarLS r a R 2 1 2 1 2 2 2 例 有一个亭子它的地基是半径为 4m的正六边形 ,求 地基的周长和面积 (精确到 0.1平方米 ). F A D E . O B C r R P 解 : . 60 6 360 半径六边形的边长等于它的 是等边三角形，从而正 ，它的中心角等于 是正六边形，所以由于 O B C A B C D E F 亭子的周长 L=6 4=24(m) )(6.413224 2 1 2 1 32 2 2 4 2 4 2 22 24 mLrS r BC PCOCOP CRt 亭子的面积 心距根据勾股定理，可得边 ，中，在 正 n边形的一个内角的度数是 _; 中心角是 _; 正多边形的中心角与外角的大小关系 是 _. n n 1 8 02）（ n 360 相等 抢答题 ： 1、 O是正 圆与 圆的圆心。 ABC的中心，它是 ABC的 2、 OB叫正 ABC的 ， 它是正 ABC的 圆的半径。 3、 OD叫作正 ABC 的 ，它是正 ABC 的 圆的半径。 A B C .O D 外接 内切 半径 外接 边心距 内切 4、正方形 ABCD的外接圆圆心 O叫做 正方形 ABCD的 5、正方形 ABCD的内切圆的半径 OE叫做 正方形 ABCD的 A B C D .O E 中心 边心距 6、 O是正五边形 ABCDE的外接圆，弦 AB的 弦心距 OF叫正五边形 ABCDE的 ， 它是正五边形 ABCDE的 圆的半径。 7、 AOB叫做正五边形 ABCDE的 角， 它的度数是 D E A B C .O F 边心距 内切 中心 72度 8、图中正六边形 ABCDEF的中心角是 它的度数是 9、你发现正六边形 ABCDEF的半径与边长具有 什么数量关系？为什么？ B A E F C D .O AOB 60度 1、正多边形的各边相等 2、正多边形的各角相等 3、正多边形都是轴对称图形，一个正 n边形 共有 n条对称轴，每条对称轴都通过 n边形 的中心。 4、边数是 偶数 的正多边形还是 中心 对称图形 ，它的中心就是对称中心 。 画正多边形的方法 1.用量角器等分圆 2.尺规作图等分圆 (1)正四、正八边形的尺规作图 （ 2）正六、正三 、正十二边形的尺规作图 由于正多边形在生产、生活实际中有广泛 的应用性，所以会画正多边形应是学生必备能 力之一。 怎样画一个正多边形呢？ 问题 1：已知 O的半径为 2cm，求作圆的内接 正三角形 . 120 用量角器度量，使 AOB= BOC= COA =120 用量角器或 30 角的 三角板度量，使 BAO= CAO=30 A O C B 你能用以上方法画出正四边形、正五边形、 正六边形吗？ A B C D O A B C D E O O A B C D E F 90 72 60 你能尺规作出正四边形、正八边形吗？ A B C D O 只要作出已知 O的互相垂 直的直径即得圆内接正方 形，再过圆心作各边的垂 线与 O相交，或作各中心 角的角平分线与 O相交， 即得圆接正八边形，照此 方法依次可作正十六边形、 正三十二边形、正六十四 边形 你能尺规作出正六边形、正三角形、正十 二边形吗？ O A B C E F D 以半径长在圆 周上截取六段相 等的弧，依次连 结各等分点，则 作出正六边形 . 先作出正六边 形，则可作正三 角形，正十二边 形，正二十四边 形 说说作正多边形的方法有哪些 ? 归纳 （ 1）用量角器等分圆周作正 n边形； （ 2）用尺规作正方形及由此扩展作正八 边形 , 用尺规作正六边形及由此扩展作正 12边形、正三角形 练习 ： （ 1）用量角器作五角星； （ 2） P116. 探究 按照一定比例 ,画一个停车 让行的交通标志的外缘 停 A B C D E O 如图： 已知点 A、 B、 C、 D、 E是 O 的 5等分点， 画出 O的内接和外 切正五边形 小结： 1、怎样的多边形是正多边形？ 你能举例说明吗？ 2、怎样判定一个多边形是正多边形？ 各边相等，各角 也相等的多边形 叫做正多边形。 根据正多边形与圆关系的 第一个定理 达标检测： 1、判断题。 各边都相等的多边形是正多边形。 （ ） 一个圆有且只有一个内接正多边形。 （ ） 2、证明题。 求证：顺次连结正六边形 各边中点所得的多 边形是正六边形。 A B C D E F
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