微分方程基础知识的复习.ppt

微分方程基础知识的复习 一 .微分方程中的 基本概念 二 .线性方程的 解的结构 三 .一阶线性常微分方程 总是可以求出 一般解 四 .二阶常系数线性齐次常微分方程 总 是可以求出一般解 一 .微分方程中的基本概念 1. 微分方程 及其 阶 2. 常 微分方程与 偏 微分方程 3. 线性 微分方程 与 非线性 微分方 程 4.齐次 微分方程与 非齐次 微分方程 5.常系数 微分方程 与 变系数 微分方程 6.微分方程的 解 与 通解 二 .线性方程的解的结构 设有二阶线性齐次常微分方程 （ 5） 定理 1， 定理 2， 定理 3， 定理 4， ( ) ( ) 0y p x y q x y 三 .一阶线性常微分方程总是可 以求出一般解 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () p x dx p x dx p x dx y p x y q x y c e e q x e dx 四 .二阶常系数线性齐次常微分 方程总是可以求出一般解 12 2 2 22 12 12 0 0 ( 1 ) , 4 0 44 , 22 r x r x y py qy r pr q pq p p q p p q rr y c e c e ),s i nc o s( , 2 , 2 4 , ,04),3( ,)( , 2 04),2( 21 2 21 2 21 21 2 1 xcxcey ppq irir qp exccy p rr qp x xr 当 当 例 2 12 2 12 12 0 , c o s sin ; 0 , ; 0 , ; xx y y y c x c x y y y c e c e y y c x c END 1.微分方程 及其 阶 微分方程是表示未知函数 、 未知函数 的导数与自变量之间关系的方程 。 微分方程中未知函数的最高阶导数的 阶数 。 2.常 微分方程与 偏 微分方程 常：未知函数的自变量只有一个的方程 ， 如 : 偏：未知函数的自变量有两个或两个以上 的方程 ， 物理上常称为数学物理方程 如 : )()()(2 2 xfyxq dx dyxp dx yd ),(2 2 2 2 2 txfx uat u 3.线性 微分方程与 非线性 微分方程 线性：未知函数及其各阶导数在方程中都 是一次 ， 如 : （ 1） ， （ 2） 非线性：含有未知函数或其各阶导数的二 次以上的项 ， 或彼此交叉乘积的项 ， 如 : （ 3） nyxqyxp dx dy )()( 4.齐次 微分方程与 非齐次 微分方程 齐次：方程中不含自由项 （ 不含未知 函数及其导数的项 ） ， 如 : （ 1） ， （ 3） 非齐次：方程中含有自由项 ， 如 : （ 2） ， 5.常系数 微分方程与 变系数 微分方程 常系数：未知函数及其各阶导数的系数为 常数 （ 与自变量无关 ） ， 如 : （ 4） 变系数：未知函数及其各阶导数项的系数 与自变量有关 ， 如 :（ 1） ， （ 3） 0522 2 y dx dy dx yd 6.微分方程的 解 与 通解 能够找出一个函数 ， 把这个函数代入微分 方程能使该微分方程成为恒等式 ， 这个函 数称为微分方程的解 。 如果微分方程的解中含有任意常数 ， 而且 任意常数的个数与微分方程的阶数相同 ， 这个解就称为微分方程的通解 （ 或一般 解 ） 。 定理 1 如果函数 y1与 y2是方程 （ 5） 的两个解 ， 则 也是方程 （ 5） 的解 。 2211 ycycy 定理 2 如果函数 y1与 y2是方程 （ 5） 的两个 线性无关解 ， 则 是方程 （ 5） 的通解 。 2211 ycycy 定理 3 设是 y*二阶非齐次线性方程 （ 6） 的一个特解 ， Y是与 （ 6） 对应的齐次方 程 （ 5） 的通解 ， 则 是二阶非齐次线性微分方程 （ 6） 的通解 。 )()()( xfyxqyxpy *yYy 定理 4 如果已知齐次方程 （ 5） 的通解为 可以用 常数变易法 求得非齐次线性 微分方程 （ 6） 的通解 。 )()()( 2211 xycxycxY