广东省2020年中考数学试题(Word版,与解析)

D. 广东省 2020 年中考数学试卷一、单选题（共 10 题；共 20 分）1.9 的相反数是( )A. 9B. 9C.1 19 9【答案】 B【考点】相反数及有理数的相反数【解析】【解答】根据相反数的定义：“只有符号不同的两个数互为相反数”可知，9 的相反数是-9. 故答案为：B.【分析】掌握相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0 的相反数是 0.2.一组数据 2，4，3，5，2 的中位数是（ ）A. 5 B. 35 C. 3 D. 25【答案】 C【考点】中位数【解析】【解答】把这组数据从小到大的顺序排列：2，2，3，4，5，处于最中间位置的数是 3， 这组数据的中位数是 3，故答案为：C【分析】把这组数据从小到大的顺序排列，取最中间位置的数就是中位数3.在平面直角坐标系中，点 (3,2) 关于 𝑥 轴对称的点的坐标为（ ）A. (3,2)B. (2,3)C. (2, 3)D. (3, 2)【答案】 D【考点】关于坐标轴对称的点的坐标特征【解析】【解答】点 (3,2) 关于 𝑥 轴对称的点的坐标为（3，-2），故答案为：D【分析】利用关于 x 轴对称的点坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数解答即可 4.若一个多边形的内角和是 540，则该多边形的边数为（ ）A. 4 B. 5 C. 6 D. 7【答案】 B【考点】多边形内角与外角【解析】【解答】设这个多边形的边数为 n, （n-2）180=540解得 n=5故答案为：B【分析】根据内角和公式即可求解5.若式子 2𝑥 4在实数范围内有意义，则 𝑥 的取值范围是（ ）A. 𝑥 2B. 𝑥 2C. 𝑥 2D. 𝑥 2， ， 1 1 11 12 2 8.不等式组 【答案】 B【考点】二次根式有意义的条件【解析】【解答】解：由题意知：被开方数 2𝑥 4 0 ，解得： 𝑥 2 ，故答案为：B【分析】根据二次根式里面被开方数 2𝑥 4 0 即可求解6.已知 𝛥𝐴𝐵𝐶 的周长为 16，点 𝐷 ， 𝐸 ， 𝐹 分别为 𝛥𝐴𝐵𝐶 三条边的中点，则 𝛥𝐷𝐸𝐹 的周长为（ ）A. 8 B.22C. 16 D. 4【答案】 A【考点】三角形的中位线定理 【解析】【解答】解：如图， 𝐷 ， 𝐸 ， 𝐹 分别为 𝛥𝐴𝐵𝐶 三条边的中点， 𝐷𝐹 =𝐵𝐶 𝐷𝐸 = 𝐴𝐶 𝐸𝐹 = 𝐴𝐵 2 2 2， 𝐵𝐶 + 𝐴𝐶 + 𝐴𝐵 = 16 ， 𝐷𝐹 + 𝐷𝐸 + 𝐸𝐹 =(𝐵𝐶 + 𝐴𝐶 + 𝐴𝐵) = 16 = 8 ， 2 2故答案为：A【分析】由 𝐷 ， 𝐸 ， 𝐹 分别为 𝛥𝐴𝐵𝐶 三条边的中点，可知 DE、EF、DF 为 𝛥𝐴𝐵𝐶 的中位线，即可得 到 𝛥𝐷𝐸𝐹 的周长7.把函数 𝑦 = (𝑥 1)+ 2 的图象向右平移 1 个单位长度，平移后图象的函数解析式为（ ）A. 𝑦 = 𝑥2+ 2B. 𝑦 = (𝑥 1)2 + 1C. 𝑦 = (𝑥 2)2 + 2D. 𝑦 = (𝑥 1)2 3【答案】 C【考点】平移的性质，二次函数 y=a（x-h）2+k 的图象，二次函数 y=a（x-h）2+k 的性质【解析】【解答】把函数 𝑦 = (𝑥 1)+ 2 的图象向右平移 1 个单位长度，平移后图象的函数解析式为𝑦 = (𝑥 1) 12 + 2 = (𝑥 2) 2 + 2 ，故答案为：C【分析】抛物线在平移时开口方向不变，a 不变，根据图象平移的口诀“左加右减、上加下减”即可解答A. 无解2 3𝑥 1 𝑥 1 2(𝑥 + 2)B. 𝑥 1的解集为（ ）C. 𝑥 1D. 1 𝑥 1【答案】 D【考点】解一元一次不等式组【解析】【解答】解：解不等式 23x1，得：x1，解不等式 x12（x2），得：x1，则不等式组的解集为1x1，故答案为：D【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无 解了确定不等式组的解集9.如图，在正方形 𝐴𝐵𝐶𝐷 中， 𝐴𝐵 = 3 ，点 𝐸 ， 𝐹 分别在边 𝐴𝐵 ， 𝐶𝐷 上， 𝐸𝐹𝐷 = 60 若将 四边形 𝐸𝐵𝐶𝐹 沿 𝐸𝐹 折叠，点 𝐵 恰好落在 𝐴𝐷 边上，则 𝐵𝐸 的长度为（ ）A. 1 B. 2C.3D. 2【答案】 D【考点】翻折变换（折叠问题）【解析】【解答】解： 四边形 ABCD 是正方形， CD AB， EFD= FEB=60，由折叠前后对应角相等可知： FEB= FEB=60， AEB=180- FEB- FEB=60， ABE=30，设 AE=x,则 BE=BE=2x， AB=AE+BE=3x=3， x=1， BE=2x=2，故答案为：D【分析】由 CD AB 得到 EFD= FEB=60，由折叠得到 FEB= FEB=60，进而得到 AEB=60，然后在 AEB中由 30所对直角边等于斜边一半即可求解10.如图，抛物线 𝑦 = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 的对称轴是 𝑥 = 1 下列结论： 𝑎𝑏𝑐 0 ； 𝑏 2 4𝑎𝑐 0 ； 8𝑎 + 𝑐 0 ，正确的有（ ）A. 4 个B. 3 个C. 2 个D. 1 个【答案】 B2 【考点】二次函数 y=ax2+bx+c 的图象，二次函数 y=ax2+bx+c 的性质 【解析】【解答】解：根据题意，则 𝑎 0 ， 𝑥 = 𝑏2𝑎= 1 ， 𝑏 = 2𝑎 0 ， 𝑎𝑏𝑐 0 ，故符合题意； 𝑏 = 2𝑎 ，令 𝑥 = 2 时， 𝑦 = 4𝑎 2𝑏 + 𝑐 0 ， 8𝑎 + 𝑐 0 ，令 𝑥 = 1 时， 𝑦 = 𝑎 𝑏 + 𝑐 0 ，由两式相加，得 5𝑎 + 𝑏 + 2𝑐 0 ，故符合题意； 正确的结论有：，共 3 个；故答案为：B【分析】由抛物线的性质和对称轴是 𝑥 = 1 ，分别判断 a、b、c 的符号，即可判断；抛物线与 x 轴有两个交点，可判断；由 𝑥 = 𝑏2𝑎= 1 ，得 𝑏 = 2𝑎 ，令 𝑥 = 2 ，求函数值，即可判断；令𝑥 = 2 时，则 𝑦 = 4𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 0 ，令 𝑥 = 1 时， 𝑦 = 𝑎 𝑏 + 𝑐 0 ，即可判断；然后得到答 案二、填空题（共 7 题；共 7 分）11.分解因式：xyx_【答案】 x(y1)【考点】提公因式法因式分解【解析】【解答】xyxx(y1)【分析】找出公因式，进行因式分解即可.12.若 3𝑥𝑚𝑦 与 5𝑥2𝑦𝑛是同类项，则 𝑚 + 𝑛 = _【答案】 3【考点】同类项【解析】【解答】解：由同类项的定义可知，m=2，n=1， m+n=3故答案为 3【分析】本题考查同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，根据同类项的定 义中相同字母的指数也相同，可求得 m 和 n 的值，根据合并同类项法则合并同类项即可13.若 𝑎 2 + |𝑏 + 1| = 0，则 (𝑎 + 𝑏)2020 = _【答案】 1【考点】偶次幂的非负性，绝对值的非负性1 1mm 【解析】【解答】 𝑎 2 + |𝑏 + 1| = 0 𝑎 = 2 ， 𝑏 = 1 ， (𝑎 + 𝑏) 2020 = 12020= 1 ，故答案为：1【分析】根据绝对值的非负性和二次根式的非负性得出 a，b 的值，即可求出答案 14.已知 𝑥 = 5 𝑦 ， 𝑥𝑦 = 2 ，计算 3𝑥 + 3𝑦 4𝑥𝑦 的值为_【答案】 7【考点】代数式求值【解析】【解答】由题意得 𝑥 + 𝑦 = 5 ， 𝑥𝑦 = 2 ， 3𝑥 + 3𝑦 4𝑥𝑦 = 3(𝑥 + 𝑦) 4𝑥𝑦 = 15 8 = 7 ，故答案为：7【分析】将代数式化简，然后直接将 𝑥 + 𝑦 = 5 ， 𝑥𝑦 = 2 代入即可15.如图，在菱形 𝐴𝐵𝐶𝐷 中， 𝐴 = 30 ，取大于12𝐴𝐵的长为半径，分别以点 𝐴 ， 𝐵 为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交 𝐴𝐷 边于点 𝐸 （作图痕迹如图所示），连接 𝐵𝐸 ， 𝐵𝐷 ，则 𝐸𝐵𝐷 度数为_的【答案】 45【考点】线段垂直平分线的性质【解析】【解答】 𝐴𝐵𝐶 = 180 30 = 1501𝐴𝐵𝐷 = 𝐴𝐵𝐶 = 75 2 𝐴𝐸 = 𝐸𝐵 𝐸𝐴𝐵 = 𝐸𝐵𝐴 𝐸𝐵𝐷 = 75 30 = 45故答案为：45的度数【分析】根据题意知虚线为线段 AB 的垂直平分线，得 AE=BE，得 𝐸𝐵𝐴 = 𝐸𝐴𝐵 𝐴𝐵𝐷 = 𝐴𝐵𝐶 = 75 ，可计算 𝐸𝐵𝐷2；结合 𝐴 = 30，16.如图，从一块半径为 的圆形铁皮上剪出一个圆周角为 120的扇形 𝐴𝐵𝐶 ，如果将剪下来的扇形围 成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为_ BAC=O = AB 【答案】13【考点】等边三角形的判定与性质，弧长的计算，扇形面积的计算 【解析】【解答】连接 OA，OB，则 BAO=1 12 2 120 =60，又 OA=OB， AOB 是等边三角形， AB=OA=1， BAC=120， 𝐵𝐶的长为：120𝜋 2𝜋180 3，设圆锥底面圆的半径为 r2𝜋𝑟 =𝑟 =2𝜋313故答案为13【分析】连接 OA，OB，证 AOB 是等边三角形，继而求得 AB 的长，然后利用弧长公式可以计算出 𝐵𝑂𝐶 的长度，再根据扇形围成圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长即可作答17.有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离 最小时扑捉把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图， 𝐴𝐵𝐶 = 90 ， 点 𝑀 ， 𝑁 分别在射线 𝐵𝐴 ， 𝐵𝐶 上， 𝑀𝑁 长度始终保持不变， 𝑀𝑁 = 4 ， 𝐸 为 𝑀𝑁 的中点，点 𝐷 到 𝐵𝐴 ， 𝐵𝐶 的距离分别为 4 和 2在此滑动过程中，猫与老鼠的距离 𝐷𝐸 的最小值为_【答案】 25 2【考点】勾股定理【解析】【解答】如图当 𝐵 、 𝐷 、 𝐸 三点共线，距离最小， 𝑀𝑁 = 4 ， 𝐸 为 𝑀𝑁 的中点， 𝐵𝐸 = 2 ，𝐵𝐷 = 42 + 22 = 25 ，𝐷𝐸 = 𝐵𝐷 𝐵𝐸 = 25 2，故答案为： 25 2【分析】根据当 𝐵 、 𝐷 、 𝐸 三点共线，距离最小，求出 BE 和 BD 即可得出答案 三、解答题（共 8 题；共 76 分）18.先化简，再求值： (𝑥 + 𝑦)2+ (𝑥 + 𝑦)(𝑥 𝑦) 2𝑥2，其中 𝑥 = 2， 𝑦 = 3【答案】 解：原式 = 𝑥 = 2𝑥𝑦 ，2+ 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 + 𝑥 2 𝑦 2 2𝑥 2将 𝑥 = 2， 𝑦 = 3代入得：原式 = 2 2 3 = 26故答案为： 26【考点】完全平方公式及运用，平方差公式及应用，利用整式的混合运算化简求值【解析】【分析】根据完全平方公式、平方差公式、整式的加减运算法则进行运算即可，最后代入数据即 可求解19.某中学开展主题为“垃圾分类知多少”的调查活动，调查问卷设置了“非常了解”、“比较了解”、“基本了 解”、“不太了解”四个等级，要求每名学生选且只能选其中一个等级随机抽取了 120 名学生的有效问 卷，数据整理如下：等级非常了解 比较了解 基本了解 不太了解人数（人） 2472 18𝑥（1）求 𝑥 的值；（2）若该校有学生 1800 人，请根据抽样调查结果估算该校“非常了解”和“比较了解”垃圾分类知识的学生 共有多少人？与 𝑦 = 1𝑥 𝑦 = 2【答案】 （1）解：由题意得： 24 + 72 + 18 + 𝑥 = 120解得 𝑥 = 6（2）解： 1800 24+72120= 1440 （人）答：估算“非常了解”和“比较了解”垃圾分类知识的学生有 1440 人.【考点】用样本估计总体【解析】【分析】（1）根据四个等级的人数之和为 120 求出 x 的值；（2）用总人数乘以样本中“非常了解” 和“比较了解”垃圾分类知识的学生占被调查人数的比例即可求出结果20.如图，在 𝛥𝐴𝐵𝐶 中，点 𝐷 ， 𝐸 分别是 𝐴𝐵 、 𝐴𝐶 边上的点， 𝐵𝐷 = 𝐶𝐸 ， 𝐴𝐵𝐸 = 𝐴𝐶𝐷 ， 𝐵𝐸 与 𝐶𝐷 相交于点 𝐹 ，求证： 𝛥𝐴𝐵𝐶 是等腰三角形【答案】 证明：在 𝛥𝐵𝐷𝐹 和 𝛥𝐶𝐸𝐹 中𝐷𝐹𝐵 = 𝐸𝐹𝐶(对顶角相等)𝐹𝐵𝐷 = 𝐹𝐶𝐸𝐵𝐷 = 𝐶𝐸 𝛥𝐵𝐷𝐹 𝛥𝐶𝐸𝐹(𝐴𝐴𝑆) 𝐵𝐹 = 𝐶𝐹 𝐹𝐵𝐶 = 𝐹𝐶𝐵又 𝐴𝐵𝐸 = 𝐴𝐶𝐷 𝐹𝐵𝐶 + 𝐴𝐵𝐸 = 𝐹𝐶𝐵 + 𝐴𝐶𝐷即 𝐴𝐵𝐶 = 𝐴𝐶𝐵 𝛥𝐴𝐵𝐶 是等腰三角形【考点】三角形全等及其性质，三角形全等的判定【解析】【分析】先证明 𝛥𝐵𝐷𝐹 𝛥𝐶𝐸𝐹 ，得到 𝐵𝐹 = 𝐶𝐹 ， 𝐹𝐵𝐶 = 𝐹𝐶𝐵，进而得到 𝐴𝐵𝐶 =，故可求解𝐴𝐶𝐵𝑎𝑥 + 23𝑦 = 10321.已知关于 𝑥 ， 𝑦 的方程组 𝑥 + 𝑦 = 4（1）求 𝑎 ， 𝑏 的值；𝑥 𝑦 = 2 𝑥 + 𝑏𝑦 = 15的解相同（2）若一个三角形的一条边的长为 26，另外两条边的长是关于 𝑥 的方程 𝑥2+ 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 的解试判断该三角形的形状，并说明理由 【答案】 （1）解：由题意列方程组： 𝑥 + 𝑦 = 4 𝑥 = 3 解得 2 与 /CO /将 𝑥 = 3 ， 𝑦 = 1 分别代入 𝑎𝑥 + 23𝑦 = 10 3和 𝑥 + 𝑏𝑦 = 15解得 𝑎 = 43， 𝑏 = 12𝑎 = 43， 𝑏 = 12（2）𝑥2 43𝑥 + 12 = 0解得 𝑥 =4 3 48482= 23这个三角形是等腰直角三角形理由如下：(2 3)+ (23)2= (26)2 该三角形是等腰直角三角形【考点】解二元一次方程组，勾股定理𝑎𝑥 + 23𝑦 = 103【解析】【分析】（1）关于 x，y 的方程组 𝑥 + 𝑦 = 4方程组𝑥 𝑦 = 2 𝑥 + 𝑏𝑦 = 15的解相同实际就是𝑥 + 𝑦 = 4 𝑥 𝑦 = 2的解，可求出方程组的解，进而确定 a、b 的值；（2）将 a、b 的值代入关于 x 的方程 x2axb0，求出方程的解，再根据方程的两个解与 26为边长，判断三角形的形状22.如图 1，在四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 中， 𝐴𝐷𝐵𝐶 ， 𝐷𝐴𝐵 = 90 ， 𝐴𝐵 是 𝑂 的直径， 平分𝐵𝐶𝐷（1）求证：直线 𝐶𝐷 与 𝑂 相切；（2）如图 2，记（1）中的切点为 𝐸 ， 𝑃 为优弧 𝐴𝐸上一点， 𝐴𝐷 = 1 ， 𝐵𝐶 = 2 .求 tan𝐴𝑃𝐸的值【答案】 （1）如图，过点 𝑂 作 𝑂𝐸 𝐶𝐷 于点 𝐸 𝐴𝐷𝐵𝐶 ， 𝐷𝐴𝐵 = 90 𝑂𝐵𝐶 = 90 ，即 𝑂𝐵 𝐶𝐵又 CO 平分 𝐵𝐶𝐷 ， 𝑂𝐸 𝐶𝐷/= 2 𝑂𝐸 = 𝑂𝐵即 OE 是 𝑂 的半径 直线 𝐶𝐷 与 𝑂 相切；（2）如图，连接 𝐵𝐸 ，延长 𝐴𝐸 交 𝐵𝐶 延长线于点 𝐹 由圆周角定理得： 𝐴𝑃𝐸 = 𝐴𝐵𝐸 ， 𝐴𝐸𝐵 = 90 𝐴𝐵 是 𝑂 的直径， 𝐴𝐵 𝐴𝐷 ， 𝐴𝐵 𝐵𝐶 AD、BC 都是 𝑂 的切线由切线长定理得： 𝐶𝐸 = 𝐵𝐶 = 2, 𝐷𝐸 = 𝐴𝐷 = 1 𝐴𝐷𝐵𝐶 𝐷𝐴𝐸 = 𝐶𝐹𝐸在 𝐴𝐷𝐸 和 𝐹𝐶𝐸 中， 𝐴𝐷𝐸 𝐹𝐶𝐸𝐴𝐸𝐷 = 𝐹𝐸𝐶 𝐷𝐴𝐸 = 𝐶𝐹𝐸𝐴𝐸 𝐷𝐸𝐸𝐹 𝐶𝐸=12设 𝐴𝐸 = 𝑎(𝑎 0) ，则 𝐸𝐹 = 2𝑎 𝐵𝐴𝐸 + 𝐴𝐵𝐸 = 𝐹𝐵𝐸 + 𝐴𝐵𝐸 = 90 𝐵𝐴𝐸 = 𝐹𝐵𝐸在 𝐴𝐵𝐸 和 𝐵𝐹𝐸 中， 𝐴𝐵𝐸 𝐵𝐹𝐸𝐵𝐴𝐸 = 𝐹𝐵𝐸 𝐴𝐸𝐵 = 𝐵𝐸𝐹 = 90𝐵𝐸𝐸𝐹=𝐴𝐸𝐵𝐸，即𝐵𝐸2𝑎=𝑎𝐵𝐸解得 𝐵𝐸 = 2𝑎在 𝑅𝑡 𝐴𝐵𝐸 中， tan𝐴𝐵𝐸 =𝐴𝐸𝐵𝐸=𝑎2𝑎=22则 tan𝐴𝑃𝐸 = tan𝐴𝐵𝐸 = 2= 【考点】平行线的性质，切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质【解析】【分析】（1）先根据平行线的性质得出 𝑂𝐵 𝐶𝐵 ，再根据角平分线的性质可得 𝑂𝐸 = 𝑂𝐵 ，然后根据圆的切线的判定即可得证；（2）如图（见答案），先根据圆周角定理可得 𝐴𝑃𝐸 = 𝐴𝐵𝐸，𝐴𝐸𝐵 = 90 ，再根据圆的切线的判定、切线长定理可得 𝐶𝐸 = 𝐵𝐶 = 2, 𝐷𝐸 = 𝐴𝐷 = 1 ，然后根据相似三角形的判定与性质可得𝐴𝐸 𝐷𝐸𝐸𝐹 𝐶𝐸=12，设 𝐴𝐸 = 𝑎 ，从而可得 𝐸𝐹 = 2𝑎 ，又根据相似三角形的判定与性质可得𝐵𝐸𝐸𝐹=𝐴𝐸𝐵𝐸，从而可得 𝐵𝐸 = 2𝑎 ，最后根据正切三角函数的定义即可得23.某社区拟建 𝐴 ， 𝐵 两类摊位以搞活“地摊经济”，每个 𝐴 类摊位的占地面积比每个 𝐵 类摊位的占地 面积多 2 平方米，建 𝐴 类摊位每平方米的费用为 40 元，建 𝐵 类摊位每平方米的费用为 30 元，用 60 平方米建 𝐴 类摊位的个数恰好是用同样面积建 𝐵 类摊位个数的35（1）求每个 𝐴 ， 𝐵 类摊位占地面积各为多少平方米？（2）该社拟建 𝐴 ， 𝐵 两类摊位共 90 个，且 𝐵 类摊位的数量不少于 𝐴 类摊位数量的 3 倍.求建造这 90 个摊位的最大费用【答案】 （1）设每个 𝐴 类摊位占地面积 𝑥 平方米，则 𝐵 类占地面积 (𝑥 2) 平方米由题意得60𝑥=60 3𝑥2 5解得 𝑥 = 5 ， 𝑥 2 = 3 ，经检验 𝑥 = 5 为分式方程的解 每个 𝐴 类摊位占地面积 5 平方米， 𝐵 类占地面积 3 平方米（2）设建 𝐴 类摊位 𝑎 个，则 𝐵 类 (90 𝑎) 个，费用为 𝑧 3𝑎 (90 𝑎) 0 0， z 随着 a 的增大而增大，又 a 为整数， 当 𝑎 = 22 时 z 有最大值，此时 𝑧 = 2920 建造 90 个摊位的最大费用为 2920 元8 𝛥𝐴𝑂𝐷| 𝑘|8|/𝐵𝐵【考点】分式方程的实际应用【解析】【分析】（1）设 𝐴 类摊位占地面积 𝑥 平方米，则 𝐵 类占地面积 (𝑥 2) 平方米，根据同等 面积建立 A 类和 B 类的倍数关系列式即可；（2）设建 𝐴 类摊位 𝑎 个，则 𝐵 类 (90 𝑎) 个，设费用为 𝑧 ，由（1）得 A 类和 B 类摊位的建设费用，列出总费用的表达式，根据一次函数的性质进行讨论即可24.如图，点 𝐵 是反比例函数 𝑦 = （ 𝑥 0 ）图象上一点，过点 𝐵 分别向坐标轴作垂线，垂足为𝑥𝐴 ， 𝐶 ，反比例函数 𝑦 =𝑘𝑥（ 𝑥 0 ）的图象经过 𝑂𝐵 的中点 𝑀 ，与 𝐴𝐵 ， 𝐵𝐶 分别相交于点𝐷 ， 𝐸 连接 𝐷𝐸 并延长交 𝑥 轴于点 𝐹 ，点 𝐺 与点 𝑂 关于点 𝐶 对称，连接 𝐵𝐹 ， 𝐵𝐺 （1）填空： 𝑘 = _；（2）求 𝛥𝐵𝐷𝐹 的面积；（3）求证：四边形 𝐵𝐷𝐹𝐺 为平行四边形 【答案】 （1）2（2）连接 𝑂𝐷 ，则 𝑆= = 1 ，2， 𝑆𝛥𝐴𝑂𝐵 𝑆𝛥𝐵𝑂𝐷= = 4 ，2= 4 1 = 3 ， 𝑂𝐹𝐴𝐵 ， 点 𝐹 到 𝐴𝐵 的距离等于点 𝑂 到 𝐴𝐵 距离， 𝑆𝛥𝐵𝐷𝐹= 𝑆𝛥𝐵𝐷𝑂= 3 ；（3）设 𝐵(𝑥, 𝑦 ) ， 𝐷(𝑥 , 𝑦 ) ， 𝐵 𝐵 𝐷 𝐷𝑥 𝑦 = 8 ， 𝑥 𝑦 = 2 ， 𝐵 𝐵 𝐷 𝐷又 𝑦= 𝑦𝐷， 𝑥𝐵= 4𝑥𝐷，同理 𝑦= 4𝑦𝐸，= = ， /= = = /8 ， ） ，得出点 M 的坐标为（， 𝛥𝐴𝑂𝐷/𝐵𝐵= = ， = = = ， 根据， 得出/𝐵𝐸 3 𝐵𝐷 3 𝐸𝐶 1 𝐴𝐵 4， 𝐴𝐵 𝐵𝐶 ， 𝛥𝐸𝐵𝐷 𝛥𝐸𝐶𝐹 ，𝐶𝐹 𝐶𝐸 1 𝐵𝐷 𝐵𝐸 3𝑂𝐶 𝐴𝐵 4 𝐵𝐷 𝐵𝐷 3，𝑂𝐶 4𝐶𝐹 1， 𝑂 ， 𝐺 关于 𝐶 对称， 𝑂𝐶 = 𝐶𝐺 ， 𝐶𝐺 = 4𝐶𝐹 ， 𝐹𝐺 = 𝐶𝐺 𝐶𝐹 = 4𝑂𝐹 𝐶𝐹 = 3𝐶𝐹 ，又 𝐵𝐷 = 3𝐶𝐹 ， 𝐵𝐷 = 𝐹𝐺 ，又 𝐵𝐷 𝐹𝐺 ， 𝐵𝐷𝐹𝐺 是平行四边形【考点】反比例函数的图象，反比例函数的性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质 【解析】【解答】（1） 点 B 在 𝑦 = 上，𝑥 设点 B 的坐标为（x，8𝑥）， OB 中点 M 的坐标为（𝑥 42 𝑥）， 点 M 在反比例函数 𝑦 =𝑘𝑥（ 𝑥 0 ）， k=𝑥 42 𝑥=2，故答案为：2；【分析】（1）根据题意设点 B 的坐标为（x，8 𝑥 4𝑥 2 𝑥），代入反比例函数𝑦 =𝑘𝑥（ 𝑥 0 ），即可得出 k；（2）连接 𝑂𝐷 ，根据反比例函数系数 k 的性质可得 𝑆=|𝑘|2= 1 ，𝑆𝛥𝐴𝑂𝐵=|8|2= 4 ，可得 𝑆 = 4 1 = 3 ，根据 𝑂𝐹 𝐴𝐵 ，可得点 𝐹 到 𝐴𝐵 的距离等于点 𝑂 到𝛥𝐵𝑂𝐷𝐴𝐵 距离，由此可得出答案；（3）设 𝐵(𝑥 , 𝑦 ) ， 𝐷(𝑥 , 𝑦 ) ，可得 𝑥 𝑦 = 8 ， 𝑥 𝑦 = 2 ，根据𝐵 𝐵 𝐷 𝐷 𝐵 𝐵 𝐷 𝐷𝑦 = 𝑦𝐵 𝐷，可得 𝑥= 4𝑥𝐷，同理 𝑦= 4𝑦𝐸，可得𝐵𝐸 3 𝐵𝐷 3 𝐸𝐶 1 𝐴𝐵 4，证明 𝛥𝐸𝐵𝐷 𝛥𝐸𝐶𝐹 ，可得𝐶𝐹 𝐶𝐸 1 𝑂𝐶 𝐴𝐵 4 𝑂𝐶 4 𝐵𝐷 𝐵𝐸 3 𝐵𝐷 𝐵𝐷 3 𝐶𝐹 1，根据 𝑂 ， 𝐺 关于 𝐶 对称，可得 𝑂𝐶 = 𝐶𝐺 ，𝐶𝐺 = 4𝐶𝐹 ， 𝐹𝐺 = 3𝐶𝐹 ，可得 𝐵𝐷 = 𝐹𝐺 ，再根据 𝐵𝐷 𝐹𝐺 ，即可证明 𝐵𝐷𝐹𝐺 是平行四边形𝑏 33 3 3， 𝑐 = ； 3 3 (1) 3 3 3将 B，D 代入得 25.如图，抛物线 𝑦 =3 36𝑥2𝑏𝑥 𝑐与 𝑥 轴交于 𝐴 ， 𝐵 两点，点 𝐴 ， 𝐵 分别位于原点的左、右两侧， 𝐵𝑂 = 3𝐴𝑂 = 3 ，过点 𝐵 的直线与 𝑦 轴正半轴和抛物线的交点分别为 𝐶 ， 𝐷 ， 𝐵𝐶 =3𝐶𝐷（1）求 𝑏 ， 𝑐 的值；（2）求直线 𝐵𝐷 的函数解析式；（3）点 𝑃 在抛物线的对称轴上且在 𝑥 轴下方，点 𝑄 在射线 𝐵𝐴 上，当 𝛥𝐴𝐵𝐷 与 𝛥𝐵𝑃𝑄 相似时，请 直接写出所有满足条件的点 𝑄 的坐标【答案】 （1） 𝐵𝐷 = 3𝐴𝑂 = 3 ， 𝐴(1 ，0) ， 𝐵(3，0) ， 将 A，B 代入 𝑦 =3 36𝑥2𝑏𝑥 𝑐得3 3279 3𝑏 𝑏 𝑐 = 03𝑏 𝑐 = 0，𝑏 = 1 解得 𝑐 = 2 2，𝑏 = 1 3 3 33 2 2（2） 二次函数是 𝑦 =(3 3)6𝑥2 (13)𝑥3 32 2， 𝐵𝐶 = 3𝐶𝐷 ， 𝐵(3,0) ， 𝐷 的横坐标为 3，代入抛物线解析式得 𝑦 =33 3 3 3 6 3 2 2=3 323 1 2 2= 3 1𝐷( 3, 3 1)，设 𝐵𝐷 得解析式为： 𝑦 = 𝑘𝑥 𝑏3 1 = 3𝑘 𝑏 0 = 3𝑘 𝑏，𝑘 = 解得 33，𝑏 = 33 3 3 3 = = 2 34 3 直线 𝐵𝐷 的解析式为 𝑦 = 33𝑥 + 3；（3）由题意得 tan ABD=3，tan ADB=1，由题意得抛物线的对称轴为直线 x=1，设对称轴与 x 轴交点为 M，P（1，n）且 n0，Q（x，0）且 x3， PBQ ABD 时，tan PBQ=tan ABD 即𝑛=，232 3，解得 n=3tan PQB=tan ADB 即2 3，解得 x=1-3𝑛1𝑥=1，此时 Q 的坐标为（1-2 33，0）； PQB ABD 时，tan PBQ=tan ADB 即 解得 n=-2，𝑛2=1，tan QPB=tan ABD 即 解得 x=1-23𝑛1𝑥=3，此时 Q 的坐标为（1-，0）；23 PQB DAB 时，tan PBQ=tan ABD 即𝑛=，23解得 n=2 33，tan PQM=tan DAE 即𝑛 3+1 𝑥1 1+3，解得 x=433-1，此时 Q 的坐标为（433-1，0）； PQB ABD 时，tan PBQ=tan ABD 即 解得 n=-2，𝑛2=1，tan PQM=tan DAE 即𝑛 3+1 𝑥1 1+3，解得 x=5-23，Q 的坐标为（5-23，0）；综上：Q 的坐标可能为 (1 , 0) ， (1 23, 0) ， ( 1,0)3 3， (5 23, 0)【考点】相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象，二次函数 y=ax2+bx+c 的性质3 3【解析】【分析】（1）根据 𝐵𝐷 = 3𝐴𝑂 = 3 ，得出 𝐴(1 ，0)， 𝐵(3，0)，将 A，B 代入 𝑦 =3 36𝑥2𝑏𝑥 𝑐 得出关于 b，c 的二元一次方程组求解即可；（2）根据二次函数是 𝑦 =(3 3)6𝑥2 (133)𝑥 232， 𝐵𝐶 = 3𝐶𝐷 ， 𝐵(3,0) ，得出 𝐷 的横坐标为 3 ，代入抛物线解析式求出 𝐷(3, 3 1)，设 𝐵𝐷 得解析式为： 𝑦 = 𝑘𝑥 𝑏 ，将 B，D 代入求解即可；（3）由题意得 tan ABD=3，tan ADB=1，由题意得抛物线的对称轴为直线 x=1，设对称轴与 x 轴交点为 M，P（1，n）且 n0，Q（x，0）且 x3，分 PBQ ABD 时， PQB ABD 时， PQB DAB 时， PQB ABD 时四种情 况讨论即可