均匀滤波器组技术

均匀滤波器组技术引言随着通信技术的广泛应用与快速发展，信号处理系统中数字信号处理、传输和存储的数 据量越来越大，为了减少计算量，节省存储空间，降低信号处理的复杂度，常常需要对信号 的抽样率进行转换，由此，多速率信号处理的技术应运而生。对于高复杂度的数字信号处理，为了能够采用低成本的数字信号处理结构，有时需要在 系统的不同阶段改变抽样频率，使用可变抽样率来实现数字信号处理应用，就称为多速率数 字信号处理。1这种系统广泛应用于图像编码、语音编码、雷达、信道化等多个领域。而此 项技术的发展与滤波器组技术的发展紧密相关，正是由于这些技术的快速发展使得多速率系 统的处理效率越来越高，因此，我们有必要对滤波器组的相关技术进行深入了解。滤波器组理论起源于上世纪八十年代，经过近三十年的发展，理论逐渐趋于成熟。1984 1986年，Smith和Mintze各自独立地研究了两通道完全重构滤波器组的设计方法； 1987年Vaidyanathan系统地提出了 M通道正交滤波器组的理论，并给出了 FIR无损(lossless) 系统的格型(lattice)结构4； 1989年，Nguyen和Vaidyanathan提出了一种双正交的两通道线 性相位滤波器组，并给出了相应的格型分解结构5； 1995年，Lin等提出了线性相位余弦调 制滤波器组的设计方法6； 1999年，Helle等人在总结前人工作的基础上给出了调制滤波器 组的一般性理论框架；同年Karp和Fliege提出了改进的DFT滤波器组的完全重构理论； 21 世纪以来，对滤波器组的研究工作更多的集中在了如何在现有结构和设计方法的基础上 利用优化的方法对其进行改进。此外，非均匀滤波器组自上世纪九十年代以来得到了快速发 展，由于非均匀滤波器理论的发展与小波变换紧密相连910，且均匀滤波器组是非均匀滤波 器组的基础，所以，本文重点对均匀滤波器组进行介绍。滤波器组技术以信号重建理论为基础，在滤波器组抽取和内插的过程中，信号会产生三 种失真：混叠失真、幅度失真和相位失真。信号的完全重建是指当滤波器组的传输函数为纯 延迟时，系统可以完全重建(perfect reconstruction)原信号，也称为(PR系统)。因此，本 文首先要对信号重建的基本理论作必要的介绍。另外，文中还将对几种典型的滤波器组进行归纳和分类。从功能上看，滤波器组可分为 分析滤波器组和综合滤波器组；从结构上看，可以分为树形结构和平行结构；从滤波器设计 角度上看，还可以分为正交镜像滤波器组，仿酉滤波器组和调制滤波器组等。本文分别对各 种滤波器组进行对比，以期给相关研究人员提供指导意见。1.信号完全重建对于给定的一个信号经过分析滤波器组后，再进行其他的相关操作，最后还可以通过综 合滤波器组恢复和重建信号。但是重建后的信号，往往不能与原信号完全相同，两者之间主 要存在以下三种误差11：(1) 混叠失真(alias distortion):主要是由于抽取产生的混叠带来的误差；(2) 幅度失真(amplitude distortion):由滤波器幅频特性产生的误差；(3) 相位失真(phase distortion)：由滤波器相频特性非线性造成的误差。信号的重建是指系统最终输出的信号X(nT )与系统输入的信号x(nT丿有如下关系:11Ax(nT ) = ex (n 一 n )T 1 0 1式中c和n都是固定的常数。也就是说，输出信号是输入信号的延迟，仅仅在幅度上两者0有常数c的差异。其对应的频域关系如下：AX (z) = cz -n 0X (z)图1 两通道滤波器组Figure 1 Two-channel filter banks根据上图中两通道滤波器组的结构，从频域对系统的传输函数进行分析，可得：X (z) = 1 H (z) G (z) + H (z) G (z) X (z) + 1 H (- z) G (z) + H (- z) G (z) X (- z)2 0 0 1 12 0 0 1 1通过上式可以看出由抽样率的转换而带来的混叠，即上式右侧第一项是输入信号X (z)对输出信号f (z)的贡献，右侧第二项则是输入信号X (z)的混叠分量对f (z)的贡献。为了实现信号的重构，首先要保证输出信号乂 (z)无混叠成分，即:H ( z) G (z) + H ( z) G (z) = 00 0 1 1取满足上式中滤波器传输函数最简单的情况：G (z) = H (-z), G (z) = -H (-z)0 1 1 0则：A1X (z) = H (z) H (- z) + H (z) H (- z) X (z)2 0 1 1 0T (z) = H (z) H (- z) + H (z) H (- z)0 1 1 0如果T(z)的幅频响应为常数，无幅度失真，且相频响应为线性相位，则该滤波器组称 为相位保持滤波器组。如果无混叠滤波器组既无幅度失真又无相位失真，则称为完全重建滤 波器组。通常人们希望通过系统后，信号能够完全重建，但是由于不同的应用场景有不同的 要求，有时更注重系统的计算量与效率，有时更希望得到大的阻带衰减，由于难以满足所有 的要求，人们只能在满足一定条件的前提下，使信号通过系统后实现近似重建。2. 分析与综合滤波器组滤波器组是一组拥有共同输入或输出信号的一组滤波器。其中有一个输入多个输出，将 信号进行子带分解的滤波器组，称为分析滤波器组；有一个输出多个输入，将输入信号进行整合重构的滤波器组，则称为综合滤波器组。12其结构示意图如下图所示：x0(n)x1(n)xM-1(n)(a)分析滤波器组AxM -1(n)HM-1(Zx(n)(b)综合滤波器组图2 分析滤波器组与综合滤波器组Figure 2 Analysis and synthesis filter banks图2(a)中所示的是一个具有共同输入信号的滤波器组。输入信号x(nT )进入M个通道,每个通道中有一个滤波器H (z), k = 0,1M - 1。设x(nT )为一个宽带信号，经过各个通k道中的带通滤波器后，被分为K个子带信号，x (n), k = 0,1M - 1，这样的滤波器组称 k为分析滤波器组。 滤波后各通道的输出信号为窄带信号，因此，信号的抽样率被降低。如果输入信号x(nT )是一个满带信号，其频谱占满-“到“的区域，而各通道的子信号具有相同的带宽B, 也就是说B =匹，则抽样率最多可降低为丄，如果抽样率低于丄，则必将出现混叠。MMTM T所以，各个通道滤波后的信号最大可进行M倍的抽取，即抽取因子D M，我们将D = M 的抽取称为最大抽取。具有多个输入信号和一个共同输出信号的滤波器组称为综合滤波器组，如图2(b)所示。综合滤波器组的输入信号为匕(n), k = 0,1M - 1，对信号先进行零值内插，经综合滤波 k器后保留了所需的子带，得到相应子带信号，再将其相加起来，就得到所求的综合信号A(n)。 为了提高系统的效率，可以把滤波器组设计为多相结构，无论是分析滤波器组还是综合 滤波器组都有I型和II型两种结构13。另外，还可以把多相结构转换为高效结构，即把数 据量较小的一端通过滤波器组，下图中(b)与(a)相比，其计算量减少了一半。(a)两通道分析滤波器组的多相结构(b)两通道分析滤波器组的高效结构图 3 两通道滤波器组的多相与高效结构Figure 3 The structure of polyphase and efficient two-channel filterbanks3. 滤波器组分类随着多速率滤波器组理论的发展，各种类型的滤波器组开始出现，人们对这些滤波器组 的改进都是围绕信号重建、计算量和滤波器通带阻带特性这几个问题来进行的，希望能够在 完全重建的基础上得到高效和大阻带衰减的滤波器组。本文将介绍几种常用的滤波器组，这 些滤波器组满足完全重建或近似重建的要求，并且性能也比较出众，是近年来人们研究滤波 器组的热点。3.1正交镜像滤波器组这类滤波器组是相对提出较早的滤波器组，其中共轭正交镜像滤波器组的提出首次满足 了完全重建的条件。这类滤波器组的优点是设计相对较为简单，由于其滤波特性取决于原型 滤波器的特性，所以它的设计就可以简化为原型滤波器组的设计，并且易于实现完全(或近 似)重构。由正交镜像滤波器组构成的多通道滤波器组，分为树形结构和平行结构两种。其 中树形结构的延迟较大，计算量随级数的增加成幂次方增长，但其滤波特性可由两通道滤波 器组的特性推断，易于实现完全重建。平行结构虽然计算量相对较小，但设计复杂，若实现 完全重建，则滤波器不能实现较窄的过渡带，且阻带衰减也不够大。下面将对两种常见的正 交镜像滤波器组进行分析。3.1.1 标准正交镜像滤波器组一个两通道标准正交镜像滤波器(quadrature mirror filter, QMF)组结构与普通的两通 道滤波器组相同，但其两个滤波器的幅频特性H (ed)与H (ed)关于叹 成镜像对称，所 01丁 2以才称之为正交镜像滤波器组。它具有的特殊频响特性可使整个系统的假频效应获得抵消， 加之这些带通滤波器均可从一只低通原型滤波器导出，执行这些滤波器时许多计算部分可以 共用，从而使整个系统的结构大为简化14。1 H(ej)X X .0兀/ 2兀3兀/ 2图4 两通道正交镜像滤波器幅频响应Figure 4 Amplitude frequency response of two-channel QMFs上图是两通道正交镜像滤波器组的幅频响应示意图，从图中可以看出H (ej )是一个低 0通滤波器，而H (ej )是一个高通滤波器。由信号重建理论可得，两通道标准正交镜像滤波1器组(QMFB)是一个无混叠输出的系统。如果用FIR滤波器实现此系统，则很容易得到线性相位的相频响应。但是对其幅频响应进行分析可知，如果要求系统无幅度失真，则H (ej )0与H (eJ )的幅频特性是不能得到陡峭的通带边缘，阻带也不能尽快衰减，也就是说这样的1线性相位滤波器是没有实用意义的。所以，只能利用优化的理论，来设计近似满足无幅度失 真的 FIR 线性相位滤波器15。文献16则证明了奇数阶椭圆低通半带滤波器可以满足无幅度 失真的条件，并可以得到陡峭的通带边缘，但只能通过非线性优化，尽量减小相位失真。因 此， QMFB 只能近似满足完全重建。人们对 QMFB 的设计焦点主要集中于对原型滤波器的 改进，或是通过优化方法调整滤波器系数17-20来得到需要的滤波器组。3.1.2 共轭正交镜像滤波器组在QMFB的基础上，有人又提出了另一种设计21，使滤波器的响应满足下式：H (z) = z -( n-1)H (一 z -1)10H (z)的定义与QMFB中H (z)的定义的幅频特性一样，只是在相频特性上不同，由11于z-1是z的共轭，所以称其为共轭正交滤波器组。经过推导，共轭正交镜像滤波器的设计 可以转化为半带滤波器的设计问题。用 FIR 滤波器来设计半带滤波器既可以满足无幅度失 真，也可以保证其线性相位。文献22还在传统傅里叶域有限长共轭正交镜像滤波器组的原 型滤波器的基础上，给出了分数阶傅里叶域共轭正交镜像滤波器组的设计方法，这种设计可 以实现完全重建。3.2 仿酉滤波器组 对于一个系统，如果其转移函数是酉矩阵，则该系统是无损耗系统，转移函数为无损耗 的转移函数。如果其转移函数可用仿酉矩阵表示，则该系统称为仿酉系统，也是无损耗系统 由仿酉系统级联构成的系统仍然是仿酉系统。两通道的QMFB的分析滤波器组多相分量矩阵为仿酉矩阵，即E (z2) E (z2)00 10E (z2) E (z2)01 11E (z2) E (z2)1 00010=E (z2) E (z2)L0 10111经证明，仿酉滤波器组可以实现对输入信号的准确重建，其调制矩阵直接引出了对输入 信号 x(nT ) 的准确重建，并且总是包含了功率互补的关系。在仿酉滤波器组的实现问题上，由于E(z2)是H (eJ )的多相结构，所以其关键仍是对 0滤波器转移函数 H (ej) 的设计。 通过引入具有仿酉性质的单元： 旋转矩阵 0cos 0B =sin 0sin 0cos 01 0和矩阵A (z)=，通过分析可得到两通道仿酉滤波器组格型网0 z -1络结构。仿酉矩阵格型结构的系数可以通过优化的方法选择，并且可以做到完全重建，这种 结构具有良好的稳定性，滤波器参数对量化误差不敏感。但是，这种设计比较复杂，而且随 着通道数的增加，计算复杂度急剧增加。实际上，用格型结构设计的滤波器组通道数一般会 在 100 以下。同时，有人还提出了复系数仿酉滤波器组的设计方法 23， 且通过仿真证明复系数 FIR 仿酉滤波器组设计方法有一定的实用性。这种方法利用了中心共轭对称矩阵的特性，得到的 滤波器具有近似线性相位的特点，具有直接处理复信号的优点。仿酉滤波器组利用了仿酉矩阵具有的无损耗特性，从而实现了完全重建。因此人们对仿 酉矩阵在滤波器组设计中的应用较为重视，在各种滤波器组的设计中都会对仿酉阵进行分 析，以达到完全重建的。3.3调制滤波器组上述几种滤波器组都可以用格型结构，高效结构来实现，但是设计比较复杂，而且会随 着通道数的增加计算复杂度急剧增加。所以当通道数比较大的时候，无法满足实时快速的要 求，在这种情况下，调制滤波器组成为了比较理想的选择。这类滤波器组通过调制一个或两 个原型低通滤波器，从而降低了滤波器组的设计难度。而且这类滤波器组还可以借助 DFT 或 DCT 的快速算法实现，有很高的计算效率。它们的不足就是不能实现完全重建。由于这 类滤波器组的计算效率较高，在很多要求实时性的场合应用较多，所以，人们对这类滤波器 组的研究较多，都希望通过改进，尽可能的实现信号重建。3.3.1DFT滤波器组如果选择一个合适的低通滤波器组H (z)，其截止频率为？M，按下面的表达式来选 择分析滤波器组和综合滤波器组中各个通道的滤波器转移函数：H (z) = H (zW k), k = 1,2 M 1kMG (z) = G (zW k) = MH (zW k), k = 1,2 M 1kMM上式表明，各个通道的滤波器转移函数是对H (z)等间隔频移的复调制，所以这种滤波器组称为复调制滤波器组，也叫均匀DFT滤波器组。其幅频特性如图所示:2兀M4兀M2rt0图 5 DFT 各通道滤波器幅频响应Figure 5 Amplitude frequency response of each filter in DFT filter banks这种DFT滤波器组的输出存在混叠：在滤波器H和滤波器H之间过渡带的信号频k 1k谱与在滤波器H和滤波器H之间的过渡带的信号频谱将产生混叠，且该混叠通过综合滤kk+1波器组中的 G 输出，这一部分的混叠频谱不能被其他任何频谱抵消，所以只有在理想情况 k下H (z)的幅频响应为矩形窗时，才能完全重建；否则，一般情况下，DFT滤波器组只能实现近似重建。同样，为了减少计算量，提高系统效率，我们对 DFT 滤波器组进行多相和等 效变换，得到其高效结构，如图：x0(n)x1(n)x (n)M-1图 6 DFT 滤波器组结构框图Figure 6 The block diagram of DFT filter banks由于 DFT 滤波器组具有可以直接处理复信号的优点，所以其应用较为广泛。针对它不 能完全实现信号重构，一些文献中利用优化的方法，通过加权系数的调整可以根据实际应用 要求，灵活调整滤波器的阻带衰减、滤波器组的输出混叠和输出失真之间的折衷，设计方法简单实用24。3.3.2 余弦调制滤波器组 余弦调制滤波器组是一种被广泛使用的多速率滤波器组，它最吸引人的特性在于：该滤波器组是对一个或者两个原型滤波器进行离散余弦调制(DCT)而得到的。首先，要找一个N 阶线性相位低通原型滤波器 H (z) ，对其转移函数进行余弦调制得到滤波器组各个通道的转移函数：兀N兀h (n) = 2h (n) cos(2 m + 1)(n 一) + (一 1)m m 2M 2 4假设N+1是子带数目M的偶数倍，即N + 1 = 2LM，可以简化对余弦调制滤波器的分析。将原型滤波器分解成2M个多相分量的形式，E (z) = t1 h(21M + j)z-1，再进行推导 jl=0可以得到余弦调制滤波器组的矩阵形式，由此可知其实现框图：图 6 余弦调制滤波器组结构框图Figure 7 The block diagram of cosine modulated filter banks 余弦调制滤波器组主要的设计过程集中在对原型滤波器的设计和优化上，因此滤波器组 具有设计实现均非常简单的优点并且调制后的所有子带滤波器系数均为实数。尤其是当子带 数量较大时更能体现出该滤波器组的算法优势，因此倍受人们的关注。它的主要特点是：(1) 设计过程简单，主要包括生成一个低通原型滤波器，其冲击响应满足一系列的重构约束条件。(2) 滤波器组的实现成本低，因为分析滤波器组和综合滤波器组是都是由DCT变换实现，并 且 DCT 有快速算法，所以每个子带滤波器共享原型滤波器的实现成本。从而大大减少了系 统的计算复杂度。但在实际中，即使原型滤波器是线性相位的，余弦调制滤波器也不是线性 相位的，只有在广义上它才可以理解为线性相位。由于余弦调制滤波器组具有的优点，人们对其研究较多，在基本的余弦调制滤波器组的 基础上，学者们还提出了仿酉余弦调制滤波器组，正交和双正交余弦调制滤波器组，对它的 原型滤波器进行了研究，还给出了各种设计或改进方法。3.4PFT滤波器组2002 年由 RF Engines 公司提出了一种基于 PFT(Pipelined Frequency Transform )滤波 器组的信道化方法，RF Engines公司给出了一些技术说明文档252627对这一技术作了说 明并与FFT、DFT方法作了比较。而现阶段国内外对这一方法的研究较少，且PFT滤波器 组也仅在信道化技术中有所应用，而在其他方面还少有其应用。PFT 滤波器组的实现是基于 CDC( Complex Down-Converter )和 CUC( Complex Up-Converter)的树形结构，其性能与多相DFT滤波器组相比，阻带衰减更大，延时更小， 但是由于它是用IIR滤波器实现，不能完全满足线性相位的条件。所以，这种滤波器组主要 可以应用于对线性相位条件要求较小，或是信号实时处理，尤其是宽带信号处理中。 3.5滤波器组对比应用通过以上分析可知这四类滤波器组各具特点，因而就会有其各自的适用场合：如果对信 号完全重建要求严格的话，则宜采用共轭正交镜像滤波器组和仿酉滤波器组；如果从实现和 设计简单的角度出发，则宜采用正交镜像滤波器组和 DFT 滤波器组；如果设计要求对信号 实时处理的话，则需选择调制滤波器组或 PFT 滤波器组。研究人员还要根据具体的应用要 求，对滤波器组的各项系数做出优化设计，来实现系统的最优化。4. 总结虽然滤波器组技术在不同的应用场合有着不同的结构，但其基本原理都是通过分析滤波 器将输入信号从频域分解为子带信号，经处理后通过综合滤波器将子带信号合成为原信号。 文中还介绍几种常见的均匀滤波器组，给出了各滤波器组的结构，并主要以信号重构、计算 复杂度等特性为标准，对比了几种滤波器组，给出了几种滤波器组的应用场合。由于近年来，滤波器组技术在语音编码、图像变换、通信信号处理、雷达等方面得到了 广泛应用，所以，其研究也受到了人们的广泛重视。至今，许多研究人员，还在对各种不同 的滤波器做一些改进工作。由于，调制滤波器组在计算复杂度和设计上的优势，它成为研究 的热点，许多学者都希望能利用其实现完全重建，在这一方面还有许多问题亟待解决。PFT 滤波器组在研究和应用上还没有被完全挖掘，这一方面也可以进行一些研究工作。另外，越 来越多的优化理论与滤波器组设计方法相结合，成为设计滤波器组的主要方法，并将继续在 高效滤波器组的研究中发挥更为重要作用。参考文献：1 Jeffrey H. 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