插值型求积公式及其

摘要在实际应用中，常常会遇到积分制的计算，插值法是常见的求积分方法.牛顿-柯 特斯与高斯型求积公式是两种不同的插值法.前者是等距节点下的求积公式,后者是 非等距节点下的积分公式.牛顿-柯特斯求积公式是计算低阶积分的方法，而高斯型求 积公式是计算高阶积分的方法.梯形求积公式，辛普森求积公式,柯特斯求积公式是最简单的牛顿-柯特斯求积公 式.公式的导出及其分类，余项，代数精度，收敛性与稳定性，及其几何意义，这些都是 本课题重点介绍的内容.而高斯型求积公式中主要介绍常用的高斯型求积公式，不同 的区间，不同的权函数导致高斯点和高斯系数的不同，从而形成不同的公式，其中重点 讲解了高斯-勒让德求积公式.关键词 余项;梯形求积公式;辛普森求积公式;流程图;代数精度目录引言1第一章牛顿-柯特斯公式2 1.1牛顿-柯特斯公式的相关概念21.2 N-C 公式41.2.1公式的导出41.2.2梯形求积公式51.2. 3辛普森求积公式51.2.4柯特斯求积公式7第二章高斯型求积公式10 2.1高斯型求积公式的有关定义102.2利用正交多项式构造高斯求积公式122.3高斯-勒让德公式的详细总结132.4插值型求积公式之间的比较11参考文献16附录A17附录B18附录C19引言在工程上的实际计算中想利用求原函数的方法来求定积分常会遇到困难.这是因 为工程上的被积函数f 3）有时比较复杂，求原函数十分困难或者根本找不到可用初等函数表示的原函数，有时我们甚至还无法知道被积函数f 3）的解析表达式，而只知 道一组对应的离散数据.因此就要利用计算机进行数值计算，以确定定积分的值，这就 是数值积分.数值积分最有效的算法是插值型求积公式.插值型求积公式分为两类，一类是等距节点下的求积公式;另一类是非等距节点下 的求积公式.前者包括梯形求积公式,普森求积公式，柯特斯求积公式;后者包括高斯型 求积公式.插值理论是解决数值计算定积分的有效途径之一 .梯形求积公式对所有次数不 超过1的多项式是准确成立的;辛普森求积公式对所有次数不超过3的多项式是准确 成立的;柯特斯求积公式对所有次数不超过5多项式是准确成立的.此牛顿-柯特斯求 积公式在求积系数不为负数时是数值稳定的.由于龙格现象存在,不难得知，牛顿-柯特 斯求积公式不一定具有收敛性.稳定性和收敛性可知，数值计算中应主张使用低阶的牛 顿-柯特斯求积公式.而高斯型求积公式是最高代数精度的插值型求积公式.使用高斯 型求算例中积分，数值实验结果要体现出随高斯点的增加误差的变化.本课题最要介绍插值型求积公式的区别，即等距节点下牛顿-柯特斯公式与非等 距节点下的高斯型求积公式的比较，包括余项，代数精度的比较,收敛性与稳定性的对 比.第一章介绍牛顿-柯特斯的相关知识，而第二章介绍高斯型求积公式的有关知识.第 三章详细讲述等距节点下的公式与非等距公式的比较.第一章牛顿-柯特斯公式借助插值函数来构造的求积公式称为插值型求积公式.一般选用不同的插值公式 就可以得到不同的插值型求积公式.本章主要介绍等距节点下的插值型求积公式，即低 阶N - C公式.低阶N - C公式是很有代表性的插值型求积公式.公式的导出，余项的计 算,代数精度的证明都将是本章要求掌握的知识. 1.1牛顿-柯特斯公式的相关概念定义11依据积分中值定理，j/(x)dx = (b -a) f (提，就是说，低为b - a而高为& a的矩形面积恰恰等于所求曲边梯形的面积.取a,b内若十个节点七处的高度f (x，通过加权平均的方法射年工程平均高度f (提,这类求积公式称机械求积公式jb f (x)dx 2E A f (x )ak kk =0式中七称为求积节点，1称为求积系数.定义1.2由插值理论可知，任意函数f (x)给定一组节点a = xo 气 x =b后,可用一 n次多项式P (x)对其插值，即f (x) = P (x) + R (x)，因此 nnnjb f (x)dx = jb P (x)dx + jb R (x)dx.aa na n当P (x)为拉格朗日插值多项式时，即P (x) = lk (x) f (xk)，则k =0jb f (x)dx = jb8l (x) f (x )dx + jb f (n)(x)dx aa k a (n +1)!k =18(j2(x)dx)f (x ) + Rf a k =1= aJ (xk) + Rn f k =1其中jbfb (x x ) (x x )(x x ) (x x )A = j l (x)dx = J 0好Lk+1ndxk a k a (x x ) (x x )(x x ) (x x )k 0 kk 1kk +1k nR f = j b f+1)甲(x)dxn a (n +1)!通常称为插值型求积公式.定义13如果求积公式对于次数不超过m的多项式均能准确成立.但对于m +1的多项式不能准确成立，则称该公式具有m次代数精度说明:a)若机械求积公式的代数精度m 0,则有2La =b - a.i=0b)若机械求积公式的代数精度为m,即当f 3) = 1,乙,xm时有jb f (x)dx = !LiAf (x )i iai=0则对任意次数不超过m的k次多项式P (x), k m有 kjbP (x)dx = 1LAP (x )ki k iai=0c)代数精度的高低，从一侧面反应求积公式的精度高低.k knT8 ,八ahT0 k=0定义1.4在求积公式jb f (x)dx & A f (x )中, 若 lim A f (x ) = jb f (x)dx 其中 k k,a k=0h = max(x x )，则称求积公式是收敛的.1i 0,若35 0,只要| f (x ) f l5 (k = 0,1,n),就有 k ki aj (xk)8“10 x0x1x2x图1.3辛普森求积公式的几何意义辛普森求积公式余项及其代数精度见表1-2流程图如下：图1.4辛普森求积公式流程图表1-3辛普森求积公式余项及其代数精度名称公式余项代数精度辛普森求积公 式c b a/ 、a + bS = 6 f (a)+ 4f ( 2)+ f (b)(b a )5%=- 2880 f 由)代数精度是31.2.4柯特斯求积公式当n = 3时，由表1-1柯特斯系数表第三行知C =C（4）= , C =C（4）= 32, C =12.0490 1390 290故得柯特斯求积公式C = 7 f （a） + 32 f（3）+12 f （tt）+ 32 f （a3b） + 7 f （b）90424柯特斯求积公式余项及其代数精度见表1-3流程图如下所示：图1.5柯特斯求积公式的流程图表1-4柯特斯求积公式余项及其代数精度名称公式余项代数 精度柯特斯求积公式b a3a + ba + bC =7f (a) + 32 f ()+12 f ()Zz V/ei匕+32 f (色+) + 7 f (b)4(b 一 a)6Rc - 1935360 f (W )代数精度是5例1.1分别用梯形求积公式，辛普森求积公式，柯特斯求积公式计算积分j1dx由:T = j bf 3)dx = b f (a) + f (b) = 1(4 + 2) = 3.a22baa+b1S = - f (a) + 4f () + f (b) = -(4 +12.8 + 2) = 3.13333 .626八-a3a + b a + ba + 3b、C = - 7 f (a) + 32 f () +12 f (丁)+ 32 f () + 7 f (b)=_L (28 +120.470589 + 38.4 + 81.92 +14)_ 282.790589 9o=3.1421176555在例1-1中，我们根据梯形求积公式，辛普森求积公式，柯特斯求积公式和它们的 流程图编写出它的程序,见附录A,B,C.将程序输入到C+里进行测试，经过反复的修 正和改错，得到了便于计算且实用的程序.上机实现的运行结果见附录A,B,C.程序运行结果：梯形求积公式结果是：3.000000辛普森求积公式结果是：3.13333柯特斯求积公式结果是：3.142118上机计算的结果为，与例题1-1中的算数结果是一致的.说明这个梯形求积公式 的程序是正确无误的，可以应用到复杂的数值计算中.第二章高斯型求积公式牛顿-柯特斯型求积公式是封闭的(区间a,b的两端点a,b均是求积节点)而且 要求求积节点是等距的，受此限制,牛顿-柯特斯求积公式的代数精度只能是n( n为奇 数)或n +1( n为偶数).而如果对求积节点也适当的选取，即在求积公式中不仅A而 k且七也加以选取,这就可以增加自由度,从而可提高求积公式的代数精度. 2.1高斯型求积公式的有关定义定义2.1求积公式jb f (x)dx qA f (x )含有2n + 2待定参数x , A (k = 0,1,n), k kk ka k =0适当选择这些参数使其具有2n +1次代数精度.这类求积公式称为高斯型求积公式.Guass求积公式的节点气(k = 0,1n)是高斯点，系数气称为Guass系数.对于任意次数不超过2n +1的多项式均能准确成立(2-1)jb p (尤 Y X dx E A f x ()ak kk =0称其为带权的高斯公式.定义溢若求积公式j： ppN(.(七)对一切不高于m次的多项式k =0p(x)都等号成立，即R(p) = 0 ;而对于某个m +1次多项式等号不成立,则称次求积公式的代数精度为m.因为Guass求积公式也是插值型求积公式，故有结论：n +1个节点的插值型求积公 式的代数精度d满足：n d 1na4. P (x)在(a, b)内有n个互异零点.n利用正交多项式构造高斯求积公式的步骤：Step 1以n +1次正交多项式的零点x , x，,x作为积分点(高斯点)。2七(x) f (x ) i=001 nStep 2用高斯点xo,气，,x对f (x)作Lagrange插值多项式f (x)代入积分式jb P(x) f (x)dx r jb p(x)(8l (x) f (x )dxaa11i=0=8 (jb p (x)l (x)dx) f (x ) iiai =0因此，求积系数为 A = jbp (x)l (x)dx,(i = 0,1,.,n)1 a1 2.3高斯-勒让德公式的详细总结在高斯求积公式中(2-1)中，若取权函数p (x) = 1,区间为-1,1,则得公式(2-2)j1 f (x)dx = 8 A f (x )ik k-1k =0此为高斯-勒让德公式，勒让德正交多项式P (x)的零点就是其高斯点.n+1勺f = (22： 33)U)213 f(2,2如)，ET，1如果积分区间是a,b,用线性变换x = 土t + 土 将积分区间从a,b变成22-1,1,由定积分的换元积分法有b b-a L b-a a + b.,jb f (x)dx = j1 f ( 2 t + )dt这样就可以用Gauss-Legendre求积公式计算一般区间的积分.当n = 0，得到公式j1 f (x)dx 机 2 f (0)-i当n = 1,得到公式11j f (x)dx wf (-) + f (予)-13 侦 3当n = 2,得到三点Gauss-Legendre求积公式：j 1 f (X)dx w 5 f (- 5 ) + 8 f (0) + 5 f ( 5 )-195995表2-1列出高斯-勒让德求积公式(2-2)的节点和系数表2-2高斯-勒让德求积公式的节点和系数nXiAinXiAi0020.66120938650.360761537010.577350269210.23861918610.467913934620.77459666920.55555555660.94910791230.129484966200.88888888890.74153118560.279705391530.86113631160.34785484510.40584515140.38183005050.33998104360.652145154900.417959183740.90617984590.236926885170.96028985650.10122853630.53846931010.47862867050.79666647740.222381034500.56888888890.52553540990.313706645950.93246951420.17132449240.18343464250.3626837834 2.4插值型求积公式之间的比较例2.2分别用不同方法计算如下积分，并做比较I = j1SinX dx0 X各种做法比较如下：方法一 用Newton-Cotes公式当n = 1时，即用梯形求积公式，I = 0.9270354当n = 2时，即用辛普森求积公式，I w 0.9461359当 n = 3 时，I w 0.9461090当 n = 4 时，I w 0.9460830当 n = 5 时，I w 0.9460830方法二 用Gauss公式令 x = (t +1)/2,1 = j1 sin(t +1)/2 dt -1t + 1(1) 用2个节点的Gauss公式. 1-. 1-sin (-0.5773503+1) sin (0.5773503 +1)I = 一2+ 2= 0.9460411-0.5773503+10.5773503+1(2) 用3个节点的Gauss公式sin1 (0.7745907 +1)sin1I 0.5555556 x 2+ 0.8888889 x 20.77459070 +1sin1 (0.7745907 +1)+0.5555556 x2= 0.94608310.7745907 +1算法比较：对Newton-cotes公式，当n = 1时只有1位有效数字，当n = 2时有三位有效数字，当n = 5时有7位有效数字.用Gauss公式仅用了 3个函数值,就得到结果.表2-3列出插值型求积公式之间的比较表2-3插值型求积公式之间的比较名称公式余项代数精度梯形求积公式b aT = - f (a) + f (b)譬(-a )31辛普森求积公式c - 一a r、S = f (a) +64 f (号)+ f (-)(-a)5R广2880 f 顷)3柯特斯求积公式C = -一- 7 f (a) +9032 f (心)+12 f (保)4/j、2，+32 f (a+3-) + 7 f (-)_ (- 一 a)6 丰 /、 。193536。”5高斯型求积公式j1 f (x)dx = E A f (x )一k =0R 门=22n+3(n + 1)!4-(2 n + 3)(2n + 2)!3f (2 n+2)( )2n +1参考文献1 薛毅,耿美英.数值分析M.北京:北京工业大学出版社.2003年2 刘长安.数值分析教程M.西安:西北工业大学出版社.2005年3 吴勃英，万中.数值分析原理M.北京:科学出版社.2003年4 薛毅，耿美英.数值分析M.北京:北京工业大学出版社.2003年5 李庆扬，王能超,易大义.数值分析（第五版）M.北京:清华大学出版社.2007年6 封建湖，车刚明,聂玉峰.数值分析原理M.北京:科学出版社.2001年附录A梯形求积公式的程序及运算结果.#include#includedouble f(double x)double z;z=4/(1+x*x);return z;main() float h;float a;float b;float T;printf(请输入区间端点a =);scanf(%f”,&a);printf(请输入区间端点b =);scanf(%f,&b);h=b-a;T=(h/2)*(f(a)+f(b);printf(-输出结果：)；printf(%fn,T);图梯形求积公式的运算结果附录B辛普森求积公式的程序及运行结果#include#includedouble f(double x)(double z;z=4/(1+x*x);return z;main()(float h;float a;float b;float S;printf(请输入区间端点a =);scanf(%f,&a);printf(请输入区间端点b =);scanf(f，&b);h=b-a;S=(h/6)*(f(a)+ 4*f(a+ h/2)+ f(b);printf(输出结果：)；printf(%fn,S);e. *C: Docu*ents and Settingslenovo桌面Debugs. exe区区果an入入结S请请输pP端点a = 0端点b = 13.133333key to continue图辛普森求积公式的运行结果附录C柯特斯求积公式的程序及运行结果#include#includedouble f(double x)(double z;z=4/(1+x*x);return z;main()(float h;float a;float b;float C;printf(请输入区间端点a =);scanf(%f,&a);printf(请输入区间端点b =);scanf(f，&b);h=b-a;C=(h/90)*(7*f(a)+32*f(a+h/4)+12*f(a+h/2)+32*f(a+3*h/4)+ 7*f(b);printf(输出结果：”);printf(%fn,C);图柯特斯求积公式的运行结果