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6.3.2二项式系数的性质基础过关练题组一杨辉三角1.如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒,若 a,b 是某行的前两个数,当 a=7 时,b=( )A.20 B.21C.22 D.232.下图中的数满足:第 n 行首尾两数均为 n;图中的递推关系与杨辉三角类似, 则第 n(n2)行的第 2 个数是 .12 23 4 34 7 7 45 11 14 11 53.(2020 广东江门一中高二上期末)观察如图所示的三角形数阵,则该数阵最后一 行各数之和为 .19 8 915 15 158 151 11 2 11 3 3 11 4 6 4 1 1 10 45 45 10 14.如图,在由二项式系数所构成的杨辉三角中,第第 15 个数的比为 23.11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 1行中从左到右第 14 个与题组二二项式系数的性质5.在(2-3x)15的展开式中,二项式系数的最大值为( )A.C B.C C.-CD.-C6.在(a-b)20 的二项展开式中,二项式系数与第 6 项的二项式系数相同的项是( A.第 15 项 B.第 16 项C.第 17 项 D.第 18 项)7.在(1-3x)n(nN*)的展开式中,偶数项的二项式系数的和为 128,则展开式的中间项为( )A.-4 536x4B.-5 670x4C.5 670x4D.4 536x48.(2020 山东烟台高二下月考)若(𝑥 +1𝑥𝑛)(nN*)的展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为( )A.10 B.20 C.30 D.1209.在(2x-3y)10 的展开式中,求:(1)各二项式系数的和;(2)各项系数的和;(3)奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和.2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1𝑛10.已知(𝑥 - ) (nN*)的展开式的第 5 项的系数与第 3 项的系数之比是 101.𝑥 2(1)求展开式中各项系数的和;(2)求展开式中含𝑥 2 的项;(3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.能力提升练题组一杨辉三角1.(2020 浙江杭州第二中学高二期末, )如图所示的三角形数阵叫“莱布尼茨调和三角形”,它们是由整数的倒数组成的,第 n 行有 n 个数且两端的数均为1𝑛(nN*,n2),每个数是它下一行左、右相邻两数的和,如= + , = + , = + ,则第 10 行第 4 个数字(从左往右数)为 . 1 2 2 2 3 6 3 4 12111212131613111141212 415120130120152.(2020 安徽合肥一中、安庆一中等六校高三上第一次素质测试, )我国南宋数学家杨辉在所著的详解九章算法一书中用如图所示的三角形解释二项展开式 的系数规律,现把杨辉三角中的数从上到下,从左到右依次排列,得数列:1,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1,记作数列a ,若数列a 的前 n 项和为n nS ,则 S = .n 67题组二二项式系数的性质3.(2020 重庆第八中学高三下月考, )(mx+𝑥 )n(nN*)的展开式中,各二项式系数和为 32,各项系数和为 243,则展开式中 x3 的系数为( )A.40 B.30 C.20 D.103 1 1 2 3 2727 27 27 273 2 𝑛4.(2020 山东枣庄滕州一中高二下月考, )已知在( 𝑥 -2𝑥𝑛) (nN*)的展开式中,仅有第 9 项的二项式系数最大,则展开式的有理项的项数是( ) A.1 B.2 C.3 D.45.(多选)(2020 山东烟台高三新高考模拟, )已知(𝑎𝑥2+1𝑥𝑛)(a0,nN*)的展开式的第 5 项与第 7 项的二项式系数相等,且展开式的各项系数之和为 1 024,则下 列说法正确的是( )A.展开式的奇数项的二项式系数的和为 256B.展开式的第 6 项的系数与二项式系数相等且最大C.展开式中存在常数项D.展开式中含 x15项的系数为 456.(多选)(2020 山东东营胜利一中高二下月考,)已知 n 为满足𝑛S=a+C +C +C +C (a3)能被 9 整除的正整数 a 的最小值,则(𝑥- ) 的展开𝑥式中,二项式系数最大的项为( )A.第 6 项 B.第 7 项C.第 8 项 D.第 9 项7.(2020 上海浦东华东师范大学第二附属中学高二下月考,)已知( 𝑥 +𝑥2) (nN*)的展开式的二项式系数和比(3x-1)n+1的展开式的偶数项的二项式系数和大 992,求(2𝑥-1𝑥20𝑛)的展开式中:(1)二项式系数最大的项;(2)系数的绝对值最大的项.8.(2020 河北衡水高二下月考, )在(𝑥 -13 𝑥𝑛)(n7,且 nN*)的展开式中,(1)若所有二项式系数之和为 256,求展开式中二项式系数最大的项;(2)若第 3 项的系数的 14 倍是第 2 项与第 4 项的系数的绝对值之和的 9 倍,求展 开式中各项的系数的绝对值之和.1)+1=+1=0 1 2 1010 10 10 103 𝑛! 2𝑛!13 14 13 14𝑛𝑛𝑛𝑛7 815 155 15 520 20 204 8 0 1 𝑛𝑛 𝑛𝑛答案全解全析6.3.2 二项式系数的性质基础过关练1.C 观察题图可知,从第三行开始,每一行除开始和末尾的两个数外,中间的数分别是其“两肩”上相邻两个数的和,当 a=7 时,b 的“两肩”上的第一个数为 6,第 二个数为 16,所以 b=6+16=22.2.答案𝑛2-n22解析 由题图中数字的规律可知,第 n(n2)行的第 2 个数是 1+2+3+(n-𝑛(𝑛-1) 𝑛 22-n22.3.答案 1 024解析 由题图得最后一行各数之和为C +C +C +C =210=1 024.4.答案 34解析 在第 n(n14,nN*)行中,即(a+b)n 的展开式中,第 14 个与第 15 个二项式系数分别为C 和C ,C C =23,即 = ,n=34.13!(n-13)! 14!(n-14)!5.B (2-3x)15的展开式中共有 16 项,中间的两项为第 8 项和第 9 项,这两项的二项式系数相等且最大,为C =C ,故选 B.6.B第 6 项的二项式系数为C ,又C =C ,所以第 6 项与第 16 项的二项式系数相同,故选 B.7.C 偶数项的二项式系数的和为 2T =C (-3x)4=5 670x4.故选 C. 58.B C +C +C =2n=64, n=6,n-1=128=27,即 n=8,故展开式的中间项为𝑟6 3 6 0 1 2 1010 10 10 100 2 4 1010 10 10 101 3 910 10 104 2 𝑛𝑛2 𝑟8-r8 𝑟8 5 𝑟 33 32 𝑟-18 1 𝑟 +𝑟+1𝑟8 8 - 1𝑟-1𝑟𝑟𝑟8 8 𝑟+1𝑟𝑟8 8 该式为(𝑥 +1𝑥6),其展开式的通项为T =C x6-2r,r+1令 6-2r=0,得 r=3,常数项为 T =C =20,4故选 B.9.解析 (1)(2x-3y)10 024.的展开式中各二项式系数的和为C +C +C +C =210=1(2)令 x=1,y=1,得(21-31)10所以各项系数的和为 1.=1=a +a +a +a , 0 1 2 10(3)(2x-3y)10的展开式中奇数项的二项式系数的和为C +C +C +C =29=512,偶数项的二项式系数的和为C +C +C =29=512.10.解析 由题意知,第 5 项的系数为C (-2)4,第 3 项的系数为C (-2)2,则CC4𝑛2𝑛(-2)(-2)42=10,化简得 n -5n-24=0,解得 n=8 或 n=-3(舍去),故该式为(𝑥 - (1)令 x=1,得各项系数的和为(1-2)8=1.2𝑥 28).(2)展开式的通项为 Tr+1=C (𝑥 ) (-2𝑥 2𝑟)=C (-2)r𝑥4-5𝑟2,令 4- = ,得 r=1,故展开式中含𝑥 2 的项为 T =-16𝑥 2 .2 2(3)展开式中的第 r 项,第 r+1 项,第 r+2 项的系数的绝对值分别为C 2r-1,C 2r,C 2 ,设第 r+1 项的系数的绝对值最大,C2 C 2 ,解得 5r6(rN*).则C2𝑟 +1 C 2 ,又第 6 项的系数为负,所以系数最大的项为 T =1 792𝑥7由 n=8 知第 5 项的二项式系数最大,即 T =1 120x-6.5- 11.1 𝑟𝑛𝑟𝑛3 9 1 1𝑘(𝑘1 )n 𝑘(𝑘-1)2 67𝑘(𝑘1 )1112n 111 -20 11n n 5𝑟5 𝑟5 - 𝑟能力提升练1.答案1840解析将杨辉三角中的每一个数C 都换成分数 即可得到“莱布尼茨调和三(𝑛1 )C角形”,杨辉三角中,第 10 行第 4 个数字为C =84,所以“莱布尼茨调和三角形”中第 10 行第 4 个数字为 =1084 840.2.答案 2 048解析 将数列a 中的项从上到下,从左到右排成杨辉三角.如图所示:n11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 1使得行数与该行的项数相等,则第 k 行最后一项在数列a 中的项数为 ,2设 a 位于第 k(kN*)行,则 672,解得 k=12,且第 11 行最后一项在数列a 中的项数为a 位于杨辉三角的第 12 行第 1 个, 672=66,而第一行各项的和为 20=1,第二行各项的和为 21=2,第三行各项的和为 22=4,依此类推,第 k 行各项的和为 2k-1,S67=(20+21+22+210)+C = +1=21-211=2 048.3.D (mx+𝑥 ) 的展开式中,各二项式系数和为 2n=32,n=5.令 x=1,可得各项系数的和为(m+1)5=243=35,m=2,(mx+𝑥 ) =(2x+𝑥 ),其展开式的通项为 T =C 25-rr+1𝑥 2 ,令 5- =3,可得 r=4,24 5 3 3 3 𝑟 316𝑟2 当 1 - 1 1 - 𝑟105 𝑥20- r𝑟105 5 𝑥20- r 5𝑟102 1 2 3 2727 27 27 27故展开式中 x3 的系数为C 2=10,故选 D.4.C ( 𝑥 -2𝑥𝑛)的展开式中,仅有第 9 项的二项式系数最大,n=16,( 𝑥 -2𝑥𝑛)=( 𝑥 -2𝑥16),其展开式的通项为 Tr+1=C ( 𝑥 )16-r(- )𝑥=(-2)rC 𝑟16𝑥32-5𝑟6,32-5𝑟6Z 时,T 为有理项, r+10r16 且 rZ,r=4,10,16 符合要求,有理项有 3 项,分别为第 5,11,17 项. 故选 C.5.BCD 由(𝑎𝑥2+1𝑥𝑛)的展开式的第 5 项与第 7 项的二项式系数相等可知 n=10,又展开式的各项系数之和为 1 024,即当 x=1 时,(a+1)10=1 024,所以 a=1,所以(𝑎𝑥2+1𝑥𝑛)=(x2+𝑥 2 )10,其展开式的各二项式系数的和为 210=1 024,则奇数项的二项式系数的和为 12024=512,故 A 错误;由 n=10 可知展开式共有 11 项,中间项的二项式系数最大,即第 6 项的二项式系数最大,因为 x2与𝑥 2 的系数均为 1,所以展开式的各项的二项式系数与系数相同,即第 6 项的系数与二项式系数相等且最大,故 B 正确;若展开式中存在常数项,则展开式中存在 x 的指数为 0 的项,由通项 T =C xr+12(10-r)𝑥-12r=C 2 ,可得当20- r=0,即 r=8 时,符合要求,故 C 正确; 2由通项 T =C 2 可得,当 20- r=15 时,r=2,所以展开式中含 x15 项的系数为 r+1C 210=45,故 D 正确.故选 BCD.6.AB S=a+C +C +C +C0 0 3 1 2 271 2 4 27 27 27 279 9 9 9 95 6 7 8 99 9 9 9 98 1 9 9 1 13 2 2n2n n50100𝑟1 𝑟 𝑟100100𝑥𝑟100 100-𝑘100-(𝑘1 )𝑘1解 得 k ,k100,kN,k=33,100 𝑘-1 100-(𝑘-1)- 𝑘1001 3367100𝑥331000 1 𝑛𝑛 𝑛𝑛4 ( - )4 1 704 8 C14=( C2 𝑛=a+C +C +C +C -1=a+227-1=(9-1)9+a-1=C 99-C 98+C 97-C 96+C 95-C94+C 93-C 92+C 9-C +a-1=9(98-C 97+C )+a-2,a3,S 能被 9 整除的正整数 a 的最小值是 a-2=9,a=11. n=11,𝑛 11(𝑥- ) =(𝑥- ) ,其展开式的二项式系数最大的项为第 6,7 项. 𝑥 𝑥故选 AB.7.解析 (𝑥 +x ) 的展开式的二项式系数和为 22n,(3x-1)n+1的展开式的偶数项的二项式系数和为 2n+1-1=2n.由题意得 2-2 =992,解得 n=5,所以(2𝑥-1𝑥20𝑛)=(2𝑥-1𝑥100).(1)(2𝑥-1𝑥100)的展开式中二项式系数最大的项为第 51 项,即C (2x)50(-1𝑥50) =250C 50 100.(2)(2𝑥-1𝑥100)的展开式的通项为 T =C (2x)100-r(- ) =C 2100-r(-1)rx100-2rr+1,其系数的绝对值为C 2100-r,设系数的绝对值最大的项是第 k+1 项,则C𝑘100C𝑘1002 C100 2 , 98 101 2 C 2 , 3 3系数的绝对值最大的项为第 34 项,即 T=C (2x) (- ) 3433=-C 267x34.8.解析 (1)由已知得C +C +C =256,2n=256,n=8,展开式中二项式系数最大的项是第 5项,即C (𝑥 ) = .3𝑥 81(2)易得(𝑥 -13𝑥𝑛)的展开式的通项为 T =(-r+113𝑟) C𝑟𝑛𝑥𝑛2-r(r=0,1,n),第 3 项的系数的 14 倍是第 2 项与第 4 项的系数的绝对值之和的 9 倍,1 19 31𝑛127C 3 )9,解得 n=10 或 n=7(舍去), 𝑛10) = (4因为( 𝑥 -13𝑥10)的展开式中各项的系数的绝对值之和与(𝑥 +13𝑥10)的展开式中各项的系数之和相等,所以对于(𝑥 +13𝑥10),令 x=1,得(1 +1 43 310),即(𝑥 -13𝑥10)的展开式中各项10的系数的绝对值之和为( )3.
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