弹性体的形变势能;位移变分方程(林国昌)ppt课件

第十一章 能量原理与变分法林国昌2010-11哈尔滨工业大学2弹性力学的微分提法微分法微分法：从微元入手，建立其基本微分方程。在给定边界条件下，求解偏微分方程问题（偏微分方程的边值问题）。平衡方程 几何方程物理方程微元体微分法的微分法的解解：解为精确解，完全满足微分方程。3弹性力学的变分法(能量法)变分法：变分法：考虑整个系统的能量关系(如形变势能，外力势能等)，建立泛函变分方程；在给定约束条件下求解泛函极值的变分问题。最后将问题归结为易于求解的线性方程组，从而获得问题的近似解答。变分法的解：变分法的解：解为近似解，近似满足微分方程。以整个系统为研究对象弹性力学中的变分法又称为能量法。4弹性力学的变分法(能量法)力学概念：力学概念：形变势能 外力势能数学概念：数学概念：泛函 变分11-1 11-1 弹性体的形变势能弹性体的形变势能林国昌6 泛函 变分7泛函的提出约翰伯努利（Johann Bernoulli，16671748）于1696年提出一个问题：最速降线问题。问题描述：时间集合时间集合T函数集合函数集合yT1y11T2y22TiyiiTnynn(a,b)设有两点A、B不在同意铅垂线上，在A、B两点间连接一条曲线，有一重物沿曲线从A到B受重力作用自由下滑。若忽略摩擦力，问怎样的曲线使得从A到B的自由下滑时间最短？函数是数学中的一种对应关系，是从非空数集A到实数集B的对应。8函数与泛函函数函数：f(x)是变量x的实函数，即在其定义域内，任一x值都有一个实 数f(x)与之对应。泛函泛函：(y)是函数y(x)的泛函，即在其定义域内，任一函数y(x)都有 一个实数(y)与之对应。自变量自变量因变量因变量f(x1)f(x2)f(xi)f(xn)函数函数f(x)x1x2xixn实数实数y1y2yiyn函数自变量自变量(y1)(y2)(yi)(yn)实数因变量因变量泛函：就是以函数为自变量的一类函数。简单的讲，泛函就是函数的函数。对应法则f泛函泛函(y)对应法则9泛函从点A到点B的总时间是T是y(x)的泛函满足y(0)=0，y(a)=b(a,b)最速降线问题：称时间T是函数y的泛函。求泛函的极值问题变分。10变分变分命题的实质是求泛函的极值问题。给定函数y(x)变量：x函数：y(x)变量的增量：x函数的增量：yy(x+x)-y(x)当两点无限接近：xdx，ydy略去高阶微量：dyy(x)dx当在x处取得函数极值dy0给定泛函(y)变量：y泛函：(y)函数的变分：y泛函的变分：(y+y)-(y)在计算时可以展开(y+y)中的被积函数只保留线性项。当在y处取得泛函极值0泛函(y)为极小值；20 泛函(y)为极大值.20 11变分与微分的比较变分与微分的比较 微分微分 是在同一状态下，研究由于位置(坐标)改变而引起函数的改变。其中的自变量为坐标变量x,y；而因变量为函数，如位移u，有 dyyuxxuu.ddd由于微分和变分都是微量，所以它们的运算方式相同运算方式相同，如上面两式vvVuuVV变分变分 是在同一点位置上，由于状态改变而引起泛函的改变。其中的自变量为状态函数，如位移；而因变量为泛函，如势能V 12泛函变分的基本运算法则(1)、泛函变分运算与微分运算法则基本相同 2121)(FFFF211221)(FFFFFF)(1)(21122221FFFFFFFFnFFnn1)()dydydxdx(2)、和 以及积分算子 具有交换律：bbaaudxudxddx13141 应变能密度假定：弹性体在受力过程中始终保持平衡，(1)没有动能的改变；(2)弹性体的非机械能(例如温度)也没有变化。则 外力势能的减少(外力所作的功)=形变势能(应变能)的增加。形变势能的计算：形变势能可以用应力在其相应的应变上所做的功来计算。15xcv xoxxd xdxxxd1 应变能密度设弹性体只在某一方向上，如x方向，受均匀的正应力 作用，相应的线应变为 ，则每单位体积内具有形变势能表示为：x0 xxxvdx(a)应变能密度是应变分量 的泛函，因为自变函数为 。xxd v当弹性体的应力-应变关系为线性线性时，即012xxxxxvd(c)应变能密度：每单位体积内具有形变势能。xx应变能密度为应力-应变曲线右下方分面积。162 应变余能密度应力-应变曲线左上方的面积，称为应变余能密度。记为：0 xcxxvd(b)xxdvxoxxd当弹性体的应力-应变关系为线性线性时，即012xcxxxxvd(d)xdxxcvxxd应变余能密度是应力分量 的泛函，自变函数为 。x表示的就是单位体积内的应变余能。cvx17说明012xxxxxvd(c)012xxcxxxvd(d)注意：(1)数值相等；(2)自变量不同。应变能密度：应变余能密度：xcvxoxxd xdxxxdxxd v当应力-应变曲线为线性时：183全部的应变能密度同理，弹性体只在某两个相互垂直的方向，如x、y受均匀的切应力 作用，其相应的切应变为 ，则应变能密度为：(应力-应变线性关系)12xyxyv xyxy1()2xyzyzyzzxzxxyxxzyyv (e)疑 问：一 个 应 力 分 量 会 引 起 另 一 应 力 分 量 相 应 的 形 变 分 量(如 )，似乎形变势能与弹性体的受力次序不同而不同。xy引起同理，如果弹性体同时受到 作用，则全部的应变能密度可以写为：(,)xyzyzzxxy 193全部的应变能密度 形变势能的多少与弹性体受力的次序无关，而完全确定于应力与形变的最终值。能量守恒定律：反证：按某一次序对弹性体加载，而按照另一次序卸载，在一个循环中使弹性体增加或减少一定的能量，这是不可能的。叠加原理：复杂应力状态可以分解为各个简单应力状态的组合，各个简单应力在对应的形变下所做的功之和，即为复杂应力状态下的应变能。(,)xyz xyz204 整个弹性系统的形变势能 一般情况下，弹性体受力不均匀，应力分量和形变分量都是位置坐标的函数；应变能密度 也是坐标的函数，整个弹性体的形变势能 是把应变能密度 在整个弹性体内的积分，即：Vv dxdydz1()2xxyyzzyzyzzxzxxyxyVdxdydz (f)(g)vVv形变势能 是形变分量的泛函。V(,)xyzyzzxxyVV 代入(e)式：215 形变表示的弹性体形变势能22222221()()2(1)1 22xyzyzzxxyEVdxdydz利用物理方程(8-19)，形变势能可仅用形变分量表示。2(1)2(1)2(1)yzyzzxzxxyxyEEExyz()11 2()11 2()11 2xxyyzzEEE其中，(h)将(h)代入(g)式得：弹性体的形变势能表达式：(11-1)102其中，22表明：(1)不论形变如何，弹性体的形变势能总不会是负的，在所有的形变分量为0时，形变势能才为0。(2)形变势能是应变(或位移)的二次函数，因此不能用叠加原理，如先发生位移 u1，再发生位移u2，则 。5形变表示的弹性体形变势能1212()()()V uuV uV u(11-1)22222221()()2(1)1 22xyzyzzxxyEVdxdydz236 格林公式在六个应力分量作用下，应变能密度仅用形变分量表示为：(i)对六个形变分量求导，得：,xyzxyzyzzxxyyzzxxyvvvvvv(11-2)表明：(1)弹性体的应变能密度对任一形变分量的改变率，等于相应的应力分量。(2)应变能密度是弹性体材料本构关系的另一种表达形式。(11-2)式称为格林(Green,G.)公式。22222221()()2(1)1 22xyzyzzxxyEv(11-1)22222221()()2(1)1 22xyzyzzxxyEVdxdydz247 位移表示的弹性体形变势能形变势能用位移分量表示，xyzuxvywzxyyzzxvuxywvyzuwzx(11-3)由空间问题几何方程代入(11-1)，弹性体的形变势能表达式为：2222222()()()(2(1)12111()()()222EuvwuvwVxyzxyzwuuwvudxdydzyzzxxy）(8-9)22222221()()2(1)1 22xyzyzzxxyEVdxdydz(11-1)258应变余能同理：整个弹性体的应变余能为：ccVv dxdydz（j）应变余能密度 在应力-应变关系为线性时，同样可表示为1()2cxyzyzzxxyxyzyzzxxyv（k）注：应变余能是以应力分量为自变函数的泛函，因此应变余能可仅用应力分量来表示1()1()1()xxyzyyzxzzxyEEE111xyxyyzyzzxzxGGG（l）由物理方程：代入(k)式，简化后得应变余能密度表达式：2221()2()2(1)()2cxyzyzzxxyyzzxxyvE （m）是否可能为负？cv269卡斯蒂利亚诺(Castigliano)公式对整个弹性体积分后得，整个弹性体的应变余能：222()2()122(1)()xyzyzzxxycyzzxxyVEdxdydz （11-4）(m)式对应力分量求导得：,cccxyzxyzcccyzzxxyyzzxxyvvvvvv（11-5）表明：弹性体的应变余能密度对任一应力分量的改变率，等于相应的形变分量。称为卡斯蒂利亚诺(Castigliano)公式。2221()2()2(1)()2cxyzyzzxxyyzzxxyvE （m）2710小结形变势能的性质：形变势能的大小与受力顺序无关。当应变或位移发生时，形变势能总是正的，即 形变势能是位移或应变的二次函数，因此不能用叠加原理，如先发生位移 u1，在发生位移u2，则 单位体积的形变势能(即应变能密度)对任一应变分量的导数等于相应的应力分量。1212()()()V uuV uV u0V 11.2 11.2 位移变分方程位移变分方程林国昌哈尔滨工业大学复合材料与结构研究所290实际平衡状态下的位移(1)、实际平衡状态下的位移设弹性体实际平衡状态下的位移为 u、v、w,必须满足用位移表示的平衡微分方程用位移表示的应力边界条件位移边界条件 其中，和属于静力平衡条件，反映了载荷作用下各微元以及整个物体都处于 平衡状态的要求；属于约束条件，是求解位移的必要条件，和 是充分条件。前面各章在求解位移分量时，都直接致力于寻找同时满足以上三个条件的真实位移；本章则分两步处理：首先寻找满足位移边界条件的位移分量(可能有无数多个)，之后在这些位移分量中寻找满足以上所有条件的真实位移。301.虚位移F虚位移：在数学上称为位移变分，即 表示约束条件允许下平衡状态附近的微小增量。uvw、约束条件允许：满足位移边界条件。以一个悬臂梁为例，只考虑位移边界条件的约束（不考虑悬臂梁是否平衡），w和w+w都是可能出现的位移。w和w+w是满足位移边界条件的位移自变函数。他们的差w称为虚位移。虚位移不反应真实性，只反映可能性。312.虚功 假定弹性体在虚位移过程中并没有温度的改变，也没有速度的改变，即能量守恒，则形变势能的增加等于外力外力势能的减少，也就等于外力在虚位移上所作的功，即虚功。虚功：就是载荷在约束条件允许的虚位移上所做的功。323、位移变分方程依据能量守恒定理，形变势能的增加等于外力在虚位移上所做的虚功为：()()xyzxyzVf dxdydz uf dxdydz vf dxdydz wf dS uf dS vf dS w()()xyzxyzVfufvfw dxdydzfufvfw dS(11-6)(11-6)式为位移变分方程，也称为拉格朗日变分方程。考察：一个弹性体在一定的外力 作用下处于平衡状态，假想发生了位移所允许的微小改变，即虚位移 能量将产生什么变化？()uvw、()xyzxyzffffff、333、位移变分方程()()xyzxyzVfufvfw dxdydzfufvfw dS(11-6)(11-6)式为位移变分方程，也称为拉格朗日变分方程。它表示：在实际平衡状态发生位移变分时，所引起的形变势能的变分=外力功的变分。位移只满足位移边界条件导出位移变分方程没有考虑以下条件：用位移表示的平衡微分方程。用位移表示的应力边界条件。344、虚功方程(,)xyzyzzxxyvv()xyxyyzzyzyzzxzxxyxVdxdydz 应用位移变分方程，得到有限单元法中一个重要方程-虚功方程。依据变分原理，变分的运算与定积分运算可以交换次序。Vv dxdydzv dxdydz把应变能密度看作形变分量的函数(泛函)：()xyzyzzxxyyzyzzxxxyvvvvvVdxdzvyd(11-2)格林公式xxv35(11-7)这就是虚功方程.表示：如果在虚位移发生之前，弹性体是处于平衡状态，则在虚位移过程中，外力外力在虚位移虚位移上所做的虚功=应力应力在相应虚应变虚应变上所做的虚功。4、虚功方程代入位移变分方程(11-6)，得：)()(xyxxxyyzzyzyzzxzxxyzxyzyfufvfw dxdydzfufdxdydzvfw dS ()()xyzxyzfufvfw dxdydzfufvdSVfw(11-6)(11-7)365、最小势能原理由于虚位移是微小的，所以在虚位移过程中，外力的大小和方向可以认为保持不变，只是作用点有了改变，于是位移变分方程(11-6)可改写为：()()()()()(yzyxxzVf vf w dxdydzf vfdSf uwuf()()0 xyzxyzVf uf vf w dxdydzf uf vf w dS将变分与定积分交换次序，移项后得:（a）()()yyxxzzVfvfw dxdfufuydzfvfw dS(11-6)375、最小势能原理()()xyzxyzVf uf vf w dxdydzf uf vf w dS()0VV用V表示外力势能(以u=v=w=0时的自然状态下的势能为0)，它等于外力在实际位移上所做的功，并在前加以负号负号，即：（b）即得：()()0 xyzxyzVf uf vf w dxdydzf uf vf w dS（a）是形变势能与外力势能的总和，上式表明：在给定的外力作用下，实际存在的位移使总势能的变分为0。VV38在给定的外力作用下，在满足位移边界条件的所有各位移中，实际存在一组位移应使总势能成为极值，即5、最小势能原理()0VV也就表示在平衡状态，体系的总势能取极值。极大值？极小值？pEVV22()0pEVV设总势能为：0pE 表示在实际位移u处，Ep曲线的切线为水平线；表示在实际位移u处，Ep曲线是上凹曲线，因此，Ep=min。20pE最小势能原理：395、最小势能原理如图中的球，平衡时的总势能可取极大值或极小值，对于稳定的平衡(位移为实际的位移)，从这样的平衡状态产生虚位移时，总势能的增量总是正的，因此在稳定平衡状态，实际的位移使弹性体的总势能取最小值，这就是最小势能原理。40说明导出位移变分方程没有考虑以下条件：用位移表示的平衡微分方程。用位移表示的应力边界条件。位移只满足位移边界条件最小势能原理()0VV求出真实的位移位移变分方程 用位移表示的平衡微分方程。用位移表示的应力边界条件。等价416、伽辽金变分方程导出位移变分方程位移只满足位移边界条件导出？方程位移满足 位移边界条件。应力边界条件。426、伽辽金变分方程 依据位移变分方程，形变分量也有相应的变分，按照几何方程，形变分量的变分为：(),xyvuvuxyxy,xuuxx（c）由于形变分量的变分，形变势能也将有相应的变分：Vv dxdydz()xyzyxyzyzzyzzxxxxyvvvvvvVdxdydz再把应变能密度看作形变分量的函数，则：()()yyxxzzVfvfw dxdfufuydzfvfw dS(11-6)形变分量的变分：436、伽辽金变分方程()xyzVuwvdxdydzxyz将(11-2)和(c)式代入，得：(d)(d)式的右边共有9项，对每一项进行分部积分：()xxxxxdxdydzdxdydzudxdydzxxxudSudxxulduydz 奥-高公式：给出了闭曲面积分和相应体积分的积分变换关系。应用奥-高公式：446、伽辽金变分方程对其余各项进行同样的处理，(d)式成为：()()()()()()xxyzxyyzxyzzxyzxyyyzxyzyxzxzxzVlmnumnlvnlmw dSuvw dxdydzxyzyzxzxy()()xyzxyzVuvw dxdydffffffzuvw dS(11-6)代入位移变分方程，由于受约束的位移边界上，得0uvw()()()()()()0 xyyyzxyzyxzxzxzxxyzxyyzxyzzxyzxzyzxyuvw dxdydzxyzyzxzxylmnumnlvnlmw dSffffff0V45即为伽辽金变分方程。表示：当位移分量满足位移边界及应力边界条件时，位移变分所应满足的方程。6、伽辽金变分方程()()()0 xyyyzxyzyxzxzxzzyxfuvwdxdydzxyzyzxzxyff(11-8)()()()()()()()()()sssxxyxzxsssyyzyxyssszzxzyzlmnfmnlfnlmf 简化得：如果全部的面力已知，应力边界条件得到满足：由(8-5)()()0 xyxzxxxyzxxxudxdydzxyzlmnffudS466、伽辽金变分方程导出位移变分方程位移只满足位移边界条件导出伽辽金变分方程位移满足 位移边界条件。应力边界条件。()()()0 xyyyzxyzyxzxzxzzyxfuvwdxdydzxyzyzxzxyff()()yyxxzzVfvfw dxdfufuydzfvfw dS(11-6)(11-8)47小结(1)实际平衡状态下的位移必须满足：用位移表示的平衡微分方程用位移表示的应力边界条件位移边界条件 现在，位移变分方程等价于静力平衡条件和，于是，若使位移函数预先满足位移边界条件，再满足位移变分方程，必然可以找出对应实际平衡状态的位移解。(2)上述四种变分方程都是同一方程的不同表现形式，其本质是相同的，都是能量守恒原理在平衡体系上的应用。48附(8-19)式的推导1()1()1()xxyzyyzxzzxyEEE 1 2()xyzxyzE（2-13）1()xxyzE1()(1)zxyxE()11 2xxE由：体应变()1 2xyzE111xyxyyzyzzxzxGGG得：49最速降线问题推导