解析函数的孤立奇点类型判断及应用

解析函数的孤立奇点类型判断及应用 摘 要 孤立奇点的应用在解析函数的学习和对其性质分析研究中有着重要作用，而留数计算是复变函数中经常碰到的问题。解析函数在不同类型的孤立奇点处的计算方法不同，关键我们要先判断其类型。本文在分析整理了相关资料的基础上，首先给出了孤立奇点的定义、分类及其类型的判别定理和相关推及引理，其中在考虑极点处的留数求法时，又根据单极点、二阶极点，m阶极点的求法不同，结合例子给出极点阶数的判断方法。并通过有限孤立奇点的判别对解析函数无穷远点的性态进行研究，分析能否把有限孤立奇点的特征应用到无穷远点，进而探讨了孤立奇点在留数计算中的应用，使得孤立奇点的知识更加系统、全面。关键词 孤立奇点 可去奇点 极点 本质奇点 判断 留数计算前言在复变函数论中，留数是非常重要的，而解析函数的孤立奇点是学习留数的基础，只有掌握了孤立奇点的相关性质，才能更好的学好留数。目前，在相关资料中，对孤立奇点的判别及应用已较为完备，如在许多版本的复变函数论中对孤立奇点的判别做了详细的说明和解释，使我们对孤立奇点的了解更透彻。但在现实中有时我们遇到的留数计算具体例子，运用定理判别会比较麻烦，还需要前后知识的衔接，这为留数计算增加了障碍。本文就是在此基础上作进一步的探讨，将判断这一工作拿出来单独讨论，通过对论文的撰写，将把孤立奇点类型的判别及在留数运算中的应用更全面化、系统化。此项研究内容可以对以后学习此部分内容的同学提供一定的帮助，使其对孤立奇点的理解更加清晰，应用得更加自如。在复变函数课程上我们已学过了孤立奇点的分类及其类型的判别和其在留数计算中的应用，为对其作进一步的研究奠定了基础。在此基础上查阅大量书籍，搜集相关资料，并对所搜集资料进行分析、研究、筛选和处理。通过指导教师的耐心指导，已具备了研究解析函数类型的判别及其在留数计算中的应用这一课题的初步能力，并能解决现实生活中的相关例题，使理论和实践达到真正的结合和统一。本文通过对已学知识的回顾总结，和相关资料的查阅，在老师的指导下自拟题目，将对孤立奇点的类型判别及应用进行说明，通过分析、整理、归纳、总结，对其进行更深入的研究。正文一、孤立奇点的定义及类型（一）定义如果函数在点的某一去心邻域(即除去圆心a的某圆)内解析，点是的奇点，则称为的一个孤立奇点。如果为函数的一个孤立奇点，则必存在正数 ，使得在点的去心邻域 内可展成洛朗级数。（二）孤立奇点的类型如为的孤立奇点，则在点的去心邻域 内可展成洛朗级数。其中称负幂部分为在点的主要部分。 孤立奇点按函数在的去心邻域内的洛朗展开式中负幂项的个数分类： 1.可去奇点：展开式中不含的负幂项；2.极点：展开式中含有限项的负幂项； 其中在解析，且；3.本性奇点：展开式中含无穷多项的负幂项； 二、孤立奇点类型的判别方法（一）可去奇点如果在的洛朗级数中不含的负幂项，则称孤立奇点是的可去奇点。以下三个条件是等价的：（1）是的可去奇点在的洛朗级数不含的负幂项；（2）是的可去奇点存在；（3）是的可去奇点在的某去心邻域内有界.（二）极点如果在的洛朗级数中只有（）的有限个负幂项，则孤立奇点称为极点。若负幂的最高项为，则称为级极点。与之等价的条件是：是的极点.零点和极点的关系： 不恒等于零的解析函数若能表示为 ，其中在解析，且，为一正整数，则称为的级零点.（1） 若在解析，则为的级零点的充要条件是 ， ；.（2） 一个不恒为零的解析函数的零点是孤立的.（3） 若是的级极点，则是的级零点.反之也成立.下面的定理说明了怎样由级零点得到级极点.定理1 假设 （i）两个函数和在点解析； （ii）,是的级零点. 则是 的级极点.定理2 设两个函数和在解析.如果 ， 和 ， 则是商的简单极点且 .（三）本质奇点如果在的洛朗级数中含有（）的无穷多个负幂项，则孤立奇点称为本质奇点。与之等价的条件是：是的本质奇点不存在且不等于.在本质奇点的邻域内，复变函数具有以下性质：（1）维尔斯特拉斯定理 若是的本质奇点，则对于任一复数及任给的，任意的，在区域中必存在一点，使得.推论 在任意一个圆环域中，必存在序列，使得.（2）皮卡定理 解析函数在本质奇点的任何邻域内，能够取任意一个有限值（复数）无穷次，至多有一个值例外.（四）函数在无穷远点的性态如果在无穷远点的去心邻域内解析，则称点是的孤立奇点.作变换（规定把扩充z平面上的无穷远点映射为扩充t平面上的点），把扩充z平面上的邻域映射成扩充t平面的去心邻域，且有=.于是，可以把在上对的研究化为在内对的研究.（1）如果是的可去奇点、级极点或本质奇点，则是的可去奇点、级极点或本质奇点.（2）若在内可以展开为洛朗级数，那么，在的洛朗级数中，如果：不含正幂项，则为的可去奇点；含有限个正幂项，则为的极点；含无穷多正幂项，则为的本质奇点.三、留数定理及留数计算方法（一）留数定义 若是解析函数的一个孤立奇点，在的去心邻域内解析，为邻域内任一简单闭曲线，则称为在处的留数，记作，即 .是在以为中心的圆环域内的洛朗级数中项的系数.（二）留数定理 设函数在区域内除有限个孤立奇点，外处处解析，是内包围诸奇点的一条简单闭曲线，则 .利用定理，可以将求沿封闭曲线的积分，转化为求被积函数在内各孤立奇点处的留数.（三）留数的计算与极点处留数的计算规则.计算留数最基础的依据是定义 ,为某去心邻域内一条简单闭曲线，是以为中心某邻域内洛朗级数项的系数.即，可通过求积分的值或求洛朗级数项系数来计算留数，所以若为的可去奇点，则.若为的本质奇点，则.若为的极点，则有以下规则：规则I 若是的一级极点，有 .规则II 若是的级极点，有 .规则III 当，和都在解析，如果，则为的一级极点，且有 .实际计算时，可以用规则，也可以用定义求洛朗级数的，或计算.（四）若函数在解析，为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线，则称积分为在点的留数，记为 .定理 如果函数在扩充的复平面内只有有限个孤立奇点，则在所有各奇点（包括点）的留数总和比等于零.规则IV .以上定理和规则提供了计算复变函数沿闭曲线积分的一种方法，这些方法使用恰当的话会使计算更简便.四、孤立奇点类型的判别及其在留数计算中的应用相关例题例1 指出下列函数在零点z=0的级：（1） （2）. 解（1）用求导数验证：记，不难计算 即 故为函数的四阶零点.由泰勒展式：由展开式 可知 其中内解析，.故为函数的四阶零点.（2）由展开式 可知 其中 在内解析，.故是函数的15阶零点.例2 判断下列函数的奇点类型？如果是极点，指出它的级数.（1） ； （2）； （3）；（4） ； （5）； （6）；（7） ； （8）（n为正整数）.解 （1）令，得。因函数在点及处无定义，所以是此函数的奇点，且都是孤立奇点。又由分别是函数 的一级零点，二级零点，故与分别是的一级极点与二级极点。 （2）显然是的孤立奇点。 由于在点处的洛朗展开式为 故是的二级极点。 （3）令，即，得为的奇点，且均为孤立奇点。由于与分别是函数的一级与二级零点，故与分别为的一级与二级极点。（4） 显然是的孤立奇点。且由知，是的可去奇点。另外，也是的奇点，但它不是孤立奇点。因为在负实轴（的左侧）上处处不解析（即在的无论多小的邻域内总有的不解析点）。（5） 令，即或，得 （）。故的奇点分别为（）。对于，由于是的零点，且 所以是的一级零点，从而可知是的二级零点，故是的二级极点。对于，用类似的方法可知，它也是的二级极点。对于（），由于 所以（）都是的一级零点，故它们都是的一级极点。（6）显然只有一个奇点。由于在的去心邻域内的洛朗展开式为其中含有无数多个的负幂项，故是的本质奇点。（7）令，得因此，的奇点分别是，且是孤立奇点。对于，由于它是的零点，且 所以是的一级零点，从而可知是的三级零点，故是的三级极点。（8） 令，即，得 ，故共有个孤立奇点。 由于它们都是函数的零点，且易知 所以它们都是的一级零点，因此可知它们都是的一级极点。例3 证明不恒为零的解析函数的零点是孤立的.即若不恒为零的函数在内解析，则必有a的一个领域，使得在其中无异于a的零点（解析函数零点的孤立性）. 分析 由于解析函数不恒为零且，所以利用在点a的泰勒展开式可知，总存在自然数，使，（否则独所有m，由泰勒定理矛盾）.于是可设a为的m阶零点，然后由零点的特征来讨论. 证 （不妨设）a为的m阶零点，其中内解析，. 因在a 处解析，则有，可取，存在着，当时，由三角不等式 便知当时 即有，故在a的邻域内使.例4 判断点是不是下列函数的奇点：（1） ； （2）； （3）； （4）.解 （1），（）是的一级极点.当时，所以是的极点的极限点，不是孤立奇点.（2） 函数在复平面除去，和连接它们的线段外单值解析.又，所以是的可去奇点.（3） 是的本质奇点，又是的可去奇点，所以是的本质奇点.（4） 因为不存在，所以是的本质奇点.例5 求下列函数的有限奇点处的留数：（1） ；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）.解： （1）因为，所以为的一级极点，故依规则I，有 ， . (2)是分母四级零点，分子一级零点，因而是的三级极点，于是依规则II，有 . (3)因，所以为的三级极点，于是，依规则II，有 . . (4)是一级零点，所以是的一级极点，于是依规则III，有 . (5)因为，在内，有 ，故 . (6)因为，在内，有 ,故 . （7）是二级极点，是一级极点.依规则II和规则III，有 ， （8）为一级极点，依规则III，有 . 例6 用多种方法求的留数.解 和是的一级极点.方法1 用洛朗展开法.，. ，. ，.所以 ， ， .方法2 用极限法（规则I）. ， .由留数和定理知 .方法3 用柯西公式（积分）.， .同极限法，有.注意，内只有一个奇点.方法4 用求导法（规则III）. ， .同极限法，有.例7 求下列函数在的留数.（1） ； （2）； （3）； （4）；（5） .解 （1），不含正幂项，因而点是可去奇点，所以 （2），含无穷多正幂项，所以点本质奇点，有 （3） ，.所以 .（4） 因为是的一级极点，且 ， ，所以 .（5） 只有三个有限远奇点，是一级极点，是四级极点，其留数分别为 故 结论本文通过对资料，及相关文献的研究分析，总结了解析函数孤立奇点的判别方法并对函数在无穷远处的性态进行分析，并通过对具体实例的研究分析进一步论述了孤立奇点在留数计算中的应用使得孤立奇点的知识更加系统、全面，对以后学习此部分内容的同学提供一定的帮助，使其对孤立奇点的理解更加清晰，应用得更加自如。但本文中的例题并未包含此部分的全部类型，如不能求出极点的级数的类型题，本文并未涉及，遇到此类型提示还需进一步探讨。参考文献1钟玉泉，复变函数论，第三版，北京：高等教育出版社，20042钟玉泉，复变函数学习指导书，北京：高等教育出版社，19953（美）布朗（Brown,J.W.）等著；邓冠铁等译，,复变函数及应用，第七版，北京：机械工业出版社，20054孙清华 孙昊，复变函数疑难分析与解题方法，第二版，武汉：华中科技大学出版社，20105谭欣欣 刚家泰，复变函数习题全解全析，大连：大连理工大学出版社，200415