极大似然估计的题库精编版

1设总体X的概率密度函数是| a xa-1, f (x; a) = o,0x 0为未知参数。x1,组样本值，求参数a的最大似然估计。解：似然函数 l=na xa-1 =a n n xa-1 iii =1i =1In L = n In a + (a 一 1)工 In xi i=1d ln L n n In xi=+ Inx = 0daaii=1i=12、设总体X的概率密度函数是f (x； a)=(a +1)xa0 x 0其它|2X x exp-九 x 2, f(x)To,九0为未知参数，x1，x2, x3,K，组样本值，求参数九的最大似然估计。-九工x 2)ii=1In L = n ln(2九)+ 工 In x 一 疙ii=1x2ii=1解：似然函数L = n(2九x exp九x2) = (2n九nfix exp iiii=1i =1d ln L n ni=1=一 x 2 = 0 da九 ina =n乙X 2ii=14、设总体的概率密度函数是f （ x） =3 九 x 2 exp九 x 3,0,x 0其它其中九0是未知参数,X1, X2, X3，K，Xn是一组样本值，求参数九的最大似然估计。解：似然函数L = n（3九x2 exp九x3） = （3n九n nx2 exp九工iiii=1i=1x 3）ii=1ln L = n ln（3 九）+ 工 ln x 2 九Zx 3iii =1i=1d ln L n nZ x 3 = 0 da 九 ii=1九=nz x 3ii=15、设总体X服从参数为1的指数分布,x ,x ,x123,K , x 是n组样本值，求参数0的最大似然估计。解：L = n1 e-1 xi=10ne-1fxe 0 i=1 xif 1 ln L = n ln-1 fx0. id ln L n 1 nx = + f x d00 0 2 i=1 i6、设总体X的概率密度函数是=010 = f x = xS=1 if（X；卩）洛 e一1（X一叭x1, x2,K，xn是一组样本值，求参数卩的最大似然估计?解：似然函数L =育e-7xi =1exp-1 f（x i=/2K/ I 2 i=1 iln L=一 2ln（2 兀）-2f （x一卩）22 i=1 l字L = f（ x-卩）=0d 卩i=1 i入1-n卩=Zx =x=1 i7、设总体X服从(1)参数为九的泊松分布P(九)=e-九(x =0, 1, L ),其中九 0为x!未知参数，(2) 0-1概率分布为PX = x=px (1-p)1-x, x二0,1 ； (3)正态分布N (卩,b 2)；(4)参数为九的指数分布X1，X2, X3,K，Xn是一组样本值，求对应参数最大似然估计。思考以下三个问题(1) 求最大似然估计值还是最大似然估计量？(2) 对所得的估计量证明是否无偏估计量？(3) 给定具体一组观察值的结果，是否可以得到具体的最大似然估 计值。