2020-2021学年江西省南昌二中高一上学期期末数学试卷

3 2020-2021 学年江西省南昌二中高一（上）期末数学试卷 一、选择题（共 12 小题）.1设集合 Ax|1x3，Bx|2x4，则 AB（ ）Ax|2x3 Bx|2x3 Cx|1x4 Dx|1x4 2若角 与角 的终边关于 y 轴对称，则（ ）A+k（kZ） CB+2k（kZ） D3已知角 的终边经过点 P（x，3）（x0）且 cosx，则 x 等于（ ）A1 BC3D4已知平面向量 （1，2）， （1，0），则向量等于（ ）A（2，6）B（2，6）C（2，6）D（2，6）5下面正确的是（ ）Atan1sin2cos3Ccos3tan1sin2Bsin2cos3tan1Dcos3sin2tan16已知函数 yf（x），将 f（x）的图象上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的 2 倍，然后把所得的图象沿着 x 轴向左平移象，那么函数 yf（x）的解析式是（ ） ABCD个单位，这样得到的是的图7若 f（x） ，则 ff（log 2）的值为（ ）ABCD28已知 P 是边长为 2 的正六边形 ABCDEF 内的一点，则的取值范围是（ ）A（2，6） 9已知函数B（6，2）C（2，4），若函数 f（x）在区间D（4，6）上为单调递减函数，则实数 的取值范围是（ ）0 0 0 0 ABCD10如图，延长正方形 ABCD 的边 CD 至点 E，使得 DECD，动点 P 从点 A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点 A，若 （ ），则下列判断正确的是A满足 + 2 的点 P 必为 BC 的中点B满足 + 1 的点 P 有且只有一个C满足 + 3 的点 P 有且只有一个D+ 的点 P 有且只有一个11函数 y （0 ）的图象如图，则（ ）Ak ， ，Ck ，2，Bk ， ，Dk2，2，12基本再生数 R 与世代间隔 T 是新冠肺炎的流行病学基本参数基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I（t）ert描述累计感染病例数 I（t）随时间 t（单位：天）的变化规律，指数增长率 r 与 R ，T 近似满足 R 1+rT有学者基于已有数据估计出 R 3.28，T6据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 1 倍需要的时间约 为（ ）（ln20.69）A1.2 天B1.8 天C2.5 天D3.5 天二、填空题（共 4 小题）.13函数的定义域为 14函数 ，不等式 f（x）0 的解集是 15如图，在ABC 中，D 是 BC 的中点，E 在边 AB 上，BE2EA，AD 与 CE 交于点 O若，则的值为 16有如下四个命题：函数向量 在 方向上的射影的图象关于直线 x对称设 O 是ABC 的外心，且满足，则ACB 在平行四边形 ABCD 中， ，边 AB、AD 的长分别为 1，2，若 M，N 分别为BC、CD 上的点，且满足其中正确的命题的序号为 ，则则的取值范围是2，5三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17己知，的夹角为 120，（1）求的值；（2）求与夹角18已知 tan2，（1）求 tan（）；（2）求 + 的值 19已知函数，其中 cos2x（1）求 f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）若关于 x 的方程 f（x）m2 在上有解，求实数 m 的取值范围20如图，在ABC 中，设 BC，CA，AB 的长度分别为 a，b，c，证明：a2b2+c22bccosA21如图所示，莱蒙都会小区为美化环境，准备在小区内草坪的一侧修建一条直路OC，另一侧修建一条休闲大道休闲大道的前一段 OD 是函数后一段 DBC 是函数 yAsin（x+）（A0，0，| |的图象的一部分，x4，8）的图象，图象的最高点为，且 DFOC，垂足为点 F（1）求函数的解析式；（2）若在草坪内修建如图所示的矩形儿童乐园 PMFE（阴影部分），点 P 在曲线 OD 上， 其横坐标为 ，点 E 在 OC 上，求儿童乐园的面积22如图，在正方形 ABCD 中，AB2，E 为 BC 的中点，点 P 是以 AB 为直径的圆弧上任 一点设 ，（1）求 x2y 的最大值、最小值（2）求 x+y 的取值范围参考答案一、选择题（共 12 小题）.1设集合 Ax|1x3，Bx|2x4，则 AB（ ）Ax|2x3 Bx|2x3 Cx|1x4 Dx|1x4 解：集合 Ax|1x3，Bx|2x4，ABx|1x4故选：C2若角 与角 的终边关于 y 轴对称，则（ ）A+k（kZ） CB+2k（kZ） D解： 是与 关于 y 轴对称的一个角， 与 的终边相同，即 2k+（）+2k+（）（2k+1），故答案为：+（2k+1） 或 +（2k+1），kz， 故选：B3已知角 的终边经过点 P（x，3）（x0）且 cosx，则 x 等于（ ）A1 BC3D解：已知角 的终边经过点 P（x，3）（x0）所以 OP，由三角函数的定义可知：cosx0 解得 x1故选：Ax ，4已知平面向量 （1，2）， （1，0），则向量等于（ ）A（2，6）B（2，6）C（2，6）D（2，6）解：3（1，2）+（1，0）（3（1）+1，32+0）（2，6）3 3 故选：A5下面正确的是（ ）Atan1sin2cos3Ccos3tan1sin2Bsin2cos3tan1Dcos3sin2tan1解：由题意，根据弧度与角度的互化，可得 1rad57.3所以 tan1tan451，0sin21，cos30所以 cos3sin2tan1故选：D6已知函数 yf（x），将 f（x）的图象上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的 2 倍，然后把所得的图象沿着 x 轴向左平移象，那么函数 yf（x）的解析式是（ ）个单位，这样得到的是的图AC解：对函数BD的图象作相反的变换，利用逆向思维寻求应有的结论把的图象沿 x 轴向右平移个单位，得到解析式的图象，再 使 它 的 图 象 上 各 点 的 纵 坐 标 不 变 ， 横 坐 标 缩 小 到 原 来 的的图象，倍 ， 就 得 到 解 析 式故函数 yf（x）的解析式是 故选：D，7若 f（x） ，则 ff（log 2）的值为（ ）ABCD2解：f（x） ，f（log 2） ，3 ，ff（log 2）f（ ）故选：A8已知 P 是边长为 2 的正六边形 ABCDEF 内的一点，则的取值范围是（ ）A（2，6）B（6，2）C（2，4）D（4，6）解：画出图形如图， ，它的几何意义是 AB 的长度与在向量的投影的乘积，显然，P 在 C 处时，取得最大值，可得 在 F 处取得最小值， 236，最大值为 6，22，最小值为2，P 是边长为 2 的正六边形 ABCDEF 内的一点，所以 故选：A的取值范围是（2，6）9已知函数 ，若函数 f（x）在区间 减函数，则实数 的取值范围是（ ）上为单调递A解：函数BC在区间D上为单调递减函数，由 2k+x2k+，求得x+故函数 f（x）的减区间为+，+ ，k Z 函数 f（x）在区间上为单调递减函数，故有 ，求得 2k+ 故选：B+，令 k0，可得 ，10如图，延长正方形 ABCD 的边 CD 至点 E，使得 DECD，动点 P 从点 A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点 A，若 （ ），则下列判断正确的是A满足 + 2 的点 P 必为 BC 的中点B满足 + 1 的点 P 有且只有一个C满足 + 3 的点 P 有且只有一个D+ 的点 P 有且只有一个 解：建立直角坐标系，如图所示：设正方形的边长为 1，设动点 P（x，y），则 A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1），E（1，1），所以，所以，整理得 ，所以 + x+2y，下面对点 P 的位置逐一进行讨论，当点 P 在 AB 上时， ，故：+ x+2y0，1当动点 P 在 BC 上时， ，故 + x+2y1，3当动点 P 在 CD 上时， ，故 + x+2y2，3当动点 P 在 DA 上时， ，故 + x+2y0，2由此可得：+ 2，得到动点 P 为 BC 的中点或点 D 的位置，故 A 错误； 当 + 1 时，得到动点 P 为点 B 的位置或 AD 的中点，故 B 错误；当 + 时，点 P 为 CD 的中点或 P（1， ），故 D 错误当 + 3 时，点 P 为 C（1，1）的位置，故 C 正确故选：C11函数 y （0 ）的图象如图，则（）Ak ， ，Ck ，2，Bk ， ，Dk2，2，解：把（2，0）代入 ykx+1，求得 k 0 0 0 0 0 0 再根据 ，可得 再根据五点法作图可得 故选：A+，求得 ，12基本再生数 R 与世代间隔 T 是新冠肺炎的流行病学基本参数基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I（t）ert描述累计感染病例数 I（t）随时间 t（单位：天）的变化规律，指数增长率 r 与 R ，T 近似满足 R 1+rT有学者基于已有数据估计出 R 3.28，T6据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 1 倍需要的时间约 为（ ）（ln20.69）A1.2 天B1.8 天C2.5 天D3.5 天解：把 R 3.28，T6 代入 R 1+rT，可得 r0.38，I（t）e0.38 t， 当 t0 时，I（0）1，则 e0.38 t2，两边取对数得 0.38tln2，解得 t 故选：B1.8二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13函数的定义域为 x|1x1 解：要使函数有意义，则 log （1x2）0，即 01x21，所以 0x21，所以1x1，所以函数的定义域为x|1x1，故答案为：x|1x114函数 ，不等式 f（x）0 的解集是 （1，4） 解：函数 ，则由不等式 f（x）0 可得，或解求得 2x4，解求得 1x2综合可得，原不等式的解集为2，4）（1，2）（1，4），故答案为：（1，4）15如图，在ABC 中，D 是 BC 的中点，E 在边 AB 上，BE2EA，AD 与 CE 交于点 O若，则的值为 解：过 D 作 DFEC 交 AB 于 F，因为 D 为 BC 的中点，所以 F 为 BE 的中点， 又 BE2EA，所以 EFEA，又 DFEO，所以 AO，故，所以，因为，所以故故 故答案为：，所以，16有如下四个命题： 函数的图象关于直线 x对称向量 在 方向上的射影 设 O 是ABC 的外心，且满足，则ACB 在平行四边形 ABCD 中， ，边 AB、AD 的长分别为 1，2，若 M，N 分别为BC、CD 上的点，且满足其中正确的命题的序号为 ，则则的取值范围是2，5解：对于，由 f（x）sin（x）+sinx+f（x），所以该函数 f（x）的图象关于直线 x对称，故正确；对于，向量 在 方向上的射影 ，故错误；对于，由 O 是ABC 的外心，且满足，可得| | | |R， （3+5），平方可得 R2 （9R2+30R2cos2ACB+25R2），解得 cos2ACB ，所以 2ACB，可得ACB ，故错误；对于，建立如图所示的直角坐标系，则 B（2，0），A（0，0），D（ ，设 ，0，1，），则 M（2+，），N（ 2，），所以（2+，）（ 2，）54+ 2+ 22+5，因为 0，1，二次函数的对称轴为 1，所以 0，1时，故答案为：22+52，5，故正确三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17己知，的夹角为 120，（1）求的值；（2）求与夹角解：（1）根据题意，的夹角为 120，则，故；（2）根据题意，则，又，则 ，而，故，又由 0， 180，所以与夹角为 120018已知 tan2，（1）求 tan（）；（2）求 + 的值，其中 解：（1）tan2， ， （2） ，又 ，在与之间，只有的正切值等于 1，19已知函数cos2x（1）求 f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）若关于 x 的方程 f（x）m2 在 解：（1）上有解，求实数 m 的取值范围，周期，解得 f（x）的单调递增区间为（2） ，所以 ，所以 f（x）的值域为2，3而 f（x）m+2，所以 m+22，3，即 m0，120如图，在ABC 中，设 BC，CA，AB 的长度分别为 a，b，c，证明：a2b2+c2，2bccosA解：已知ABC 中 A，B，C 所对边分别为 a，b，c，以 A 为原点，AB 所在直线为 x 轴建 立直角坐标系，则 C（bcosA，bsinA），B（c，0），a2|BC|2（bcosAc）2+（bsinA）2b2cos2A2bccosA+c2+b2sin2Ab2+c22bccosA21如图所示，莱蒙都会小区为美化环境，准备在小区内草坪的一侧修建一条直路OC，另一侧修建一条休闲大道休闲大道的前一段 OD 是函数后一段 DBC 是函数 yAsin（x+）（A0，0，| |的图象的一部分，x4，8）的图象，图象的最高点为，且 DFOC，垂足为点 F（1）求函数的解析式；（2）若在草坪内修建如图所示的矩形儿童乐园 PMFE（阴影部分），点 P 在曲线 OD 上， 其横坐标为 ，点 E 在 OC 上，求儿童乐园的面积解：（1）由图象，可知，将得代入， ，中，即 ，故（2）在从而得曲线 OD 的方程为中，令 x4，得 D（4，4），则 ，ma矩形 PMFE 的面积为即儿童乐园的面积为 ，22如图，在正方形 ABCD 中，AB2，E 为 BC 的中点，点 P 是以 AB 为直径的圆弧上任 一点设 ，（1）求 x2y 的最大值、最小值（2）求 x+y 的取值范围解：（1）如图，取 AB 中点 O，以 O 点为原点，以 AB 所在直线为 x 轴，如图建立平面 直角坐标系，设POB，结合题意，可知 A（1，0），B（1，0），C（1，2），D（1，2）， E（1，1），P（cos，sin）（0，），所以又（cos+1，sin）， （2，1）， （0，2），所以（2x，x+2y）（cos+1，sin），即 ，则有，又由 0，则当 0 时，（x2y） 2，当时， ；故 x+2y 的最大值为 2，最小值为，（2）根据题意， ，则 x+y中+为锐角） （2sin+cos+1 ）sin（+）+ ，其因为 +，所以 sin（+）sin（+）1，所以即 x+y 的取值范围为0，所以 0x+y ，