等可能概型(古典概型).ppt

一、等可能概型 二、典型例题 三、几何概率 四、小结 第四节 等可能概型 (古典概型 ) . . )2( ; )1( 古典概型 验称为等可能概型或具有以上两个特点的试 生的可能性相同试验中每个基本事件发 有限个元素试验的样本空间只包含 1. 定义 一、等可能概型 (古典概型 ) 设试验 E 的样本空间由 n 个样本点构成 ， A 为 E 的任意一个事件 ， 且包含 m 个样本点 ， 则事 件 A 出现的概率记为 : 2. 古典概型中事件概率的计算公式 .)( 样本点总数所包含样本点的个数AnmAP 称此为概率的古典定义 . 【 注 】 求解古典概型问题的关键是弄清样本空间中的 基本事件总数 和对所求概率事件 有利的事件个数 在考虑 事件数的时候，必须分清研究的问题是组合问题还是排列 问题，掌握以下关于排列组合的知识是有用的： (1) 加法原理： 设完成一件事有 k类方法，每类又分 别有 m1 , m2, , mk种方法，而完成这件事只需其中一 种方法，则完成这件事共有 m1 + m2,+ +mk种方法 (2) 乘法原理： 设完成一件事有 n个步骤第一步有 m1种方法、第二步有 m2种方法， 第 n步有 mn 种方法， 则完成这件事共有 m1 m2 mn种方法 . (3)、不同元素的选排列 从 n个不相同的元素中无放回取 k个的排列 (k n)， 称为从 n个不同元素中取 k个元素的选排列 ,共有 种。 当 n k 时，称 n个元素的全排列共有 n！ 种。 k nP 例如：从 3个元素取 出 2个的排列总数有 6种 23 6P !( ) ( ) ( ) ( ) ! 1 2 1kn np n n n n k nk (4)、不同元素的重复排列 例如：从装有 4张卡片的盒中 有放回地摸取 3张 3 2 4 1 n=4,k =3 1 2 3 第 1张 4 1 2 3 第 2张 4 1 2 3 第 3张 4 共有 4.4.4=43种可能取法 kn n n n 从 n个不同的元索中，有放回地取 k个元素进行的排 列，共有 种（元素允许重复 ）。 kn 1 kn剟 n (5)、不全相异元素的排列 在 n个元素中，有 m类不同元素、每类各有 k1, k2 , km 个，将这 n个元素作全排列，共有如下种方式： 12 ! ! ! !m n k k k k1个 元素 k2个 元素 km个 元素 n个 元素 因为 : 12 1 12 ! ! ! ! m m kkk n n k k m nC C C k k k (6)、环排列 从 n个不同元素中，选出 m个不同的元素排成一 个圆圈的排列，共有： ( 1 ) ( 2) ( 1 ) ( 1 ) !m n n n n n m Cm m (7)、组合 从 n个不同元素中取 m个而不考虑其次序的排列 （组合），共有 种 . mnC 4 1 2 3 4 1 2 3 1 1 2 4 2 3 4 3 每个排列 重复了 4 次 4! 4 排列数为 3. 古典概型的基本模型 :摸球模型 (1) 无放回地摸球 问题 1 设袋中有 4 只白球和 2只黑球 , 现从袋中无 放回地依次摸出 2只球 ,求这 2只球都是白球的概率 . 解 ,2 只球都是白球摸得设 A 基本事件总数为 ,2 6 A 所包含 基本事件的个数为 ,2 4 2 6 2 4)( AP故 .52 (2) 有放回地摸球 问题 2 设袋中有 4只红球和 6只黑球 ,现从袋中有放 回地摸球 3次 ,求前 2次摸到 黑球 、 第 3次摸到红球 的概率 . 解 3,2 次摸到红球第次摸到黑球前设 A 第 1次摸球 10种 第 2次摸球 种第 3 种 6种 第 1次摸到黑球 种第 2次摸到黑球4种 第 3次摸到红球 基本事件总数为 ,10101010 3 A 所包含 基本事件的个数为 ,466 310 466)( AP故 .144.0 课堂练习 1o 电话号码问题 在 7位数的电话号码中 ,第一位 不能为 0，求数字 0出现 3次的概率 . 2o 骰子问题 掷 3颗均匀骰子 ,求点数之和为 4的 概率 . )109913619:( 633 p答案 )63:( 3p答案 4.古典概型的基本模型 :球放入杯子模型 (1)杯子容量无限 问题 1 把 4 个球放到 3个杯子中去 ,求第 1、 2个 杯子中各有两个球的概率 , 其中假设每个杯子可 放任意多个球 . 3 3 3 3 4个球放到 3个杯子的所有放法 ,33333 4 种 个2 种 2 4 个2 种 2 2 因此第 1、 2个杯子中各有两个球的概率为 43 2 2 2 4 p . 27 2 (2) 每个杯子只能放一个球 问题 2 把 4个球放到 10个杯子中去 ,每个杯子只能 放一个球 , 求第 1 至第 4个杯子各放一个球的概率 . 解 第 1至第 4个杯子各放一个球的概率为 4 10 4 4 p pp 78910 1234 .2101 2o 生日问题 某班有 20个学生都 是同一年出生的 ,求有 10个学生生 日是 1月 1日 ,另外 10个学生生日是 12月 31日的概率 . )92:(答案 )36 510101020:( 20 p答案 课堂练习 1o 分房问题 将张三、李四、王五 3人等可能地 分配到 3 间房中去 ,试求每个房间恰有 1人的概率 . 解 ., TTTTTHTH TH TTTH HH THHHTHHHS 则 .,1 TTHT H TH T TA 而 .83)( 1 AP得 .,)2( 2 TTHT H TH T TT H HH T HH H TH H HA .87)( 2 AP因此 ).(, )2().(, )1(. 2 21 1 AP AAP A 求次出现正面” “至少有一为设事件求”次出现正面 为“恰有一设事件将一枚硬币抛掷三次 ., )1( 为出现反面为出现正面设 TH 二、典型例题 1例 在 N 件产品中抽取 n件 ,其中恰有 k 件次品的取法 共有 ,种 kn DN k D 于是所求的概率为 . n N kn DN k Dp 解 在 N件产品中抽取 n件的所有可能取法共有 ,种 n N ?)(, , 件次品的概率是多少问其中恰有件 今从中任取件次品其中有件产品设有 Dkkn DN 2例 例 3 在 12000的整数中随机地取一个数 ,问取到 的整数既不能被 6整除 , 又不能被 8整除的概率是 多少 ? 设 A 为事件“取到的数能被 6整除” ,B为事件 “取到的数能被 8整除”，则所求概率为 ).( BAP )()( BAPBAP )(1 BP ) .()()(1 ABPBPAP 解 ,3 3 462 0 0 03 3 3 因为 ,2000333)( AP所以 ,84242 0 0 083 由于 .2 0 0 083)( ABP得 于是所求概率为 )( BAP 20 008320 0025 020 0033 31 )()()(1 ABPBPAP .43 .2 0 0 02 5 0)( BP故得 ,2 5 082 0 0 0 由于 例 4 将 15 名新生随机地平均分配到三个班级中 去 ,这 15名新生中有 3名是优秀生 .问 (1) 每一个班 级各分配到一名优秀生的概率是多少 ? (2) 3 名优 秀生分配在同一个班级的概率是多少 ? 解 15名新生平均分配到三个班级中的分法总数 : 5 5 5 10 5 15 . !5!5!5 !15 (1) 每一个班级各分配到一名优秀生的分法共有 .)!4!4!4()!12!3( 种 因此所求概率为 !5!5!5 !15 !4!4!4 !12!3 1 p . 91 25 (2)将 3名优秀生分配在同一个班级的分法共有 3种 , 对于每一种分法 ,其余 12名新生的分法有 .!5!5!2 !12 种 因此 3名优秀生分配在同一个班级的分法共有 ,)!5!5!2()!123( 种 因此所求概率为 !5!5!5 !15 !5!5!2 !123 2 p . 91 6 例 5 某接待站在某一周曾接待过 12次来访 ,已知 所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的 ,问是 否可以推断接待时间是有规定的 . 假设接待站的接待时间没有 规定 ,且各来访者在一周的任一天 中去接待站是等可能的 . 解 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 .712种 1 2 3 4 12 7 7 7 7 7 故一周内接待 12 次来访共有 .212种 12 12 7 2p .30 0 00 0 0.0 小概率事件在实际中几乎是不可能发生的 , 从 而可知接待时间是有规定的 . 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 1 2 3 4 12 2 2 2 2 12 次接待都是在周二和周四进行的共有 故 12 次接待都是在周二和周四进行的概率为 例 6 假设每人的生日在一年 365 天中的任一天 是等可能的 , 即都等于 1/365 ,求 64 个人中至少 有 2人生日相同的概率 . 64 个人生日各不相同的概率为 .3 6 5 )1643 6 5( 3 6 43 6 5 641 p 故 64 个人中至少有 2人生日相同的概率为 643 6 5 )1643 6 5( 3 6 43 6 51 p .997.0 解 率为 概他们的生日各不相同的个人随机选取 ,)365( n .3 6 5 )13 6 5(3 6 43 6 5 n np 日相同的概率为个人中至少有两个人生而 n .365 )1365(3643651 n np 说明 我们利用软件包进行数值计算 . 例 7、 有 n个人排队，排成一圈，求甲、乙两人 相邻的概率是多少 ? 解： (2)排成一圈是环排列， n个人的环排列有 (n 1)! 种，甲、乙相邻占一个位置的环排列有 (n一 2)!种，考 虑互换性，有利事件有 2 (n一 2)!种故： ( 2 ) ! 2 ! 2() ( 1 ) ! 1 nPA nn 更为简单的想法是：设想一个圆周上：有 n个位置， 甲占了一个位置后，乙还有 n一 1个位置可选，其中与 甲相邻的位置有 2个所以 : 2() 1PA n 例 8、从 5双不同的鞋子中任取 4只，这 4只鞋子中 至少有两只鞋子配成一双的概率是多少 ? 4 1 1 1 1 5 2 2 2 2 4 10 8 () 21 8 1 3 ( ) 1 ( ) 1 2 1 2 1 C C C C C PA C P A P A 解： A =4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双 =4只鞋子中没两只鞋子配成一双 A 例 9、 某人将三封写好的信随机装入三个写 好地址的信封中，问没有一封信装对地址的概 率是多少？ 这是一个 对 问 解：设 Ai =第 i封信装入第 i个信封 i =1,2,3 A=没有一封信装对地址 直接计算 P(A)不易，我们先来计算 )( AP =至少有一封信装对地址 则 A )()( 321 AAAPAP )()()( )()()()( 3213231 21321 AAAPAAPAAP AAPAPAPAP 1 2 3 2 ! 1( ) ( ) ( ) 3 ! 3P A P A P A 6 1 !3 1)()()( 323121 AAPAAPAAP 其中： 于是 : ! 1 )1( !3 1 !2 1 ) ! 1 )1( !3 1 !2 1 1(1 1 n n n n 推广到 n封信 ,用类似的方法 可得 :把 n 封信随机地装入 n个 写好地址的信封中 , 没有一封 信配对的概率为 : 2 ! 1 1 33 3! 3! 3! 1 1 2 1 2 ! 3! 3 1 2 3( ) ( )P A P A A A 1 2 3 11() 3 ! 6P A A A ( ) 1 ( ) 1 1 1 2 ! 3 ! 3 P A P A 例 10 利用概率模型证明恒等式 111r r rn n nC C C 0 , ( ) n r i r i n m n m i C C C r m （ 1） （ 2） 证（ 1）构造概率模型：设一袋中有 n个球，其中 只有 1个红球，其余全是黑球，现从袋中无放回 地摸出 r个球。记事件 A=“摸出的 r个球中有红 球”，则 11 11() r n r n CCPA C 1() r n r n CPA C 由 可得到等式（ 1）。 ( ) ( ) 1P A P A （ 2）构造概率模型：设一袋中有 n个球，其中有 m个红球， n-m个黑球，现从袋中无放回地摸出 r 个球。记事件 Ai=“摸出的 r个球中有 i个红球”，则 0 ( ) 1 r i i PA 而 ( ) , 0 , 1 , , i r i m n m i r n CCP A i r C 所以， 0 1, i r ir m n m r i n CC C 0 n r i r i n m n m i C C C 即 定义 当随机试验的样本空间是某个区域，并且 任意一点落在度量 (长度、 面积、体积 ) 相同的 子区域是等可能的，则事件 A 的概率可定义为 .)( SSAP A 说明 当古典概型的试验结果为连续无穷多个时 , 就归结为几何概型 . 三、几何概型 . .) ,( 几何概型定的概率称为 量来合理规这样借助于几何上的度区域的度量 的子是构成事件是样本空间的度量其中 ASS A 那么 .0,0 TyTx 两人会面的充要条件为 ,tyx 例 10 甲、乙两人相约在 0 到 T 这段时间内 , 在 预定地点会面 . 先到的人等候另一个人 , 经过时间 t( tT ) 后离去 .设每人在 0 到 T 这段时间内各时刻 到达该地是等可能的 , 且两人到达的时刻互不牵 连 .求甲、乙两人能会面的概率 . 会面问题 解 , , 时刻 的分别为甲、乙两人到达设 yx 故所求的概率为 正方形面积 阴影部分面积p 2 22 )( T tTT .)1(1 2Tt xo y txy tyx 若以 x, y 表示平面 上点的坐标 , 则有 t T T 最简单的随机现象 古典概型 古典概率 样本点总数 所包含样本点的个数A n mAP )( 几何概型 试验结果 连续无穷 四、小结