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第三章 测量误差和测量不确定度 本章学习要求： 1、了解测量的一般过程； 2、掌握误差与不确定度概念； 3、掌握误差的处理； 4、掌握测量结果的表示。 计量学概论 3.1 测量概述 1.作风： 规范操作 实事求是 质疑探究 创造发明 2.目的： 获得被测量量的真值（最佳估计值） , 并给出这个真值的置信度（不确定度）。 发现新现象，新问题，新规律。 3.特征： a.一定的仪器 b.一定的方法 c.一定的环境 d.一定的观察者 第三章 测量误差和测量不确定度 第三章 测量误差和测量不确定度 4.过程： 准备 a.理论准备 b.仪器准备 c.观察准备 观察记录 a.安装调试 b.观察测量 c.数据记录 （内容、日期、地点、合作者、 室温、气压、仪器简图、过 程、数据、现象、问题） 实验报告 a.数据整理和处理 b.实验报告编写 (六部分 ) 第三章 测量误差和测量不确定度 5、类型： 直接测量：被测量可直接用仪器比较读出。 如： M、 L、 t、 等等。 间接测量： 被测量为几个可直接测量量的函数。 即 : 如 : 、 等。 ), . . . ,( 321 nxxxxfy s lR 2 24 T lg 第三章 测量误差和测量不确定度 6.任务： 设法把测量的误差减至最少。 求出被测量的最佳值（最近真值）算平均值（） 估计最佳值的可靠程度（接近真值的程度）计算 测量列的标准误差 ,即 A类不确定度。 计算反映系统误差的类标准不确定度 计算合成标准不确定度 x 1 n xxSu i XA 第三章 测量误差和测量不确定度 7.测量结果的两种表示形式： yuyY c yuc -合成标准不确定度 其中 y yuu c r yuyY r 1 其中 -相对合成标准不确定度 第三章 测量误差和测量不确定度 8.测量的精确度： 精密度集中程度 体现偶然误差 精确度 准确度 -偏离真值程度 体现系统误差 第三章 测量误差和测量不确定度 3.2 测量误差 1、测量误差的定义 绝对误差： 测量结果与被测量真值之差。 相对误差： 绝对误差除以被测量真值。 分贝误差： 相对误差的对数表示。 引用误差 ：相对误差的另一种表示，分母取全量程，其 百分数用来表示仪表的准确度（级）。 2、误差的分类： 系统误差： 随机误差： 粗大误差： 第三章 测量误差和测量不确定度 3、系统误差 在同一条件下，对同一物理量进行多次测量时其测量误差 的符号和值保持不变，或者按一定规律变化的这类误差叫 系统误差，是带有系统性和方向性的误差。 系统误差中符号和大小确定，可以修正；符号和大小不确 定，可以限制和减小。 系统误差的来源： 来源于仪器 调校仪器、保持使用条件； 来源于操作 改进操作和读数方法； 来源于环境 排除环境因素； 来源于理论 对公式进行合理修正。 系统误差的补偿： P40 第三章 测量误差和测量不确定度 4、随机误差 在对同一量的多次重复测量中绝对值和符号以不可预 知方式变化的测量误差分量 。 产生原因： 实验条件和环境因素无规则的起伏变化，引起测量值 围绕真值发生涨落的变化。例如：电表轴承的摩擦力变动、 螺旋测微计测力在一定范围内随机变化、操作读数时的视 差影响。 特点： 有严格的统计规律：高斯分布、 T分布等 ， 对称性、有界性、单峰性、抵偿性。 第三章 测量误差和测量不确定度 直接测量的误差估计 1、测量列的标准差 2、算术平均值的标准差 3、统计定义 范围内包含真值的几率为 68.3%. n x x n i i 1 1 )( )( 1 2 n xx xs n i i )1( )( )( )( 1 2 _ nn xx n xs xs n i i )()( _ xsxxsx 第三章 测量误差和测量不确定度 间接测量的误差估计 : 教材 P43 5、粗大误差 含有粗大误差的值称为异常值，必须在数据处理时进 行鉴别，发现后应剔除。 粗大误差的产生原因主要有：测试人员粗心、客观条 件变化等等。 剔除粗大误差的准则： 3 准则 格拉布斯准则 罗曼诺夫斯基准则 第三章 测量误差和测量不确定度 3.3 测量不确定度的基本概念 一、 定义： 是与测量结果相关联的、表征合理的赋予被测量 值分散性的参数。 定义解析 : 一个参数 一个表示被测量值分散性的参数 一个与测量结果相联系的参数 合理赋予的参数 二、测量不确定度的含义： 1） “ 合理 ” reasonably，是指在统计控制状 态下的测量。也就是说，测量是在重复性条件或复现性 条件下进行的，此时对同一被测量做多次测量，所得测 量结果的分散性，并用重复性标准 偏 差或复现性标 准 偏 差表示。 第三章 测量误差和测量不确定度 2） “ 相联系 ” associated with，意指测量不确 定度是一个与测量结果 “ 在一起 ” 的参数，在测量结果的 完整表示中应包括测量不确定度。 没有测量结果就没有测量不确定度，定性分析不存在测量 不确定度； 仅给出测量结果而不给测量不确定度是没有意义的 。 3） “ 分散性 ” Dispersion， 指测量结果的分散性， 即为一个量值区间，可以是某一个概率包含可能得到的测 量结果。 为了表征这种分散性，测量不确定度用标准 偏 差表示。在实 际使用中，往往希望知道测量结果的置信区间，测量不确定度也可用 标准 偏 差的倍数或说明了置信水准的区间的半宽度表示。为了区 分这两种不同的表示方法，分别称它们为 标准不确定度 和 扩展不确定 度 。 第三章 测量误差和测量不确定度 在测量不确定度定义中 “合理赋予” 这个词很关键： 由于测量不确定度是表示测量分散性的参数， 是一个“模糊”的范围，它的边界需要人“赋 予”；因此，这种“赋予”不可避免地要取决于 评定者的主观条件（资源、信息、能力、经验） 以及客观需求（精密度要求、置信度要求、风险 性要求）。不同的评定者对同一被测结果作为的 不确定度评定可能有所不同，这是很自然的。 这种“赋予”应是合理的，所谓“合理”是指 符合统计规律，符合实际情况。 第三章 测量误差和测量不确定度 三、测量不确定度的来源： 1、被测量的定义不完整； 2、被测量定义值的复现不理想； 3、被测量的样本不能完全代表定义的被测量； 4、环境条件的不完善或对测量过程受环境条件影响认识不足； 5、使用模拟式仪表时，人员的读数偏差； 6、测量器具的分辨力和识别门限的限制； 7、测量标准或标准物质的给出值的不准确； 8、数据处理时所引用的常数或其他参数的不准确； 9、测量系统、测量方法、测量程序的不完善； 10、在相同条件下，被测量重复观测值的随机变化； 11、误差修正的不完善。 第三章 测量误差和测量不确定度 四、测量不确定度与测量误差区别 实质上只有 1个区别：测量误差是一个值，而且是一 个 明确 的值；测量不确定度是一个范围，而且是一个 “ 模 糊 ” 的范围。其它区别即由此区别而产生。 1、 量值 ：测量误差是一个量值，其符号只有一个， 非正即负；而测量不确定度的含义为一种区间，其符号恒 为正。 2、误差是一个 定性 概念，而不确定度是一个 定量 概 念。 3、误差是 客观存在 的，不依人们的认识程度而改变； 不确定度与人们对被测量和影响量及测量过程的 认识程度 有关。 第三章 测量误差和测量不确定度 4、测量误差和测量不确定度的 来源 不同 ： 5、已知系统误差的估计值时，可以对测量结果进行 修正，得到修正后的测量结果。但不能用不确定度对测量 结果进行修正。对已进行误差修正的测量结果，测量不确 定度评定时应考虑修正不完善引入的不确定度分量。 6、分类依据 7、合成方法 8、自由度 9、结果说明 10、置信概率 第三章 测量误差和测量不确定度 五、测量不确定度与测量误差联系 1、误差是不确定度的基础，尽管不确定度概念的引 入使误差分类的界限及其转化的问题淡化了，但评定和计 算不确定度，还有赖于必要的误差分析。只有对各个误差 源的性质、分布进行合理的分析和处理，才能确定出各分 量的不确定度和合成不确定度。 2、不确定度是误差的综合和发展，不确定度概念的 引入使不能确切知道的误差转化为一个可以定量计算的指 标附在测量结果中，从而使测量结果的质量有了一个统一 的比较标准。 第三章 测量误差和测量不确定度 六、测量不确定度的其他概念 标准不确定度： 以标准偏差表示的测量不确定度。 不确定度的 A类评定： 用对观测列进行统计分析的方法， 来评定标准不确定度。 不确定度的 B类评定： 用不同于对观测列进行统计分析的 方法，来评定标准不确定度。 合成标准不确定度： 当测量结果是由若干个其他量的值求 得时，按其他各量的方差或协方差算得的标准不确定度。 扩展不确定度： 确定测量结果的量，合理赋予被测量之值 分布的大部分可望含于此区间。 包含因子： 为求得扩展不确定度，对合成标准不确定度所 乘之数字因子。 相对不确定度 : 不确定度除以被测量之值。 第三章 测量误差和测量不确定度 七、测量不确定度的分类 A类标准不确定度（ UA） 标准不确定度 B类标准不确定度（ UB） 合成标准不确定度（ UC） 不确定度 U（ K 2） 测 扩展不确定度 U（ K 3） 量 U95 不 U99 确 定 A类相对标准不确定度（ UArel） 度 相对标准不确定度 B类相对标准不确定度 （ UBre） 合成相对标准不确定度（ UCrel） 相对不确定度 Urel （ K 2） Urel （ K 3） 相对扩展不确定度 Urel 95 Urel 99 第三章 测量误差和测量不确定度 3.4 测量不确定度的评定 在 A类评定 和 B类评定 的定义中有三个关键词： 观测列、 统计分析、标准不确定度 。 观测列 即通过重复性（或复现性）试验取得的测量数据。 A类评定的信息资源是观测列， B类评定没有现成的观测列， 只能设法去寻找别的信息资源； 统计分析 无论 A类评定还是 B类评定都是采用统计分析的 方法，这种统计分析的方法就是计算被评定变量的标准偏 差； 标准不确定度 无论 A类评定还是 B类评定都是要评定标准 不确定度，而不是扩展不确定度。 第三章 测量误差和测量不确定度 一、 测量不确定度的评定步骤 1、确定被测量和测量方法 2、找出所有影响测量不确定度的影响量 3、建立满足测量不确定度评定所需的数学模型 Y=f（ x1,x2.xn） 4、确定各输入量的估计值 xi以及对应于各输入量估计值的标准不 确定度 u（ xi），输入估计值的标准不确定度可分为 A类评定和 B类评定； 5、确定对应于各输入量的标准不确定度分量 ui(y) ui(y)=ciu（ xi） = 是灵敏度系数 6、列出不确定度分量汇总表 )( i i xuxf i i x fc 第三章 测量误差和测量不确定度 7、将各标准不确定度分量 ui(y)合成得到合成标准不确定度 上式称为不确定度传播率 8 、确定被测量 Y可能值分布的包含因子 9、 确定扩展不确定度 10 、给出测量不确定度报告 （ 1） （ 2） )()( 2 yuyu n i ic cpp ukU cukU cukU cpp ukU ck effv 第三章 测量误差和测量不确定度 一、标准不确定度的类评定 对被测量，在重复性条件或复现性条件下进行 次独立重复 测量，测量值为 xi（ i 1， 2， ， n） 。算术平均值 为 s（ xi） 为单次测量的实验标准差，由贝塞尔公式计算得 为平均值的实验标准差，其值为 x n i ixnx 1 1 n i ii xxnxs 1 2 )(11)( n xsxs i )()( 第三章 测量误差和测量不确定度 通常以样本的算术平均值 作为被测量值的估 计（即测量结果），以平均值的实验标准差 作 为测量结果的标准不确定度，即类标准不确定度。 观测次数 充分多，才能使类不确定度的评 定可靠，一般 应大于 6。 在重复性条件下所得的测量列的不确定度，通 常比用其他评定方法所得到的不确定度更为客观， 并具有统计学的严格性，但要求有充分的重复次数。 此外，这一测量程序中的重复观测值，应相互独立。 对于独立重复测量，自由度 v=n-1（ n为测量次 数）。 )(xs x 第三章 测量误差和测量不确定度 总结以上所述，可用图简明地表示出标准不确定度 A类评 定的流程。 A类评定开始 对独立观测得 则的测量结果 nxxx 21 , ni ixnx 11 测量结果的标准不确定度 ni iii xxnnxsxu 1 )()1( 1)()( 完 第三章 测量误差和测量不确定度 二、标准不确定度的类评定 1、类不确定度评定的信息来源 以前的观测数据； 对有关技术资料和测量仪器特性的了解和经验； 生产部门提供的技术说明文件； 校准证书、检定证书或其它文件提供的数据、准确 度的等别或级； 手册或某些资料给出的参考数据及其不确定度； 规定实验方法的国家标准或类似技术文件中给出的 重复性限或复现性限。 用这类方法得到的估计方差 u2（ xi） ，可简称为类 方差。 第三章 测量误差和测量不确定度 2、类不确定度的评定方法 1）己知置信区间和包含因子 根据经验和有关信息或资料，首先分析或判断被测量 值落入的区间 ，并估计区间内被测量值的概率 分布，再按置信水准 p来估计包含因子 k，则类标准不确 定度 u（ x） 为 式中 置信区间半宽； 对应于置信水准的包含因子。 2）已知扩展不确定度 和包含因子 如估计值 xi来源于制造部门的说明书、校准证书、手 册或其他资料，其中同时还明确给出了其扩展不确定度 , axax k axu )( 第三章 测量误差和测量不确定度 u（ xi） 是标准差 s（ xi） 的 k倍，指明了包含因子 k的大 小，则标准不确定度 u（ xi）可取 正态分布的置信水准（置信概率） p与包含因子 k之间 的关系如下表。 正态分布情况下置信水准 p与包含因子 kp间的关系 P(%) 50 68.27 90 95 95.45 99 99.73 kP 0.67 1 1.645 1.960 2 2.576 3 3）已知扩展不确定度 UP以及置信水准 p与有效自由度 veff的 t分布 如 xi的扩展个确定度不仅给出扩展不确定度 UP和置信 水准 p，而且给出了有效自由度 veff或包含因子 kp，这时 必须按 t分布处理。 k xU i )( 第三章 测量误差和测量不确定度 这种情况提供给不确定度评定的信息比较齐全， 常出现在标准仪器的校准证书上。 4）其它几种常见的分布 除了正态分布和 分布以外，其他常见的分布有 均匀分布、反正弦分布、三角分布、梯形分布及两点 分布等。 如已知信息表明 i之值 xi分散区间的半宽为 ， 且 xi落于 xi-a至 xi+a区间的概率 p为 100，即全部落 在此范围中，通过对其分布的估计，可以得出标准不 确定度 u（ xi） =a/k， 与分布状态的关系见下表。 )()( e ffp p i vt Uxu 第三章 测量误差和测量不确定度 常用分布与 k， u（ xi） 的关系如下 3/a 6 6/a 2/a 3 3/a 2 2/a 分布类别 置信概率 P(%) 包含因子 k 标准不确定度 u(xi) 正态 99.73 3 三角 100 梯形 =0.71 100 2 矩形 (均匀 ) 100 反正弦 100 两点 100 1 a 第三章 测量误差和测量不确定度 表中 为梯形的上底与下底之比，对于梯形 分布来说， ，特别当 等于 1时，梯形分 布变为矩形分布；当 等于 0时，变为三角分布 。 在缺乏任何其他信息的情况下，一般估计为 矩形分布是较合理的。但如果已知被研究的量 Xi 的可能值出现在 a-至 a+中心附近的概率，大于接 近区间的边界时，则最好按三角分布计算。如果 xi本身就是重复性条件下的几个观测值的算术平 均值，则可估计为正态分布。三角分布是均匀分 布和正态分布之间的一种折衷 。 )1/(6 2k 第三章 测量误差和测量不确定度 在不确定度的类评定方法中，我们遇到的 一个问题是，如何假设其概率分布。根据 “ 中心 极限定理 ” ，尽管被测量的值 Xi的概率分布是任 意的，但只要测量次数足够多，其算术平均值的 概率分布为近似正态分布。如果被测量受许多个 相互独立的随机影响量的影响，这些影响量变化 的概率分布各不相同，但每个变量影响均很小时， 被测量的随机变化将服从正态分布。如果被测量 既受随机影响又受系统影响，而又对影响量缺乏 任何其他信息的情况下，一般假设为均匀分布。 第三章 测量误差和测量不确定度 3、类不确定度评定的自由度及其意义 类不确定度分量的自由度与所得到的标准不 确定度 的相对标准不确定度 有关，其关系为： 根据经验，按所依据的信息来源的可信程度来 判断 u（ xi） 的标准不确定度，从而推算出比 值 。按上式计算出 的列于下表。 应该说明的是：上述公式不仅仅适用于正态 分布，还适合于其他任何分布的情况。 )(/)( ii xuxu 2 2 2 )( )(21)( )(21 i i i i i xu xu xu xuv )( ixu )(/)( ii xuxu iv 第三章 测量误差和测量不确定度 0 0.30 6 0.10 50 0.40 3 0.20 12 0.50 2 0.25 8 )(/)( ii xuxu )(/)( ii xuxu iviv 第三章 测量误差和测量不确定度 无论类评定还是类评定，自由度越大，不 确定度的可靠程度越高，不确定度是用来衡量测 量结果的可靠程度，自由度则是用来衡量不确定 度的可靠程度，所以说自由度是一种二次或二阶 不确定度。 不确定度的类评定，除了要设定其概率分 布，还要设定评定的可靠程度。这要靠经验并对 有关知识有深刻的了解。这是一门技巧，要靠实 践积累。 第三章 测量误差和测量不确定度 当不确定度的评定有严格的数字关系，如数 显仪器量化误差和数据修约引起的不确定度计算， 自由度为 。 当计算不确定度的数据来源于校准证书、检 定证书或手册等比较可靠资料时，可取较高自由 度。 当不确定度的计算带有一定主观判断因素， 如指示类仪器的读数误差引起的不确定度，可取 较低的自由度。 当不确定度的信息来源难以用有效的实验方 法验证，如量块检定时标准量块和被检量块的温 度差的不确定度，自由度可以非常低。 第三章 测量误差和测量不确定度 4 类标准不确定度评定的流程 总结以上所述，可用下图简明地表示出标准不确定度 类评定的流程。 B类评定开始 已知 及 对应包含因子 否？ )( ixU ik 未知 已知 计算 iii kxUxu /)()( 估计 变化半宽度 及其分布 ix a 按分布明确 ik 计算 ii kUxu /)( 结束 第三章 测量误差和测量不确定度 三、 合成标准不确定度的评定 被测量 的估计值的标准不确定度，是由相应输入量 x1,x2, n的标准不确定度适当合成求得，估计值的合 成标准不确定度记为 uc（ y） ，它表征合理赋予被测量估计 值 y的分散性。 1、 不确定度的合成 当全部输入量 Xi是彼此独立或不相关时，合成标准不确 定度为 式中 被测量与诸直接测得量 xi的函数关系。 或是类评定标准不确定度，或是类评定标 准不确定度。 )()()( 2 2 1 2 i N i i c xux fyu )( ixu 第三章 测量误差和测量不确定度 不确定度 是一个估计标准差，它表征合理赋予被 测量的分散性。上式基于 的泰勒级数 一阶近似，称为不确定度传播律。 2、合成标准不确定度的自由度 合成标准不确定度 的自由度称为有效自由度 。 由下式计算 显然有 )(yuc ),( 21 NXXXfY N i i i c e ff v yu yu v 1 4 4 )( )( N i ieff vv 1 )(yuc effv 第三章 测量误差和测量不确定度 3、合成标准不确定度的计算流程 合成标准不确定度 2)( ic uyu 计算 评定 求灵敏系数 列出 的表达式 )(yuc ii xfc / )(ixu )( iii xucu 结束 第三章 测量误差和测量不确定度 四、扩展不确定度的评定 1、扩展不确定度的简易评定 取 k=2，此时对应的置信概率约为 95.45%。 取 k=3，此时对应的置信概率约为 99.73%。 2、扩展不确定度的标准评定 标准的评定方法是：由各输入量的标准不确定度评 定的自由度 ,求输出量合成标准不确定度评定的有 效自由度 veff ，选定所需的置信概率，求扩展因子。 ckuU i 第三章 测量误差和测量不确定度 评定过程： （ 1） 自由度的确定 （ 2） 确定所需要的置信概率 置信概率是人为选定的，根据检测工作的需要或客户 需要而定 。 （ 3）查 t分布表 确定值，从而得到包含因子 。如 果不是 t分布（近似正态分布可看作 t分布），则要根据其 它的分布曲线计算。 （ 4）计算扩展不确定度取 Pk pp tk cPP ukU 第三章 测量误差和测量不确定度 评定框图： 开始 合成标准不确定度 无必要时给出 时 当根据中心极限定律 接近正态分布时，可按给出 结束 计算有效自由度 当可以估计 接近某种分布时 ， 乘以下 列包含因子 ， 可得 ：均匀分布 两点分布 时 ， 三角分布 反正弦分布 选定包含因子 k一般为 2 3 计算 给出 指明 计算 给出 )(yuc 给出 值 选定要求的置信水准 P一般取 0.95， 0.99 按 和 查 分布临界 值 ， 包含因子 pU )(ykuU c U k )(yuc k 99u 3k 1k 6k 2k 99.0, pU )(yuc pU iiceff vuuv 44 / effv P t )(vtp )(vtk pp )( yukU cpp pUp, 第三章 测量误差和测量不确定度 总流程 建立数学模型，确定被测量 与输入量 的关系 Y Ni XX , 求最佳值 ， 由 的最佳值 求得 的最佳值 iX ix Y y 列出测量不确定度来源 标准不确 定 度分量评 定 A类评定 列表 B类评定 否 标准不确定度分量评定是否完成 计算合成标准不确定度 评定扩展不确定度 不确定度报告 是 第三章 测量误差和测量不确定度 五、测量结果的正确表示 教材 P46-P47。 六、应用实例 例 1. 用钢带尺测一长度 L， 6次测量值 10.0006， 10.0004， 10.0008， 10.0002， 10.0005， 10.0003 （单位： m ）。 钢带尺的最大允许误差为 ，用 6次测量的平均值 作测量结果，求测量不确定度 。 1.1 数学模型 测量结果 测量值 带尺刻度误差的影响 mm1 95U sLxL L x sL 第三章 测量误差和测量不确定度 1.2 不确定度传播律 1.3 求标准不确定度（分量） 1.4 求标准不确定度（分量） 按均匀分布考虑，取 )()()( 222 sc LuxuLu )(xu mmnxsxsxu 0 8 8.0)()()( )( sLu mm1 3k mmLu s 5 7 7.03)( 5161 v 2v 第三章 测量误差和测量不确定度 1.5 求合成标准不确定度 1.6 求扩展不确定度 按矩形分布取置信概率 )(yuc mmLuxuyu sc 584.0577.0088.0)()()( 2222 9 69 8 2 4 2 1 4 1 4 uu u c 65.1%95 95 kP mmukU c 96.05 8 4.0*65.19595 95U 第三章 测量误差和测量不确定度 1.7 测量不确定度报告 1）用合成标准不确定度表示测量结果 2）用扩展不确定度表示测量结果 其中， 符号后的数值表示扩展不确定度，由合成标 准不确定度 及包含因子 确定。 9 6 9 8,0 0 0 5 8 4.0,0 0 0 4 7.10 mumL c 9 6 8 6,95.0,)0 0 0 9 6.00 0 0 4 7.10( PmL mu c 0 0 0 5 8 4.0 65.195 k