正态总体均值与方差的假设检验.ppt

第 8.2节 正态总体均值与方差的 假设检验 一、单个总体参数 的检验 二、两个总体参数的检验 三、基于成对数据的检验 (t 检验 ) 四、小结 一、单个正态总体 均值与方差 的检 验 )U , 检验的检验关于为已知 (. 21 ),( 2N体在上节中讨论过正态总 : , 02 的检验问题关于为已知时当 ; :H , :H 00 10假设检验 )1,0( / 0 0 NUH n X U 成立时，当 ，选择统计量 对于给定的 检验水平 10 由标准正态分布分位数定义知， 2/uUP 因此，检验的拒绝域为 :, 2211 uuxxxW n 其中 u 为统计量 U的观测值。这种利用 U统计量 来检验的方法称为 U检验法。 ，或者记为 21 uuW 例 1 某切割机在正常工作时 , 切割每段金属棒的 平均长度为 10.5cm, 标准差是 0.15cm, 今从一批产 品中随机的抽取 15段进行测量 , 其结果如下 : 7.102.107.105.108.106.109.10 2.103.103.105.104.101.106.104.10 假定切割的长度 X服从正态分布 , 且标准差没有 变化 , 试问该机工作是否正常 ? ).( 10 解 0 . 1 5 , ,),( 2 NX因为 ,5.10:,5.10: 10 HH 要检验假设 15/15.0 5.1048.10/ 0 nx 则 ,516.0 查表得 ,6 4 5.105.0 u 645.1516.0| / | 05.00 u n x于是 . , 0 认为该机工作正常故接受 H ,15n ,48.10 x ,05.0 )( ,.2 2 检验的检验关于为未知 t . , ,),( 22 显著性水平为未知其中设总体 NX . : , : 0100 HH检验假设 , , 21 的样本为来自总体设 XXXX n , 2 未知因为 . / 0 来确定拒绝域不能利用 nX , S n 的无偏估计是因为 22 * , S n 来取代故用 * . / * 0 来作为检验统计量即采用 nS XT n ),( /* 100 nt nS X ,H n 为真时当 )1( / 2/* 0 nt nS XP n 根据 第六章 3定理 6.8的推论 1知 , 由 t分布分位数的定义知 )1( / 2/ * 0 1 nt ns x tW n 拒绝域为 在实际中 , 正态总体的方差常为未知 , 所以 我们常用 t 检验法来检验关于正态总体均值的检 验问题 . 上述利用 t 统计量得出的检验法称为 t 检验法 . 如果在例 1中只 假定切割的长度服从正态分 布 , 问该机切割的金属棒的平均长度有无显著变 化 ? )05.0( 解 , ,),( 22 均为未知依题意 NX ,5.10:,5.10: 10 HH要检验假设 ,15n ,48.10 x ,05.0 ,.* 2370 ns ns xt n 152370 51048100 /. . /* ,327.0 查表得 )14()1( 0 2 5.02/ tnt 1448.2 ,327.0 t . , 0 无显著变化认为金属棒的平均长度故接受 H t分布表 例 2 , ,),( 22 均为未知设总体 NX 要检验假设 : , , 21 的样本为来自总体 XXXX n . 0 为已知常数其中 ,: 22* 的无偏估计是分析 nS , 设显著水平为 )( ,. 检验的检验关于为未知 223 ),1()1( 22 0 2* nSn n根据 第六章 3知 , ,0为真时当 H .)1( 2 0 2* 2 作为统计量取 nSn 分布分位数的定义知由为真时当 20 , H , 2 )1()1( 2 2/12 0 2* n SnP n , 2 )1()1( 2 2/2 0 2* n SnP n 指它们的和集 拒绝域为 : )1( 2 0 2 sn )1(2 2/1 n )1( 2 0 2 sn或 .)1(2 2/ n )02.0( 解 ,5 0 0 0:,5 0 0 0: 2120 HH要检验假设 ,26n ,02.0 ,500020 ,3 1 4.44)25()1( 2 01.02 2/ n 例 3 某厂生产的某种型号的电池 , 其寿命长期以 来服从方差 =5000 (小时 2) 的正态分布 , 现有一 批这种电池 , 从它生产情况来看 , 寿命的波动性有 所变化 . 现随机的取 26只电池 , 测出其寿命的样本 方差 =9200(小时 2). 问根据这一数据能否推断 这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化 ? 2 2*ns ,5 2 4.11)25()1( 2 99.02 2/1 n )( * 2 0 21 nsn ,524.11拒绝域为 : )( * 2 0 21 nsn或 . 4.3144 46)( * 5000 9200251 2 0 2 nsn因为 , 4 .3 1 44 , 0H所以拒绝 可认为这批电池的寿命的波动性较以往的 有显著的变化 . 二、两个正态总体均值与方差的检 验 1.已知方差时两正态总体均值的检验 ,),( , 的样本为来自正态总体设 21121 1 NXXX n , : , : 211210 HH需要检验假设 : 两样本独立 的样本为来自正态总体 ,NYYY 222n21 1 ),(, , 21 均为未知又设 , ,2221 已知 , 上述假设可等价的变为 0, : 0, : 211210 HH 利用 u检验法 检验 . ,),(),( 独立且由于 YX n NY n NX 2 2 2 2 1 2 1 1 ),( 2 2 2 1 2 1 21 nnNYX 故 2 2 2 1 2 1 nn YXU /)( 取检验的统计量为 ),(, 100 NUH 统计量成立时当 .取显著性水平为 故拒绝域为 |/)(| 2/ 2 2 2 1 2 1 u nn yx |/)(| 2/ 2 2 2 1 2 1 u nn YXP 由标准正态分布分位数的定义知 ? ,., , : : ):(, , , 有显著差异烟草的尼古丁含量是否 问两种取种的方差为种的方差为互独立 且相均服从正态分布两种烟草的尼古丁含量据经验知 分别为单位测得尼古丁的含量化验 例进行的中各随机抽取重量相同从含量是否相同 化验尼古丁的两种烟草卷烟厂向化验室送去例 05085 2631232827 2421262724 5 1 BA B A mg BA BA , 两种烟草的尼古丁含量分别表示和以解 BAYX .,(),( ) 独立且则 YXNYNX 222211 211210 :,: HH 欲检验假设 由所给数据求得现已知 ., 585 212221 nn 27424 yx ,. 6121 5 8 5 5 27424 2 2 2 1 2 1 ./)( nn yxu .,.| ,.,. / 0 2 9616121 961050 Hu u 故接受原假设 由于查正态分布表得对 2.未知方差时两正态总体均值的检验 利用 t检验法 检验具有相同方差的两正态总 体均值差的假设 . . . , NYYY, N XXX n n 注意两总体的方差相等且设两样本独立样本 的为来自正态总体的样本 为来自正态总体设 ),(, ),(, 2 221 2 121 2 1 , , SS ,YX 1 均为未知方差 是样本分别是总体的样本均值又设 2 2 2 2 2 1 , , * 211210 ：，：检验假设 HH .取显著性水平为 统计量引入 t , 11 )( 21 nn S YX T w .)()( * 2 11 21 2 22 2 11 nn SnSnS 2 w其中 ,0为真时当 H ).2( 21 nntt 根据 第六章 3定理 6.8的推论 2知 , 对给定的 )2( 11 )( 212/ 21 nnt nn S YX P w 使得 ).2( 212/ nntt 分布的分位表可查得由 故拒绝域为 )2( 11 )( 212/ 21 1 nnt nn s yx W w 例 2 有甲 、 乙两台机床加工相同的产品 , 从这两台 机床加工的产品中随机地抽取若干件 , 测得产品直 径 (单位 :mm)为 机床甲 : 20.5, 19.8, 19.7, 20.4, 20.1, 20.0, 19.0, 19.9 机床乙 : 19.7, 20.8, 20.5, 19.8, 19.4, 20.6, 19.2, 试比较甲 、 乙两台机床加工的产品直径有无显著 差异 ? 假定 两台机床加工的产品直径都服从正态 分布 , 且总体方差相等 . 解 ,),(),( , 2 2 2 1 NN YX 和 分别服从正态分布和两总体依题意 , 221 均为未知 )05.0( . : , : 211210 HH需要检验假设 ,81 n ,925.19x ,.* 21602 1 s ,72 n ,000.20y ,.* 397022 s ,.)()( * 5 4 70 278 1718 22212 sss w且 ,160.2)13( 05.0 t查表可知 | 7 1 8 1 | ws yx t ,16 0.226 5.0 , 0H所以接受 即甲 、 乙两台机床加工的产品直径无显著差异 . ,),( , 的样本为来自正态总体设 21121 1 NXXX n , 222121 均为未知又设 , : , : 222222 1110 HH 需要检验假设 : ,),(, 的样本为来自正态总体 22221 1 NYYY n ., , * 2221 SS其修正样本方差为且设两样本独立 3.两正态总体方差的检验 , 0 为真时当 H ),()( * 2 2 2 2 2 1 2 1 SESE , 1 为真时当 H ),()( * 2 2 2 2 2 1 2 1 SESE , 1 为真时当 H 有偏大或偏小的趋势观察值 2 * 2 2* 1 S S , * * * * 22 2 2 1 12 2 2 1 k s s k s s 或故拒绝域的形式为 :的值由下式确定和此处 21 kk ).,(, * * 11 212 2 2 1 0 nnF S SH 为真时当 根据 第六章 3定理 6.8的推论 2知 22 * 2 2* 1 12* 2 2* 1 k S S k S S P 为了计算方便 , 习惯上取 , 212* 2 2* 1 k S SP 222* 2 2* 1 k S SP .),( ,),( /2/ 1111 21212121 nnFknnFk 故得 或),(/ * * 11 2122 2 2 1 nnF s sF 检验问题的拒绝域为 上述检验法称为 F检验法 . ),(/ * * 11 21212 2 2 1 nnFs sF 解 某砖厂制成两批机制红砖 , 抽样检查测量砖 的抗折强度 (公斤 ), 得到结果如下 : ;.,., : ;.,., : * * 835308 4632710 22 11 Syn Sxn 第二批 第一批 已知砖的抗折强度服从正态分布 , 试检验 : (1)两批红砖的抗折强度的方差是否有显著差异 ? (2)两批红砖的抗折强度的数学期望是否有显著差 异 ? )05.0( 均取 (1) 检验假设 : 2221122210 :,: HH 例 3 , 检验法用 F , 0 为真时当 H ),( * * 11 212 2 2 1 nnF S SF统计量 查表 7-3知拒绝域为 )1,1( 212/ nnFF ),1,1( 212/1 nnFF 或 ,.,., * 44149640810 222121 SSnn由 ,82.4)7,9(0 2 5.0 F ,2 8 3.0)9,7(1)7,9( 025.0 975.0 FF ,8 3 7.244.14 96.40 F得 ,82.48 3 7.22 8 3.0 显然 . , 0 有显著差异认为抗折强度的方差没所以接受 H (2) 检验假设 : 211210 :,: HH , 检验法用 t , 0 为真时当 H ),2( 11 21 21 nnt nn S YX t w 统计量 .)()( * 2 2 11 21 2 22 2 11 nn SnSnS w其中 查表 7-3知拒绝域为 )2( 212/ nntt ,1 1 9 9.2)16()2810( 0 2 5.00 2 5.0 tt由 ,418.5,3575.2916 44.14796.4092 ww SS 245.1 474.0418.5 5.303.27 11 21 nn S YX t w 得 ,1199.2 . , 0 显著差异认为抗折强度的期望无所以接受 H 三、基于配对数据的检验（ t检验） 有时为了比较两种产品，两种仪器，或两 种试验方法等的差异，我们常常在相同的条 件下做对比试验，得到一批成对（配对）的 观测值，然后对观测数据进行分析。作出推 断，这种方法常称为配对分析法。 例 7.9 比较甲，乙两种橡胶轮胎的耐磨性，今 从甲，乙两种轮胎中各随机地抽取 8个，其中各 取一个组成一对。再随机选择 8架飞机，将 8对 轮胎随机地搭配给 8家飞机，做耐磨性实验 飞行一段时间的起落后，测得轮胎磨损量（单 位： mg） 数据如下： 轮胎甲： 4900， 5220， 5500， 6020 6340， 7660， 8650， 4870 轮胎乙； 4930， 4900， 5140， 5700 6110， 6880， 7930， 5010 试问这两种轮胎的耐磨性有无显著差异？ 解：用 X及 Y分别表示甲，乙两种轮胎的磨损量 假定 ，其中 ，欲检验假设 2221 ），（），（ 222211 NYNX 211210 ：，： HH 下面分两种情况讨论： （ 1）实验数据配对分析：记 ，则 ，由正 态分布的可加性知， Z服从正态分布 。 于是，对 与 是否相等的检验 YXZ 2 21 2 ）（，）（ ZDd d e fZE )2,( 2dN 1 2 t 就变对 的检验，这时我们可采用关于一 个正态总体均值的 检验法。将甲，乙两种轮 胎的数据对应相减得 Z的样本值为： 0d -30， 320， 360， 320， 230, 780， 720， -140 计算得样本均值 8 1 22 1 0 2 2 0 07/)( i in ZZS 3 2 081 8 1 i i ZZ 83.21 0 22 0 0/83208/)0( 2 nSZt 对给定 ，查自由度为 的 分布 表得临界值 ，由于 ，因而否定 ，即认为这种轮胎的耐磨性 有显著差异。 718 05.0 365.2)7(025.0 t t 0H 365.283.2 t （ 2）实验数据不配对分析：将两种轮胎的数 据看作来自两个总体的样本观测值，这种方 法称为不配对分析法。欲检验假设 211210 ：，： HH 我们选择统计量 ）（ 12.7 21 2121 2 22 2 11 )2( )1()1 21 nn nnnn SnSn YX T nn （ 由样本数据及 可得 5825,6145 yx 821 nn 7/81 6 3 3 9 0 02*1 1 nS 7/810538752*2 2 nS 5 1 6.07.6 1 9/3 2 0 t 对给定的 05.0 ，查自由度为 16-2=14的 t分布 1 4 5.214216 025.02/ tt 表，得临界值 ，由于 141 45.25 16.0 025.0tt ，因而接受 0H ，即认为这两种轮胎的耐磨性无显著差异。 以上是在同一检验水平 05.0 的分析结果，方法不同所得结果也比一致，到 底哪个结果正确呢？下面作一简要分析。因为 我们将 8对轮胎随机地搭配给 8架飞机作轮胎耐 磨性试验，两种轮胎不仅对试验数据产生影响， 而且不同的飞机也对试验数据产生干扰，因此 试验数据配对分析，消除了飞机本身对数据的 干扰，突出了比较两种轮胎之间耐磨性的差异。 对试验数据不做配对分析，轮胎之间和飞机之 间对数据的影响交织在一起，这是样本 下采用不同方法 11 , nXX 与样本 2,1 nYY 实际上不独立，因此， 用两个独立正态总体的 t检验法是不合适的。 有本例看出，对同一批试验数据，采用配对分 析还是不配对分析方法，要根据抽样方法而定。 四、小结 本节学习的正态总体均值的假设检验有 : 检验检验的检验单个总体均值 t;U.1 ;tU.3 21 检验检验，的检验两个总体均值差 ;t.5 检验基于成对数据的检验 正态总体均值、方差的检验法见下表 ) ( 显著性水平为 ; . 2 检验法验法单个正态总体方差的检 2 ; . 检验法验法两个正态总体方差的检 F4 4 )( 未知22221 21 21 21 0 0 0 )( )( )( / 1 2 2 212 21 21 nntt nntt nntt 2 21 11 21 2 22 2 112 21 nn SnSn S nn S YX t w w * )()( 0H原假设 检验统计量 1H备择假设 拒绝域 )( 已知2 0 0 0 )( 未知2 0 0 0 ),( 已知2221 21 21 21 n XU / 0 nS Xt n /* 0 2 2 2 1 2 1 nn YXU 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2/ uu uu uu )( )( )( / 1 1 1 2 ntt ntt ntt 2/ uu uu uu 3 2 1 7 0H原假设 检验统计量 1H备择假设 拒绝域 ),( 未知21 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 )(成对数据 0 0 0 D D D nS Dt D / 0 0 0 0 D D D )( )( )( / 1 1 1 2 ntt ntt ntt )( 未知 2 0 2 2 0 2 2 0 2 20 2 2 1 *)( nSn 22 21 * * S SF 2 0 2 2 0 2 2 0 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 )( )( )( )( / / 1 1 1 1 2 21 2 2 2 2 2 1 2 22 n n n n 或 ),( ),( ),( ),( / / 11 11 11 11 2121 212 211 21 nnFF nnFF nnFF nnFF 或6 5