数项级数的概念与性质.ppt

E-mail: 第十三章 无 穷 级 数 无穷级数是微积分学的重要组成部分，它在函数 表示、数值计算、研究函数性质、微分方程的求 解等诸多方面，都有着不可替代的作用。无论对 数学理论本身，还是在科学技术的应用中，无穷 级数都是一个有效的工具。 本章内容由常数项级数、幂级数和傅立叶级数三 部分组成。主要介绍无穷级数的基本概念、基本 性质、敛散性的审敛法、幂级数以及将函数展开 为幂级数和傅立叶级数的方法及其应用 。 E-mail: 2.数项级数的性质 3.柯西 (cauchy)收敛准则 1.数项级数的基本概念 1 数项级数的概念与性质 E-mail: 若有一个 无穷数列 u1， u2， u3， ， un， 此 无穷数列 构成下列表达式 u1 + u2 + u3 + + un + (1) 称以上表达式为 (常数项 )无穷级数 ，简称 (常数项 ) 级数 ，记为 1.无穷级数的概念 1 2 3 1 n n n n u u u u u s 其中第 n项 un叫作级数的 一般项 或 通项 . E-mail: 1 1 2 1 2 1 2 1 , s , , , . ( 2) n nn ns u s u u s u u u n 显 然 ， 对 于 给 定 的 级 数 （ ） ， 其 任 意 前 项 和 都 是 已 知 的 . 于 是 级 数 (1) 对 应 着 一 个 部 分 和 数 列 s 即 E-mail: 1 1 1 1 2 3 3 4 4 5 ( 1 ) ( 2 )n n s nn 它 的 前 项 和 1 1 1 ( 1 ) ( 2 ) 1 2n n n n 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 3 4 4 5 1 2 11 22 ns nn n 1 1 1 2 3 3 4 4 5 1 ( 1 ) ( 2 ) nu nn 例 如 级 数 的 一 般 项 E-mail: 由上我们便得到一个数列 12, , , ns s s ,从形式上 1n nu = lim nn s 与发散 ,进而就不难得出级数的收敛与发散的概念。 不难知道 ，以前我们学过数列的收敛 换而言之，有限个数相加为一数 ,无穷多个数相加是 否仍为一个数呢？ 问 题 E-mail: 1 l im l imni nn i= s u s 则称 无穷级数 收敛 .s称为此 级数的和 .且有 1 n n u 12 ,ns u u u 若 无极限 ，则称无穷级数 发散 . 1 n n u ns 定义 1 若级数 的部分和数列 收敛，设其极 限值为 1 i i= u ns s nn n n1 nn n n1 l im s s u s l im s u 称 收 敛 于 和 不 存 在 称 发 散 无穷多项求和问题转 化成数列 sn的极限 问题 E-mail: 注意 1: 12 ,n n n nr s s u u 称为级数的 余项 ， 为 代替 s所产生的误差 . nsnr ( 1 ) , ,s如 果 级 数 收 敛 其 和 为 则 称 . E-mail: 注意 2: 到目前为止，已了解的级数的基本概念，特别 1n nu 了解了级数 的收敛与发散性 (敛散性 )是由其 部分和数列 ns 的敛散性所决定的。 确切地说，两者敛散性是相同的 E-mail: 1 1 1 ( 1 ) ( 2 ) 1 2nu n n n n 解 ： 1 1 1 2 3 ( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 2 3 1 2 2 n s n n n n n n n 1 1 1 l im l im ( ) 2 2 2 1 . 2 n nn s n 而 此 级 数 收 敛 ， 和 为 1例 判 定 级 数 1 1 1 1 ( 1 ) ( 2 ) 2 3 ( 1 ) ( 2 )n n n n n 的 收 敛 性 . E-mail: 2 0 ( ) . ( 0 , ) 2 nn n aq a aq aq aq aq 讨 论 等 比 级 数 几 何 级 数 敛 散 性 其 中 为 等 比 级 数 的 公 比 例 解 :(1)若 ,则部分和 1q 1 nn aqaqas q aq q a q qa nn 111 )1( E-mail: , l im 0 , l i 1 m0 1 n n nn q aq q q 当 时 , l im , l 1 imn n nn q q s 当 时 则 级数发散 。 则 级数收敛 ； ，qas n n 1 l i m E-mail: ( 2 ) 1 ,q 当 时 1 ,nq s n a 级当 ， 数 发 散时 aaaaq 级数成为时，当 1 当 n为奇数或偶数时， sn为 a或 0， 则 的极限不存在， 级数发散 . ns 小结 : 等比级数 的公比 ， 级数收敛 , ， 级数发散 . 1| q 1| q E-mail: 例 3 证明 调和级数 n131211 发散 . 证 : 为估计调和级数的部分和 sn，我们在区间 1()fx x 1,+ 上引入函数 对于任一 x属于 1,+ ，存在 自然数 k，使得 1k x k ，于是 11 ( 1 , 2 , )kkx 对上式两端在区间 k， k+1上取定积分 111 1 1kkdx dx k k x 2 3 1 12 1 1 1 1 11 2 3 2 n n ns dx dx dxnn 2 3 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 l n l n ( 1 )nn n nnd x d x d x d x x nx x x x 当 n 时 , ns .显然 nn Slim 不存在 . 故原 级数发散 . E-mail: 性质 1:(收敛的必要条件 ) n n n uuuu 21 1 如果 级数 收敛 ，则它的一般项 趋于零，即 nu l i m 0nn u 2.数项级数基本性质 1n n nu s s 证 明 ： )(limlim 1 nnnnn ssu 0limlim 1 ssss nnnn E-mail: 注 1: 若反之 ， 则不一定成立 。 0lim nn u ， 原级数 1n nu 不一定收敛 。 1 1 n n 发散 ， 但 1lim 0n n . 如调和级数 0 1 11 11 , l im 0 , 1 2 2 2( 1 ) 21 1 2 ( 1 ) 2 1 2 l im , . n n n kk n n nn kk k k k k S k k n k S 级 数 有 但 事 实 上 所 以 而 所 以 级 数 是 发 散 的 即 E-mail: 1 11 1( 1 ) , s in . 1 n nn n n nn 例 如 级 数 都 是 发 散 的 注 2: 收敛的必要条件常用来证明级数发散 。 0lim nn u ， 则原级数 1n nu 一定不收敛 . 即若 E-mail: 性质 2 若级数 收敛于和 s，则它的各项同乘 以一个常数 k,所得的级数 也收敛 ,且其和为 ks. 1 n n u 1 n n ku 11 n n n n nn u k u n s 和 的 前 项 和 分 别 为证 和明 ： ksskks kskukuku nnnnnn nnn limlimlim ,21 1 ;n n k u k s 即 级 数 收 敛 且 其 和 为 1 0 , l i m ,nn nn k u k s 反 之 ： 若 发 散 ， 则 不 存 在 1 l i m nn n n ku 也 不 存 在 发 散 级数的每一项同乘以不 为零的常数后，其敛散 性不变 E-mail: 1 1 2 2 1 ( ) ( ) ( ) ( )n n n n n u v u v u v u v 则 级 数 也 收 敛 ， 其 和 为 12 1 12 1 nn n nn n u u u u s v v v v s 性质 3 如果级数 , 分别收敛于 , 即 1 n n u 1 n n v s 与 1 1 1 A ( ) n n n n i i i i n n i i i u v u v s 证 明 ： 设 nnnn ss lim ,lim 又 l i m l i m ( )n n nnn A s s 1 ( ) .nn n u v s 这 就 表 明 级 数 收 敛 ， 且 其 和 为 两个收敛级数的和差仍 为收敛级数 E-mail: 注 1: 1 )( n nnu 称为级数 1n nu 与 1n n 注 2: 若级数 1n nu 和 1n n 1 )( n nnu 发散 。 （证明） 的和与差 . 之中有一个收敛，另一个 发散，则 问： 若两个都发散，情况又如何呢？ （思考） E-mail: 性质 4 在级数前面加上或去掉有限项，不影响级数 的敛散性，但其 和可能改变 . 12 1 nn n s u u u u 证 明 ： 将 级 数 12 k k k nk u u u 去 掉 前 项 ， 级 数 12 1 2 1 12 ( ) ( ) n k k k n k k k n k k n k n u u u u u u u u u u u s s 它 的 前 项 和 为 ： . k n k n s ns 是 常 数 当 时 ， 与 同 时 有 极 限 ， 或 同 时 没 有 极 限 l im , l im l im ( ) .n k n k n k k n n n s s s s s s 当 级 数 收 敛 时 有 ： 只是当级数收 敛时，加上有 限项或去掉有 限项，一般会 改变级数的和 . E-mail: 性质 5: 收敛级数加括号后 (不改变各项顺序 )所产生 的级数仍收敛于原来级数的和 . 注 1: 这里所谓加括号 ,就是在 不改变各项的顺序 的情 况下 ,将其某项放在一起作为新的项 ,而产生的 n 级数 .当然 ,加括号的方法是有无穷多种的 . 111111 是发散的 , )11()11()11( 是收敛的 . 注 2: 若级数在加括号后所得的级数发散 ,那么原级 数发散 .但是 ,某级数在加括号后所得的级数收 敛 ,则原级数未必收敛 .也就是说 :发散的级数 加括号后可能产生收敛的级数 . 例如 : 但 E-mail: 例 4 判别级数 的敛散性。 解： 由于级数 是公比为 的几何级数，且 所以 收敛 由性质 2可知 也收敛 1 1 21() 53 n n 1 1 1() 3 n n 1 3q 1 1 3q 1 1 1() 3 n n 1 1 21() 53 n n E-mail: 例 5 判别级数 1 )2)(1( 1 3 1 n n nn 的敛散性 . 解 : 因级数 1 3 1 n n 与级数 1 )2)(1( 1 n nn 均收敛 由性质 3可知 1 11 11 3 ( 1 ) ( 2 ) 11 3 ( 1 ) ( 2 ) n n n nn nn nn 收敛 . E-mail: 1 2 : ( ) : , , , . n n n n p u N n N uu n+1 定 理 柯 西 收 敛 准 则 级 数 收 敛 的 充 分 必 要 条 件 是 对 于 任 意 给 定 的 正 数 存 在 自 然 数 使 得 当 时 对 于 任 意 的 自 然 数 p, 都 有 u 1 2 : , , . n n n n p n p n un u u s s n n+1 证 明 设 级 数 的 前 项 和 为 s 因 为 u 所 以 由 数 列 的 柯 西 收 敛 准 则 即 得 本 定 理 结 论 3.柯西 (cauchy)收敛准则 E-mail: 1 1 , . n n np k kn u u 该 准 则 表 明 级 数 收 敛 的 : 它 的 充 分 远 的 任 意 片 段 的 绝 对 值 可 以 任 充 分 必 要 件 意 的 小 条 E-mail: 0 1 1 1 1 12 1 1 1 1 1 . 24 1 . n n 0 0 0 0 0 0 0 n n n n 2n 2n 2n 因 此 级 数 发 散 0 1 :, 4 , N 0 0 证 明 取 对 于 任 意 的 自 然 数 N, 存 在 n 和 某 个 p=n 有 1 1:. n n 我 们 利 用 柯 西 收 敛 准 则 证 明 级 数例 发 散6 E-mail: 2 1 1:. n n 我 们 利 用 柯 西 收 敛 准 则 证 明 级 数例 收 敛7 :p证 明 对 于 任 意 的 自 然 数 , 12 2 2 2 1 1 1 ( 1 ) ( 2) ( ) 1 1 1 ( 1 ) ( 1 ) ( 2) ( 1 ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 0 n n n p u u u n n n p n n n n n p n p n n n n n p n p n n n p n E-mail: 所以对于任一给定的正数 ，取自然数 1N 则当 时，对任意自然数 p,都有 nN 12n n n pu u u 成立 由柯西收敛定理，级数 收敛 2 1 1 n n E-mail: 2.交错级数的收敛判别法 3.绝对收敛与条件收敛 4.任意项级数的收敛判别法 1.正项级数的收敛判别法 13.2 数项级数的收敛判别法 E-mail: 前面所讲的常数项级数中，各项均可是 正数，负数或零。 正项级数是其中一种特殊 情况。 如果级数中各项是由正数或零组成， 这就称该级数为正项级数。同理也有负项级 数。而负项级数每一项都乘以后即变成正项 级数，两者有着一些相仿的性质，正项级数 在级数中占有很重要的地位。很多级数的敛 散性讨论都会转为正项级数的敛散性 . E-mail: 我 们 先 讨 论 一 类 特 殊 的 数 项 级 数 ， 即 各 项 都 是 正 数 或 零 的 级 数 ， 这 正种 级 数 称 为 项 级 数 . 定义 设级数 1 , 0 , 1 , 2 ,nn n u u n 为 正项级数 . 1 2 3 ns s s s 显然 ,正项级数的部分和 sn数列是 单调增加 的， 即 1.正项级数的收敛判别法 E-mail: 定理 正项级数 1n nu 收敛 ns 有界 . 证 : “ ” 1n nu 收敛 ns 收敛 ns 有界 . ns 有界 ,又 ns 是一个 单调上升 数列 lim nn s 存在 1n nu 收敛 . “ ” 1 1 , ( ) , . n n nn n u S n u 由 定 理 1 可 知 , 如 果 正 项 级 数 发 散 则 它 的 部 分 和 即 注 : E-mail: 证明 :这是一个正项级数，其部分和为 : nns 21 1 21 1 21 1 2 故 sn有界 ， 所以原级数收敛 . n2 1 2 1 2 1 2 1 2 11 n 2 1 1 1 1 1 1 . 1 2 1 2 1 2 1 2nnn 例 考 察 级 数 的 收 敛 性 E-mail: 定理 1(比较判别法 ) 设 1n nu 与 1n n 是两个正项级数 ， 且 , ( 1 , 2 , 3 , ) nnun 那么 （ 1）如果 1n n 收敛 ， 则 1n nu 收敛 。 （ 2）如果 1n nu 发散 ， 则 1n n 发散 。 证 : 设 ns 和 n 分别表示 1n nu 和 1n n 的部分和 ， nnu ns n显然由 (1) 1n n 收敛 n 有界 ns 有界 1n nu 也收敛 . (2) 1n nu 发散 ns 无界 n 无界 1n n 也发散 . E-mail: 2 ( 1 , 2 , ) ( , 0 , , ) , 1 . nn nn u v n u k v k n N N 如 果 把 定 理 中 的 条 件 改 为 其 中 为 某 一 个 自 然 数 则 结 推 论 仍 成 立 论 例 2 判定 p-级数 的敛散性 . 1 1 1 1 11 23p p p pn nn (常数 p0) E-mail: ( 1 ) , 11 1 , ,p nn p ： 设 时 由 比 较 判 别 法 知 解 1 1 ; n n 调 和 级 数 是 发 散 的 1 1 . p n p n 级 数 也 发 散 1 ( 2) 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 2 3 4 5 6 7 11 1 ( ) . 8 15 p p p p p p p n pp p n 当 时 ， E-mail: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 4 4 4 4 8 8 . p p p p p p p p 它 的 各 项 均 不 大 于 级 数 的 对 应 项 1 1 1, 2 p q 后 一 级 数 是 几 何 级 数 ， 公 比 1 1 . p n n 收 敛 .所 以 此 级 数 收 敛 由此可得结论， p级数 当 时发散， p1时收敛 . 1 1 n pn 1p E-mail: 思考题： 若正项级数 1n na 则下列级数的敛散性 1 1n n n a a (2) 1n n n a (3) 1 2 n na 收敛， (1) 1 1 1 , 1 , ( 1 , 2 , ) , 1 ; ( 1 , 2 , ) , . 2 nn p n nn n u p u n n u u n n 设 为 正 项 级 数推 如 果 存 在 使 得 则 级 数 收 敛 如 果 则 级 数 发 散 论 例 3 判断下列级数的敛散性 1 1( 1 ) ( 2 1 ) 2n nn 2 1 1( 2) 1n n n 2 1(3 ) (l n )n n 2 1( 4 ) (l n ) nn n